Рукоятка перегородки

В теории чисел кривошип . целочисленного раздела — это определенное число, связанное с этим разделом Впервые он был представлен без определения Фрименом Дайсоном , который выдвинул гипотезу о его существовании в статье 1944 года. ^[1] Дайсон привел список свойств, которыми должна обладать эта еще не определенная величина. В 1988 году Джордж Э. Эндрюс и Фрэнк Гарван нашли определение кривошипа, удовлетворяющее свойствам, выдвинутым для него гипотезой Дайсона. ^[2]

рукоятка Дайсона

Пусть n — неотрицательное целое число, и пусть p ( n ) обозначает количество разбиений n ( p (0) определяется как 1). Шриниваса Рамануджан в газете ^[3] опубликованный в 1918 году, установил и доказал следующие сравнения для статистической суммы p ( n ), известные с тех пор как сравнения Рамануджана .

р (5 n + 4) ≡ 0 (по модулю 5)
р (7 n + 5) ≡ 0 (по модулю 7)
р (11 n + 6) ≡ 0 (по модулю 11)

Эти сравнения означают, что разбиения чисел вида 5 n + 4 (соответственно форм 7 n + 5 и 11 n + 6 ) можно разделить на 5 (соответственно 7 и 11) подклассов одинакового размера. Известные тогда доказательства этих сравнений основывались на идеях производящих функций и не определяли метод разделения разбиений на подклассы равного размера.

В своей статье «Эврика» Дайсон предложил концепцию ранга разбиения . Ранг раздела — это целое число, полученное путем вычитания количества частей в разделе из наибольшей части в разделе. Например, ранг разбиения λ = { 4, 2, 1, 1, 1 } из 9 равен 4 - 5 = -1. Обозначая через N ( m , q , n ) количество разбиений n , ранги которых конгруэнтны m по модулю q , Дайсон рассматривал N ( m , 5, 5 n + 4) и N ( m , 7, 7 n + 5) ) для различных значений n и m . На основе эмпирических данных Дайсон сформулировал следующие гипотезы, известные как ранговые гипотезы .

Для всех неотрицательных целых чисел n имеем:

N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N ( 2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N ( 4, 5, 5 п + 4).
N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N ( 2, 7, 7 n + 5) = N (3, 7, 7 n + 5) = N ( 4, 7, 7 n + 5) = N (5, 7, 7 n + 5) = N (6, 7, 7 n + 5)

Предполагая, что эти гипотезы верны, они предоставили способ разбить все разбиения чисел вида 5 n + 4 на пять классов одинакового размера: поместить в один класс все те разбиения, ранги которых конгруэнтны друг другу по модулю 5. ту же идею можно применить и для разделения разбиений целых чисел вида 7 n + 5 на семь одинаково многочисленных классов. Но эта идея не позволяет разделить разделы целых чисел вида 11 n + 6 на 11 классов одинакового размера, как показывает следующая таблица.

Разделы целого числа 6 (11 n + 6 с n = 0), разделенные на классы в зависимости от рангов

ранг ≡ 0 (против 11)	ранг ≡ 1 (против 11)	ранг ≡ 2 (против 11)	ранг ≡ 3 (против 11)	ранг ≡ 4 (против 11)	ранг ≡ 5 (против 11)	ранг ≡ 6 (против 11)	ранг ≡ 7 (против 11)	ранг ≡ 8 (против 11)	ранг ≡ 9 (против 11)	ранг ≡ 10 (против 11)
{3,2,1}	{4,1,1}	{4,2}	{5,1}		{6}	{1,1,1,1,1,1}		{2,1,1,1,1}	{2,2,1,1}	{2,2,2}
	{3,3}									{3,1,1,1}

Таким образом, ранг нельзя использовать для комбинаторного доказательства теоремы. Однако Дайсон писал:

Я придерживаюсь факта:

что существует арифметический коэффициент, аналогичный, но более загадочный, чем ранг перегородки; Я буду называть этот гипотетический коэффициент «кривошипом» разбиения и обозначать через M ( m , q , n ) количество разбиений n , кривошип которого конгруэнтен m по модулю q;
что M ( м , q , п ) знак равно M ( q - м , q , п );
что M (0, 11, 11 n + 6) = M (1, 11, 11 n + 6) = M (2, 11, 11 n + 6) = M (3, 11, 11 n + 6) = M (4, 11, 11 п + 6);
что . . .

