Ранг раздела

В математике , особенно в области теории чисел и комбинаторики , ранг целочисленного раздела — это определенное число, связанное с этим разделом. Фактически в литературе встречаются как минимум два разных определения ранга. Первое определение, которому посвящена большая часть этой статьи, заключается в том, что ранг раздела — это число, полученное путем вычитания количества частей в разделе из самой большой части в разделе. Концепция была представлена Фрименом Дайсоном в статье, опубликованной в журнале Eureka . ^[1] Оно было представлено в контексте исследования некоторых конгруэнтных свойств статистической суммы, открытой индийским математическим гением Шринивасой Рамануджаном . Другая концепция с тем же названием используется в комбинаторике, где за ранг принимается размер квадрата Дерфи разбиения.

Определение

Под разбиением натурального числа n будем понимать конечное мультимножество λ = { λ _k , λ _{k − 1} , . . . , λ ₁ } натуральных чисел, удовлетворяющих следующим двум условиям:

λ _k ≥ . . . ≥ λ ₂ ≥ λ ₁ > 0.
λ _k + . . . + λ ₂ + λ ₁ знак равно п .

Если λ _k , . . . , λ ₂ , λ ₁ различны, то есть если

λ _k > . . . > λ ₂ > λ ₁ > 0

разбиение λ называется строгим разбиением n . тогда Целые числа λ _k , λ _{k − 1} , ..., λ ₁ являются частями разбиения. Число частей в разбиении λ равно k разбиении равна λk _{, а наибольшая часть в} . Ранг разбиения λ (обычного или строгого) определяется как λ _k − k . ^[1]

Ранги разбиений n принимают следующие значения и никакие другие: ^[1]

п - 1, п - 3, п - 4, . . . , 2, 1, 0, −1, −2, . . . , −( n − 4), −( n − 3), −( n − 1).

В следующей таблице приведены ранги различных разделов числа 5.

Ранги разбиений целого числа 5

Раздел (л)	Самая большая часть ( λ _к )	Количество деталей ( к )	Ранг раздела ( λ _k - k )
{ 5 }	5	1	4
{ 4, 1 }	4	2	2
{ 3, 2 }	3	2	1
{ 3, 1, 1 }	3	3	0
{ 2, 2, 1 }	2	3	−1
{ 2, 1, 1, 1 }	2	4	−2
{ 1, 1, 1, 1, 1 }	1	5	−4

Обозначения

Следующие обозначения используются для указания количества разделов данного ранга. Пусть n , q — целые положительные числа, а m — любое целое число.

Общее количество разделов n обозначается p ( n ).
Количество разделов n ранга m обозначается N ( m , n ).
Количество разбиений n с рангом, соответствующим m по модулю q, обозначается N ( m , q , n ).
Количество строгих разбиений n обозначается Q ( n ).
Количество строгих разбиений n ранга m обозначается R ( m , n ).
Количество строгих разбиений n с рангом, соответствующим m по модулю q, обозначается T ( m , q , n ).

Например,

п (5) = 7, Н (2, 5) = 1, Н (3, 5) = 0, Н (2, 2, 5) = 5.

Q (5) = 3, R (2, 5) = 1, R (3, 5) = 0, T (2, 2, 5) = 2.

Некоторые основные результаты

Пусть n , q — целые положительные числа, а m — любое целое число. ^[1]

$N(m,n)=N(-m,n)$
$N(m,q,n)=N(q-m,q,n)$
$N(m,q,n)=\sum _{r=-\infty }^{\infty }N(m+rq,n)$

Сравнения Рамануджана и гипотеза Дайсона.

