Гармоническая форма Маасса

В математике слабая форма Мааса — это гладкая функция. $f$ на верхней полуплоскости , преобразующейся как модулярная форма под действием модулярной группы , являющейся собственной функцией соответствующего гиперболического оператора Лапласа и имеющей не более чем линейный экспоненциальный рост в точках возврата . Если собственное значение $f$ под лапласианом равна нулю, то $f$ называется гармонической слабой формой Мааса или кратко гармонической формой Мааса .

Слабая форма Мааса, которая фактически имеет умеренный рост на вершинах, является классической волновой формой Мааса .

Разложения Фурье гармонических форм Мааса часто кодируют интересные комбинаторные, арифметические или геометрические производящие функции. Регуляризованные тета-лифты гармонических форм Мааса могут быть использованы для построения Аракелова функций Грина для специальных дивизоров на ортогональных многообразиях Шимуры .

Определение

Комплекснозначная гладкая функция $f$ на верхней полуплоскости   H = { z ∈ C : Im ( z ) > 0} называется слабой маассовской формой целого веса k (для группы SL(2, Z ) ), если она удовлетворяет следующим трем условиям:

(1) Для каждой матрицы ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )$ функция $f$ удовлетворяет закону модульного преобразования

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z).$

(2) $f$ веса k является собственной функцией гиперболического лапласиана

$\Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),$

где $z=x+iy.$

(3) $f$ имеет не более чем линейный экспоненциальный рост на вершине, то есть существует константа C > 0 такая, что   f ( z ) = O ( e ^Сай ) как $y\to \infty .$

Если $f$ является слабой формой Мааса с собственным значением 0 при $\Delta _{k}$, то есть, если $\Delta _{k}f=0$, затем $f$ называется гармонической слабой формой Мааса или кратко гармонической формой Мааса .

Основные свойства

Каждая гармоническая форма Мааса $f$ веса $k$ имеет разложение Фурье вида

$f(z)=\sum \nolimits _{n\geq n^{+}}c^{+}(n)q^{n}+\sum \nolimits _{n\leq n^{-}}c^{-}(n)\Gamma (1-k,-4\pi ny)q^{n},$

где   q = е ^2πiz , и $n^{+},n^{-}$ являются целыми числами, зависящими от $f.$ Более того,

$\Gamma (s,y)=\int _{y}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}dt$

обозначает неполную гамма-функцию (которая должна интерпретироваться соответствующим образом, когда   n =0 ). Первое слагаемое называется голоморфной частью , а второе слагаемое — неголоморфной частью . $f.$

Существует сложный антилинейный дифференциальный оператор $\xi _{k}$ определяется

$\xi _{k}(f)(z)=2iy^{k}{\overline {{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}f(z)}}.$

С $\Delta _{k}=-\xi _{2-k}\xi _{k}$, образ гармонической формы Мааса слабо голоморфен. Следовательно, $\xi _{k}$ определяет карту из векторного пространства $H_{k}$ гармонических форм веса Мааса $k$ в космос $M_{2-k}^{!}$ слабо голоморфных модулярных форм веса $2-k.$ Это доказали Брюнье и Функе. (для произвольных весов, систем множителей и конгруэнтных подгрупп) это отображение сюръективно. Следовательно, существует точная последовательность

$0\to M_{k}^{!}\to H_{k}\to M_{2-k}^{!}\to 0,$

обеспечивая связь с алгебраической теорией модулярных форм. Важное подпространство $H_{k}$ это пространство $H_{k}^{+}$ тех гармонических форм Мааса, которые отображаются в формы возврата при $\xi _{k}$.

Если гармонические формы Мааса интерпретировать как гармонические сечения линейного расслоения модулярных форм веса $k$ снабженный метрикой Петерсона над модулярной кривой, то этот дифференциальный оператор можно рассматривать как композицию оператора звезды Ходжа и антиголоморфного дифференциала. Понятие гармонических форм Мааса естественным образом обобщается на произвольные конгруэнтные подгруппы и (скалярные и векторнозначные) системы множителей.

Примеры

• Всякая слабо голоморфная модулярная форма является гармонической формой Маасса.
• Неголоморфный ряд Эйзенштейна

$E_{2}(z)=1-{\frac {3}{\pi y}}-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{1}(n)q^{n}$

веса 2 является гармонической формой Мааса веса 2.