Подтверждены ли эти догадки доказательствами, я оставляю на усмотрение читателя. Каким бы ни был окончательный вердикт потомков, я считаю, что «кривошип» уникален среди арифметических функций, поскольку ему было присвоено имя до того, как он был открыт. Пусть он будет сохранен от позорной судьбы планеты Вулкан .

Определение кривошипа

В газете ^[2] опубликованная в 1988 году Джордж Э. Эндрюс и Ф.Г. Гарван определили кривошип перегородки следующим образом:

Для разбиения λ пусть ℓ ( λ ) обозначает наибольшую часть λ , ω ( λ ) обозначает количество единиц в λ , а µ ( λ ) обозначает количество частей λ , больших, чем ω ( λ ). Кривошип c ( λ ) определяется выражением

c(\lambda )={\begin{cases}\ell (\lambda )&{\text{if }}\omega (\lambda )=0\\\mu (\lambda )-\omega (\lambda )&{\text{if }}\omega (\lambda )>0.\end{cases}}

Критики разбиений целых чисел 4, 5, 6 рассчитаны в следующих таблицах.

Шатуны перегородок 4

Раздел л	Самая большая часть ℓ ( λ )	Количество единиц ω ( λ )	Количество деталей больше, чем ω ( λ ) м ( л )	Рукоятка с ( λ )
{4}	4	0	1	4
{3,1}	3	1	1	0
{2,2}	2	0	2	2
{2,1,1}	2	2	0	−2
{1,1,1,1}	1	4	0	−4

Шатуны перегородок 5

Раздел л	Самая большая часть ℓ ( λ )	Количество единиц ω ( λ )	Количество деталей больше, чем ω ( λ ) м ( л )	Рукоятка с ( λ )
{5}	5	0	1	5
{4,1}	4	1	1	0
{3,2}	3	0	2	3
{3,1,1}	3	2	1	−1
{2,2,1}	2	1	2	1
{2,1,1,1}	2	3	0	−3
{1,1,1,1,1}	1	5	0	−5

Шатуны перегородок 6

Раздел л	Самая большая часть ℓ ( λ )	Количество единиц ω ( λ )	Количество деталей больше, чем ω ( λ ) м ( л )	Рукоятка с ( λ )
{6}	6	0	1	6
{5,1}	5	1	1	0
{4,2}	4	0	2	4
{4,1,1}	4	2	1	−1
{3,3}	3	0	2	3
{3,2,1}	3	1	2	1
{3,1,1,1}	3	3	0	−3
{2,2,2}	2	0	3	2
{2,2,1,1}	2	2	0	−2
{2,1,1,1,1}	2	4	0	−4
{1,1,1,1,1,1}	1	6	0	−6

Обозначения

Для всех целых чисел n ≥ 0 и всех целых чисел m количество разбиений n с кривошипом, равным m, обозначается M ( m , n ), за исключением n = 1, где M (−1,1) = − M (0, 1) = M (1,1) = 1, что определяется следующей производящей функцией. Количество разбиений n с кривошипом, равным m по модулю q, обозначается M ( m , q , n ).

Производящая функция для M ( m , n ) приведена ниже:

\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }M(m,n)z^{m}q^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{n})}{(1-zq^{n})(1-z^{-1}q^{n})}}

Основной результат

Эндрюс и Гарван доказали следующий результат. ^[2] что показывает, что кривошип, определенный выше, действительно соответствует условиям, данным Дайсоном.

M (0, 5, 5 n + 4) = M (1, 5, 5 n + 4) = M (2, 5, 5 n + 4) = M (3, 5, 5 n + 4) = M ( 4, 5, 5 н + 4) = р (5 н + 4) / 5
M (0, 7, 7 n + 5) = M (1, 7, 7 n + 5) = M ( 2, 7, 7 n + 5) = M (3, 7, 7 n + 5) = M ( 4, 7, 7 n + 5) = M (5, 7, 7 n + 5) = M (6, 7, 7 n + 5) = p (7 n + 5) / 7
M (0, 11, 11 n + 6) = M (1, 11, 11 n + 6) = M (2, 11, 11 n + 6) = M (3, 11, 11 n + 6) = . . . = М (9, 11, 11 н + 6) = М (10, 11, 11 н + 6) = р (11 н + 6) / 11

Понятия ранга и кривошипа можно использовать для классификации разделов определенных целых чисел на подклассы одинакового размера. Однако эти две концепции создают разные подклассы разделов. Это показано в следующих двух таблицах.

