Сравнения Рамануджана

В математике сравнения Рамануджана — это сравнения для статистической суммы p ( n ), открытой Шринивасой Рамануджаном :

${\begin{aligned}p(5k+4)&\equiv 0{\pmod {5}},\\p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}$

Проще говоря, например, первое сравнение означает, что если число на 4 больше, чем кратное 5, т. е. оно находится в последовательности

4, 9, 14, 19, 24, 29, . . .

то число его разделов кратно 5.

Позднее были открыты и другие сравнения этого типа для чисел и для Тау-функций .

Фон

В своей статье 1919 г. он доказал первые два сравнения, используя следующие тождества (используя обозначение символа q-Похгаммера ):

${\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}},\\[4pt]&\sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}.\end{aligned}}$

Затем он заявил, что «похоже, что не существует одинаково простых свойств для любых модулей, включающих другие простые числа, кроме этих».

После смерти Рамануджана в 1920 году Г.Х. Харди извлек доказательства всех трех сравнений из неопубликованной рукописи Рамануджана на p ( n ) (Ramanujan, 1921). Доказательство в этой рукописи использует ряд Эйзенштейна .

В 1944 году Фримен Дайсон определил ранговую функцию для разбиения и предположил существование «кривошипной» функции для разбиений , которая обеспечила бы комбинаторное доказательство сравнений Рамануджана по модулю 11. Сорок лет спустя Джордж Эндрюс и Фрэнк Гарван нашли такую ​​функцию: и доказал знаменитый результат о том, что чудак одновременно «объясняет» три сравнения Рамануджана по модулю 5, 7 и 11.

В 1960-х годах А. О. Л. Аткин из Иллинойского университета в Чикаго обнаружил дополнительные сравнения для малых простых модулей. Например:

$p(11^{3}\cdot 13k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.$

Расширяя результаты А. Аткина, Кен Оно в 2000 году доказал, что существуют такие рамануджановские сравнения по модулю каждого целого числа, взаимно простого с 6. Например, его результаты дают

$p(107^{4}\cdot 31k+30064597)\equiv 0{\pmod {31}}.$

Позже Кен Оно предположил, что неуловимый чудак также удовлетворяет точно таким же типам общих сравнений. Это доказал его доктор философии. студент Карл Мальбург в своей статье 2005 года « Конгруэнции разделения и рукоятка Эндрюса-Гарвана-Дайсона» , ссылка на которую приведена ниже. Эта статья получила первую Национальной академии наук . премию «Доклад года»

Концептуальное объяснение наблюдения Рамануджана было наконец обнаружено в январе 2011 года. рассматривая размерность Хаусдорфа следующих $P$ функция в l-адической топологии:

$P_{\ell }(b;z):=\sum _{n=0}^{\infty }p\left({\frac {\ell ^{b}n+1}{24}}\right)q^{n/24}.$

Видно, что он имеет размерность 0 только в тех случаях, когда ℓ = 5, 7 или 11, и поскольку статистическую сумму можно записать как линейную комбинацию этих функций. это можно считать формализацией и доказательством наблюдения Рамануджана.

В 2001 году Р. Л. Уивер предложил эффективный алгоритм поиска сравнений статистической суммы и свел в таблицу 76 065 сравнений. В 2012 году Ф. Йоханссон расширил это число до 22 474 608 014 конгруэнтностей, одним большим примером является

$p(999959^{4}\cdot 29k+28995221336976431135321047)\equiv 0{\pmod {29}}.$

Ссылки

• Оно, Кен (2000). «Распределение статистической суммы по модулю m» . Анналы математики . Вторая серия. 151 (1): 293–307. arXiv : math/0008140 . Бибкод : 2000math......8140O . дои : 10.2307/121118 . JSTOR   121118 . S2CID   119750203 . Збл   0984.11050 .
• Оно, Кен (2004). Паутина модулярности: арифметика коэффициентов модулярных форм и q-рядов . Серия региональных конференций CBMS по математике. Том. 102. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-3368-1 . Збл   1119.11026 .
• Рамануджан, С. (1919). «Некоторые свойства p(n), количество разделов n». Труды Кембриджского философского общества . 19 : 207–210. ЖФМ   47.0885.01 .

Внешние ссылки

• Мальбург, К. (2005). «Сравнения разделов и кривошип Эндрюса – Гарвана – Дайсона» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 102 (43): 15373–76. Бибкод : 2005PNAS..10215373M . дои : 10.1073/pnas.0506702102 . ПМК   1266116 . ПМИД   16217020 .
• Ранг Дайсона, кривошипный и сопряженный . Список ссылок.