• Загира Серия   Эйзенштейна E _3/2   веса 3/2 — гармоническая форма Мааса веса 3/2 (для группы Γ ₀ (4) ). Его изображение под $\xi _{3/2}$ является ненулевым кратным тета-функции Якоби.

$\theta (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{n^{2}}.$

• Производная некогерентного ряда Эйзенштейна веса 1, связанного с мнимым квадратичным порядком является гармонической формой Мааса веса 1.
• Имитационная модульная форма является голоморфной частью гармонической формы Мааса.
• Пуанкаре, Ряды построенные с помощью функции М-Уиттекера, являются слабыми формами Мааса. Когда спектральный параметр специализирован к гармонической точке, они приводят к гармоническим формам Маасса.
• Оценка дзета-функции Вейерштрасса в интеграле Эйхлера новой формы веса 2, соответствующей рациональной эллиптической кривой   E,   может использоваться для сопоставления гармонической формы Маасса веса 0 с   E   .
• Одновременный порождающий ряд для значений дивизоров Хигнера и интегралов вдоль геодезических циклов -функции Клейна J (нормированной так, что постоянный член обращается в нуль) представляет собой гармоническую форму Мааса веса 1/2.

История

Приведенное выше абстрактное определение гармонических форм Мааса вместе с систематическим исследованием их основных свойств впервые было дано Брюнье и Функе. Однако многие примеры, такие как ряды Эйзенштейна и ряды Пуанкаре, были известны и раньше. Независимо Цвегерс разработал теорию ложных модульных форм, которая также связана с гармоническими формами Маасса.

Алгебраическая теория целочисленных весовых гармонических форм Мааса в стиле Каца была развита Канделори.

Цитируемые работы

• Алфес, Клаудия; Гриффин, Майкл; Оно, Кен; Ролен, Ларри (2015). «Вейерштрасс имитирует модульные формы и эллиптические кривые». Исследования в области теории чисел . 1 (24). arXiv : 1406.0443 .
• Брюнье, Ян Хендрик; Функе, Йенс (2004). «О двух геометрических тета-лифтах». Математический журнал Дьюка . 125 (1): 45–90. arXiv : math/0212286 . дои : 10.1215/S0012-7094-04-12513-8 . ISSN   0012-7094 . МР   2097357 . S2CID   2078210 .
• Канделори, Лука (2014). «Гармонические слабые формы Мааса: геометрический подход». Математические Аннален . 360 (1–2): 489–517. дои : 10.1007/s00208-014-1043-5 . S2CID   119474785 .
• Герцог, Уильям; Имамоглу, Озлем; Тот, Арпад (2011). «Циклические интегралы j-функции и ложные модулярные формы» . Анналы математики . Вторая серия. 173 (2): 947–981. дои : 10.4007/анналы.2011.173.2.8 .
• Фэй, Джон (1977). «Коэффициенты Фурье резольвенты фуксовой группы». Журнал чистой и прикладной математики . 294 : 143–203.
• Хейхал, Деннис (1983). Формула следа Сельберга для PSL(2,R) . Конспект лекций по математике. Том. 1001. Шпрингер-Верлаг.
• Кудла, Стив; Рапопорт, Майкл; Ян, Тунхай (1999). «О производной ряда Эйзенштейна веса один» . Уведомления о международных математических исследованиях . 1999 (7): 347–385. дои : 10.1155/S1073792899000185 .
• Загер, Дон (1975). «Числа классов и модульные формы весом 3/2». Доклады Академии наук, серия А (на французском языке). 281 :883–886.
• Цвегерс, СП (2002). Ложные тета-функции (кандидатская диссертация). Университет Утрехта. ISBN  978-903933155-2 .

Дальнейшее чтение

• Оно, Кен (2009). «Раскрытие видения мастера: гармонические формы Мааса и теория чисел». В Джерисоне, Дэвид; Мазур, Барри; Мровка, Томаш; Шмид, Вильфрид; Стэнли, Ричард П.; Яу, Шинг-Тунг (ред.). Современные достижения в математике . Том. 2008. Международная пресса Бостона. стр. 347–454. ISBN  978-157146139-1 .