Классификация разбиений целого числа 9 по кривошипам

Перегородки с кривошип ≡ 0 (против 5)	Перегородки с рукоятка ≡ 1 (против 5)	Перегородки с рукоятка ≡ 2 (против 5)	Перегородки с рукоятка ≡ 3 (против 5)	Перегородки с рукоятка ≡ 4 (против 5)
{ 8, 1 }	{ 6, 3 }	{ 7, 2 }	{ 6, 1, 1, 1 }	{ 9 }
{ 5, 4 }	{ 6, 2, 1 }	{ 5, 1, 1, 1, 1 }	{ 4, 2, 1, 1, 1 }	{ 7, 1, 1 }
{ 5, 2, 2 }	{ 5, 3, 1 }	{ 4, 2, 2, 1 }	{ 3, 3, 3 }	{ 5, 2, 1, 1 }
{ 4, 3, 1, 1 }	{ 4, 4, 1 }	{ 3, 3, 2, 1 }	{ 3, 2, 2, 2 }	{ 4, 3, 2 }
{ 4, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 2, 1 }	{ 3, 2, 2, 1, 1 }
{ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 1, 1, 1 }	{ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}	{ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }

Классификация разбиений целого числа 9 по рангам

Перегородки с ранг ≡ 0 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 1 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 2 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 3 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 4 (против 5)
{ 7, 2 }	{ 8, 1 }	{ 6, 1, 1, 1 }	{ 9 }	{ 7, 1, 1 }
{ 5, 1, 1, 1, 1 }	{ 5, 2, 1, 1 }	{ 5, 3, 1}	{ 6, 2, 1 }	{ 6, 3 }
{ 4, 3, 1, 1 }	{ 4, 4, 1 }	{ 5, 2, 2 }	{ 5, 4 }	{ 4, 2, 1, 1, 1 }
{ 4, 2, 2, 1 }	{ 4, 3, 2 }	{ 3, 2, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 2, 1 }
{ 3, 3, 3 }	{ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 2, 1 }	{ 4, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 2 }
{ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 1, 1, 1 }	{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 1, 1}	{ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }

Рамануджан и чудаки

В недавней работе Брюса Берндта и его соавторов утверждалось, что Рамануджан знал о чудаке, хотя и не в той форме, которую определили Эндрюс и Гарван. В систематическом исследовании «Утерянной записной книжки Рамануджана» Берндт и его соавторы предоставили существенные доказательства того, что Рамануджан знал о анализе производящей функции кривошипа. ^[4]^[5]

Ссылки

^ Фриман Дж. Дайсон (1944). «Некоторые догадки по теории разделов» (PDF) . Эврика (Кембридж) . 8 :10–15. ISBN 9780821805619 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джордж Э. Эндрюс; Ф.Г. Гарван (апрель 1988 г.). «Рукоятка перегородки Дайсона» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 18 (2) . Проверено 26 ноября 2012 г.
^ Шриниваса, Рамануджан (1919). «Некоторые свойства p ( n ), количество разделов n ». Труды Кембриджского философского общества . XIX : 207–210.
^ Манджил П. Сайкиа (2013). «Чудаки в потерянной записной книжке Рамануджана». Журнал Ассамской математической академии . 6 . arXiv : 1402.6644 . Бибкод : 2014arXiv1402.6644S .
^ Манджил П. Сайкиа (2015). «Исследование функции кривошипа в потерянной записной книжке Рамануджана». Студент-математик . 84 . arXiv : 1406.3299 . Бибкод : 2014arXiv1406.3299S .

[1] Фриман Дж. Дайсон (1944). «Некоторые догадки по теории разделов» (PDF) . Эврика (Кембридж) . 8 :10–15. ISBN 9780821805619 .

[def-2] Jump up to: ^а ^б ^с Джордж Э. Эндрюс; Ф.Г. Гарван (апрель 1988 г.). «Рукоятка перегородки Дайсона» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 18 (2) . Проверено 26 ноября 2012 г.

[3] Шриниваса, Рамануджан (1919). «Некоторые свойства p ( n ), количество разделов n ». Труды Кембриджского философского общества . XIX : 207–210.

[mps-4] Манджил П. Сайкиа (2013). «Чудаки в потерянной записной книжке Рамануджана». Журнал Ассамской математической академии . 6 . arXiv : 1402.6644 . Бибкод : 2014arXiv1402.6644S .

[mps2-5] Манджил П. Сайкиа (2015). «Исследование функции кривошипа в потерянной записной книжке Рамануджана». Студент-математик . 84 . arXiv : 1406.3299 . Бибкод : 2014arXiv1406.3299S .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]