Гармоническая форма Маасса
В математике слабая форма Мааса — это гладкая функция. на верхней полуплоскости , преобразующейся как модулярная форма под действием модулярной группы , являющейся собственной функцией соответствующего гиперболического оператора Лапласа и имеющей не более чем линейный экспоненциальный рост в точках возврата . Если собственное значение под лапласианом равна нулю, то называется гармонической слабой формой Мааса или кратко гармонической формой Мааса .
Слабая форма Мааса, которая фактически имеет умеренный рост на вершинах, является классической волновой формой Мааса .
Разложения Фурье гармонических форм Мааса часто кодируют интересные комбинаторные, арифметические или геометрические производящие функции. Регуляризованные тета-лифты гармонических форм Мааса могут быть использованы для построения Аракелова функций Грина для специальных дивизоров на ортогональных многообразиях Шимуры .
Определение
[ редактировать ]Комплекснозначная гладкая функция на верхней полуплоскости H = { z ∈ C : Im ( z ) > 0} называется слабой маассовской формой целого веса k (для группы SL(2, Z ) ), если она удовлетворяет следующим трем условиям:
- (1) Для каждой матрицы функция удовлетворяет закону модульного преобразования
- (2) веса k является собственной функцией гиперболического лапласиана
- где
- (3) имеет не более чем линейный экспоненциальный рост на вершине, то есть существует константа C > 0 такая, что f ( z ) = O ( e Сай ) как
Если является слабой формой Мааса с собственным значением 0 при , то есть, если , затем называется гармонической слабой формой Мааса или кратко гармонической формой Мааса .
Основные свойства
[ редактировать ]Каждая гармоническая форма Мааса веса имеет разложение Фурье вида
где q = е 2πiz , и являются целыми числами, зависящими от Более того,
обозначает неполную гамма-функцию (которая должна интерпретироваться соответствующим образом, когда n =0 ). Первое слагаемое называется голоморфной частью , а второе слагаемое — неголоморфной частью .
Существует сложный антилинейный дифференциальный оператор определяется
С , образ гармонической формы Мааса слабо голоморфен. Следовательно, определяет карту из векторного пространства гармонических форм веса Мааса в космос слабо голоморфных модулярных форм веса Это доказали Брюнье и Функе. [ 1 ] (для произвольных весов, систем множителей и конгруэнтных подгрупп) это отображение сюръективно. Следовательно, существует точная последовательность
обеспечивая связь с алгебраической теорией модулярных форм. Важное подпространство это пространство тех гармонических форм Мааса, которые отображаются в формы возврата при .
Если гармонические формы Мааса интерпретировать как гармонические сечения линейного расслоения модулярных форм веса снабженный метрикой Петерсона над модулярной кривой, то этот дифференциальный оператор можно рассматривать как композицию оператора звезды Ходжа и антиголоморфного дифференциала. Понятие гармонических форм Мааса естественным образом обобщается на произвольные конгруэнтные подгруппы и (скалярные и векторнозначные) системы множителей.
Примеры
[ редактировать ]- Всякая слабо голоморфная модулярная форма является гармонической формой Маасса.
- Неголоморфный ряд Эйзенштейна
- веса 2 является гармонической формой Мааса веса 2.
- Загира Серия Эйзенштейна E 3/2 веса 3/2 [ 2 ] — гармоническая форма Мааса веса 3/2 (для группы Γ 0 (4) ). Его изображение под является ненулевым кратным тета-функции Якоби.
- Производная некогерентного ряда Эйзенштейна веса 1, связанного с мнимым квадратичным порядком [ 3 ] является гармонической формой Мааса веса 1.
- Имитационная модульная форма [ 4 ] является голоморфной частью гармонической формы Мааса.
- Пуанкаре, Ряды построенные с помощью функции М-Уиттекера, являются слабыми формами Мааса. [ 5 ] [ 6 ] Когда спектральный параметр специализирован к гармонической точке, они приводят к гармоническим формам Маасса.
