Jump to content

Гармоническая форма Маасса

В математике слабая форма Мааса — это гладкая функция. на верхней полуплоскости , преобразующейся как модулярная форма под действием модулярной группы , являющейся собственной функцией соответствующего гиперболического оператора Лапласа и имеющей не более чем линейный экспоненциальный рост в точках возврата . Если собственное значение под лапласианом равна нулю, то называется гармонической слабой формой Мааса или кратко гармонической формой Мааса .

Слабая форма Мааса, которая фактически имеет умеренный рост на вершинах, является классической волновой формой Мааса .

Разложения Фурье гармонических форм Мааса часто кодируют интересные комбинаторные, арифметические или геометрические производящие функции. Регуляризованные тета-лифты гармонических форм Мааса могут быть использованы для построения Аракелова функций Грина для специальных дивизоров на ортогональных многообразиях Шимуры .

Определение

[ редактировать ]

Комплекснозначная гладкая функция на верхней полуплоскости H = { z C : Im ( z ) > 0} называется слабой маассовской формой целого веса k (для группы SL(2, Z ) ), если она удовлетворяет следующим трем условиям:

(1) Для каждой матрицы функция удовлетворяет закону модульного преобразования
(2) веса k является собственной функцией гиперболического лапласиана
где
(3) имеет не более чем линейный экспоненциальный рост на вершине, то есть существует константа C > 0 такая, что f ( z ) = O ( e Сай ) как

Если является слабой формой Мааса с собственным значением 0 при , то есть, если , затем называется гармонической слабой формой Мааса или кратко гармонической формой Мааса .

Основные свойства

[ редактировать ]

Каждая гармоническая форма Мааса веса имеет разложение Фурье вида

где q = е 2πiz , и являются целыми числами, зависящими от Более того,

обозначает неполную гамма-функцию (которая должна интерпретироваться соответствующим образом, когда n =0 ). Первое слагаемое называется голоморфной частью , а второе слагаемое — неголоморфной частью .

Существует сложный антилинейный дифференциальный оператор определяется

С , образ гармонической формы Мааса слабо голоморфен. Следовательно, определяет карту из векторного пространства гармонических форм веса Мааса в космос слабо голоморфных модулярных форм веса Это доказали Брюнье и Функе. [ 1 ] (для произвольных весов, систем множителей и конгруэнтных подгрупп) это отображение сюръективно. Следовательно, существует точная последовательность

обеспечивая связь с алгебраической теорией модулярных форм. Важное подпространство это пространство тех гармонических форм Мааса, которые отображаются в формы возврата при .

Если гармонические формы Мааса интерпретировать как гармонические сечения линейного расслоения модулярных форм веса снабженный метрикой Петерсона над модулярной кривой, то этот дифференциальный оператор можно рассматривать как композицию оператора звезды Ходжа и антиголоморфного дифференциала. Понятие гармонических форм Мааса естественным образом обобщается на произвольные конгруэнтные подгруппы и (скалярные и векторнозначные) системы множителей.

  • Всякая слабо голоморфная модулярная форма является гармонической формой Маасса.
  • Неголоморфный ряд Эйзенштейна
веса 2 является гармонической формой Мааса веса 2.
  • Загира Серия Эйзенштейна E 3/2 веса 3/2 [ 2 ] — гармоническая форма Мааса веса 3/2 (для группы Γ 0 (4) ). Его изображение под является ненулевым кратным тета-функции Якоби.
  • Производная некогерентного ряда Эйзенштейна веса 1, связанного с мнимым квадратичным порядком [ 3 ] является гармонической формой Мааса веса 1.
  • Имитационная модульная форма [ 4 ] является голоморфной частью гармонической формы Мааса.
  • Пуанкаре, Ряды построенные с помощью функции М-Уиттекера, являются слабыми формами Мааса. [ 5 ] [ 6 ] Когда спектральный параметр специализирован к гармонической точке, они приводят к гармоническим формам Маасса.
  • Оценка дзета-функции Вейерштрасса в интеграле Эйхлера новой формы веса 2, соответствующей рациональной эллиптической кривой E, может использоваться для сопоставления гармонической формы Маасса веса 0 с E . [ 7 ]
  • Одновременный порождающий ряд для значений дивизоров Хигнера и интегралов вдоль геодезических циклов -функции Клейна J (нормированной так, что постоянный член обращается в нуль) представляет собой гармоническую форму Мааса веса 1/2. [ 8 ]

Приведенное выше абстрактное определение гармонических форм Мааса вместе с систематическим исследованием их основных свойств впервые было дано Брюнье и Функе. [ 1 ] Однако многие примеры, такие как ряды Эйзенштейна и ряды Пуанкаре, были известны и раньше. Независимо Цвегерс разработал теорию ложных модульных форм, которая также связана с гармоническими формами Маасса. [ 4 ]

Алгебраическая теория целочисленных весовых гармонических форм Мааса в стиле Каца была развита Канделори. [ 9 ]

Цитируемые работы

[ редактировать ]
  • Алфес, Клаудия; Гриффин, Майкл; Оно, Кен; Ролен, Ларри (2015). «Вейерштрасс имитирует модульные формы и эллиптические кривые». Исследования в области теории чисел . 1 (24). arXiv : 1406.0443 .
  • Брюнье, Ян Хендрик; Функе, Йенс (2004). «О двух геометрических тета-лифтах». Математический журнал Дьюка . 125 (1): 45–90. arXiv : math/0212286 . дои : 10.1215/S0012-7094-04-12513-8 . ISSN   0012-7094 . МР   2097357 . S2CID   2078210 .
  • Канделори, Лука (2014). «Гармонические слабые формы Мааса: геометрический подход». Математические Аннален . 360 (1–2): 489–517. дои : 10.1007/s00208-014-1043-5 . S2CID   119474785 .
  • Герцог, Уильям; Имамоглу, Озлем; Тот, Арпад (2011). «Циклические интегралы j-функции и ложные модулярные формы» . Анналы математики . Вторая серия. 173 (2): 947–981. дои : 10.4007/анналы.2011.173.2.8 .
  • Фэй, Джон (1977). «Коэффициенты Фурье резольвенты фуксовой группы». Журнал чистой и прикладной математики . 294 : 143–203.
  • Хейхал, Деннис (1983). Формула следа Сельберга для PSL(2,R) . Конспект лекций по математике. Том. 1001. Шпрингер-Верлаг.
  • Кудла, Стив; Рапопорт, Майкл; Ян, Тунхай (1999). «О производной ряда Эйзенштейна веса один» . Уведомления о международных математических исследованиях . 1999 (7): 347–385. дои : 10.1155/S1073792899000185 .
  • Загер, Дон (1975). «Числа классов и модульные формы весом 3/2». Доклады Академии наук, серия А (на французском языке). 281 :883–886.
  • Цвегерс, СП (2002). Ложные тета-функции (кандидатская диссертация). Университет Утрехта. ISBN  978-903933155-2 .

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
  • Оно, Кен (2009). «Раскрытие видения мастера: гармонические формы Мааса и теория чисел». В Джерисоне, Дэвид; Мазур, Барри; Мровка, Томаш; Шмид, Вильфрид; Стэнли, Ричард П.; Яу, Шинг-Тунг (ред.). Современные достижения в математике . Том. 2008. Международная пресса Бостона. стр. 347–454. ISBN  978-157146139-1 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5acfa3cd0b7371d5e4560b1583b0ff5e__1701562380
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5a/5e/5acfa3cd0b7371d5e4560b1583b0ff5e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Harmonic Maass form - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)