Верхняя полуплоскость

В математике верхняя полуплоскость , ${\mathcal {H}},$ это набор точек $(x,y)$ в декартовой плоскости с $y>0.$ Нижняя полуплоскость представляет собой множество точек $(x,y)$ с $y<0$ вместо. Каждый из них является примером двумерного полупространства .

Аффинная геометрия

Аффинные преобразования верхней полуплоскости включают в себя

1. сдвиги $(x,y)\mapsto (x+c,y)$, $c\in \mathbb {R}$, и
2. расширения $(x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)$, $\lambda >0.$

Предложение: Пусть $A$ и $B$ быть полукругами в верхней полуплоскости с центрами на границе. Тогда существует аффинное отображение, которое принимает $A$ к $B$.

Доказательство: сначала сдвиньте центр $A$ к $(0,0).$ Тогда возьми $\lambda =({\text{diameter of}}\ B)/({\text{diameter of}}\ A)$

и расширить. Затем сдвиньте $(0,0)$ в центр $B.$

Инверсивная геометрия

Определение: ${\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}$.

${\mathcal {Z}}$ можно узнать как круг радиуса ${\tfrac {1}{2}}$ сосредоточено в ${\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},$ и как полярный сюжет $\rho (\theta )=\cos \theta .$

Предложение: $(0,0),$ $\rho (\theta )$ в ${\mathcal {Z}},$ и $(1,\tan \theta )$ являются коллинеарными точками .

Фактически, ${\mathcal {Z}}$ это инверсия линии ${\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}$ в единичном круге . Действительно, диагональ от $(0,0)$ к $(1,\tan \theta )$ имеет квадрат длины $1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$, так что $\rho (\theta )=\cos \theta$ является обратной величиной этой длины.

Метрическая геометрия

Расстояние между любыми двумя точками $p$ и $q$ в верхней полуплоскости можно последовательно определить следующим образом: Биссектриса отрезка из $p$ к $q$ либо пересекает границу, либо параллельна ей. В последнем случае $p$ и $q$ лежат на луче, перпендикулярном границе, и логарифмическую меру можно использовать для определения расстояния, которое инвариантно относительно расширения. В первом случае $p$ и $q$ лежат на окружности с центром в пересечении их серединного перпендикуляра и границы. По приведенному выше предложению этот круг можно переместить аффинным движением в ${\mathcal {Z}}.$ Расстояния на ${\mathcal {Z}}$ можно определить с помощью соответствия точкам на ${\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}$ и логарифмическая мера на этом луче. В результате верхняя полуплоскость становится метрическим пространством . Родовое название этого метрического пространства — гиперболическая плоскость . В терминах моделей гиперболической геометрии эту модель часто называют моделью полуплоскости Пуанкаре .

Сложная плоскость

Математики иногда отождествляют декартову плоскость с комплексной плоскостью , и тогда верхняя полуплоскость соответствует набору комплексных чисел с положительной мнимой частью :

${\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.$

Этот термин возник из-за распространенного представления комплексного числа. $x+iy$ как точка $(x,y)$ в плоскости, наделенной декартовыми координатами . Когда $y$ ось ориентирована вертикально, «верхняя полуплоскость » соответствует области над $x$ ось и, следовательно, комплексные числа, для которых $y>0$.

Это область применения многих функций комплексного анализа , особенно модульных форм . Нижняя полуплоскость, определяемая $y<0$ одинаково хорош, но меньше используется по соглашению. Открытый модульный диск ${\mathcal {D}}$ (множество всех комплексных чисел с абсолютным значением меньше единицы) эквивалентно конформному отображению ${\mathcal {H}}$ (см. « Метрику Пуанкаре »), что означает, что обычно можно переходить между ${\mathcal {H}}$ и ${\mathcal {D}}.$

Он также играет важную роль в гиперболической геометрии , где модель полуплоскости Пуанкаре позволяет исследовать гиперболические движения . Метрика Пуанкаре обеспечивает гиперболическую метрику пространства.

Теорема униформизации поверхностей является утверждает, что верхняя полуплоскость универсальным пространством покрытия поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной .

Замкнутая верхняя полуплоскость представляет собой объединение верхней полуплоскости и вещественной оси. Это закрытие верхней полуплоскости.

Обобщения

Одним из естественных обобщений дифференциальной геометрии является гиперболический подход. $n$-космос ${\mathcal {H}}^{n},$ максимально симметричный, односвязный , $n$-мерное риманово многообразие постоянной секционной кривизны $-1$. В этой терминологии верхняя полуплоскость — это ${\mathcal {H}}^{2}$ поскольку оно имеет реальное измерение $2.$

В теории чисел теория гильбертовых модулярных форм занимается изучением некоторых функций в прямом произведении. ${\mathcal {H}}^{n}$ из $n$ копии верхней полуплоскости. Еще одно пространство, интересное для теоретиков чисел, — это верхнее полупространство Зигеля. ${\mathcal {H}}_{n},$ который является областью модулярных форм Зигеля .

См. также

• Район Кусп
• Расширенная комплексная верхняя полуплоскость
• Фуксова группа
• Фундаментальный домен
• Полупространство
• Кляйнианская группа
• Модульная группа
• Стек модулей эллиптических кривых
• Риманова поверхность
• Теорема Шварца–Альфорса–Пика

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Верхняя полуплоскость» . Математический мир .