- Оценка дзета-функции Вейерштрасса в интеграле Эйхлера новой формы веса 2, соответствующей рациональной эллиптической кривой E, может использоваться для сопоставления гармонической формы Маасса веса 0 с E . [ 7 ]
- Одновременный порождающий ряд для значений дивизоров Хигнера и интегралов вдоль геодезических циклов -функции Клейна J (нормированной так, что постоянный член обращается в нуль) представляет собой гармоническую форму Мааса веса 1/2. [ 8 ]
История
[ редактировать ]Приведенное выше абстрактное определение гармонических форм Мааса вместе с систематическим исследованием их основных свойств впервые было дано Брюнье и Функе. [ 1 ] Однако многие примеры, такие как ряды Эйзенштейна и ряды Пуанкаре, были известны и раньше. Независимо Цвегерс разработал теорию ложных модульных форм, которая также связана с гармоническими формами Маасса. [ 4 ]
Алгебраическая теория целочисленных весовых гармонических форм Мааса в стиле Каца была развита Канделори. [ 9 ]
Цитаты
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Брюнье и Функе 2004 , стр. 45–90.
- ^ Загер 1975 , стр. 883–886.
- ^ Кудла, Рапопорт и Ян 1999 , стр. 347–385.
- ^ Jump up to: а б Цвегерс 2002 .
- ^ Оплата 1977 , стр. 143–203.
- ^ Хейхал 1983 .
- ^ Алфес и др. 2015 .
- ^ Герцог, Имамоглу и Тот 2011 , стр. 947–981.
- ^ Канделори 2014 , стр. 489–517.
Цитируемые работы
[ редактировать ]- Алфес, Клаудия; Гриффин, Майкл; Оно, Кен; Ролен, Ларри (2015). «Вейерштрасс имитирует модульные формы и эллиптические кривые». Исследования в области теории чисел . 1 (24). arXiv : 1406.0443 .
- Брюнье, Ян Хендрик; Функе, Йенс (2004). «О двух геометрических тета-лифтах». Математический журнал Дьюка . 125 (1): 45–90. arXiv : math/0212286 . дои : 10.1215/S0012-7094-04-12513-8 . ISSN 0012-7094 . МР 2097357 . S2CID 2078210 .
- Канделори, Лука (2014). «Гармонические слабые формы Мааса: геометрический подход». Математические Аннален . 360 (1–2): 489–517. дои : 10.1007/s00208-014-1043-5 . S2CID 119474785 .
- Герцог, Уильям; Имамоглу, Озлем; Тот, Арпад (2011). «Циклические интегралы j-функции и ложные модулярные формы» . Анналы математики . Вторая серия. 173 (2): 947–981. дои : 10.4007/анналы.2011.173.2.8 .
- Фэй, Джон (1977). «Коэффициенты Фурье резольвенты фуксовой группы». Журнал чистой и прикладной математики . 294 : 143–203.
- Хейхал, Деннис (1983). Формула следа Сельберга для PSL(2,R) . Конспект лекций по математике. Том. 1001. Шпрингер-Верлаг.
- Кудла, Стив; Рапопорт, Майкл; Ян, Тунхай (1999). «О производной ряда Эйзенштейна веса один» . Уведомления о международных математических исследованиях . 1999 (7): 347–385. дои : 10.1155/S1073792899000185 .
- Загер, Дон (1975). «Числа классов и модульные формы весом 3/2». Доклады Академии наук, серия А (на французском языке). 281 :883–886.
- Цвегерс, СП (2002). Ложные тета-функции (кандидатская диссертация). Университет Утрехта. ISBN 978-903933155-2 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Оно, Кен (2009). «Раскрытие видения мастера: гармонические формы Мааса и теория чисел». В Джерисоне, Дэвид; Мазур, Барри; Мровка, Томаш; Шмид, Вильфрид; Стэнли, Ричард П.; Яу, Шинг-Тунг (ред.). Современные достижения в математике . Том. 2008. Международная пресса Бостона. стр. 347–454. ISBN 978-157146139-1 .