Шриниваса Рамануджан в статье, опубликованной в 1919 году, доказал следующие сравнения, включающие статистическую сумму p ( n ): ^[2]

р (5 n + 4) ≡ 0 (по модулю 5)
р (7 n + 5) ≡ 0 (по модулю 7)
р (11 n + 6) ≡ 0 (по модулю 11)

Комментируя этот результат, Дайсон отмечал, что «... хотя мы можем доказать, что разбиения 5 n + 4 можно разделить на пять одинаково многочисленных подклассов, неудовлетворительно получить из доказательств никакого конкретного представления о том, как происходит это деление». Нам нужно доказательство, не апеллирующее к производящим функциям». ^[1] Дайсон ввел идею ранга раздела для выполнения задачи, которую он перед собой поставил. Используя эту новую идею, он сделал следующие предположения:

N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N ( 2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N ( 4, 5, 5 н + 4)
N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) = . . . = Н (6,7,7n + 5 )

Эти гипотезы были доказаны Аткином и Суиннертоном-Дайером в 1954 году. ^[3]

В следующих таблицах показано, как разбиения целых чисел 4 (5 × n + 4 с n = 0) и 9 (5 × n + 4 с n = 1) делятся на пять одинаково многочисленных подклассов.

Разделы целого числа 4

Перегородки с ранг ≡ 0 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 1 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 2 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 3 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 4 (против 5)
{ 2, 2 }	{ 3, 1 }	{ 1, 1, 1, 1 }	{ 4 }	{ 2, 1, 1 }

Разделы целого числа 9

Перегородки с ранг ≡ 0 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 1 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 2 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 3 (против 5)	Перегородки с ранг ≡ 4 (против 5)
{ 7, 2 }	{ 8, 1 }	{ 6, 1, 1, 1 }	{ 9 }	{ 7, 1, 1 }
{ 5, 1, 1, 1, 1 }	{ 5, 2, 1, 1 }	{ 5, 3, 1}	{ 6, 2, 1 }	{ 6, 3 }
{ 4, 3, 1, 1 }	{ 4, 4, 1 }	{ 5, 2, 2 }	{ 5, 4 }	{ 4, 2, 1, 1, 1 }
{ 4, 2, 2, 1 }	{ 4, 3, 2 }	{ 3, 2, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 2, 1 }
{ 3, 3, 3 }	{ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 2, 1 }	{ 4, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 2 }
{ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 1, 1, 1 }	{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 1, 1}	{ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }

Генерирующие функции

Производящая функция p ( n ) была открыта Эйлером и хорошо известна. ^[4]

\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}

Производящая функция для N ( m , n ) приведена ниже: ^[5]

\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }N(m,n)z^{m}q^{n}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{k=1}^{n}(1-zq^{k})(1-z^{-1}q^{k})}}

Производящая функция для Q ( n ) приведена ниже: ^[6]

\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}

Производящая функция для R ( m , n ) приведена ниже: ^[6]

\sum _{m,n=0}^{\infty }R(m,n)z^{m}q^{n}=1+\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {q^{s(s+1)/2}}{(1-zq)(1-zq^{2})\cdots (1-zq^{s})}}

Альтернативное определение

В комбинаторике фраза ранг раздела иногда используется для описания другого понятия: ранг раздела λ — это наибольшее целое число i такое, что λ имеет по крайней мере i частей, каждая из которых не меньше i . ^[7] Эквивалентно, это длина главной диагонали диаграммы Юнга или диаграммы Феррера для λ или длина стороны квадрата Дёрфи для λ.

Таблица рангов разделов 5 приведена ниже.

Ранги разбиений целого числа 5

Раздел	Классифицировать
{ 5 }	1
{ 4, 1 }	1
{ 3, 2 }	2
{ 3, 1, 1 }	1
{ 2, 2, 1 }	2
{ 2, 1, 1, 1 }	1
{ 1, 1, 1, 1, 1 }	1

Дальнейшее чтение

Асимптотические формулы для ранговой статистической суммы: ^[8]
Сравнения для ранговой функции: ^[9]
Обобщение ранга до BG-ранга: ^[10]

См. также

Рукоятка перегородки

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Ф. Дайсон (1944). «Некоторые догадки из теории перегородок» (PDF) . Эврика (Кембридж) . 8 :10–15.
^ Шриниваса, Рамануджан (1919). «Некоторые свойства p ( n ), количество разделов n ». Труды Кембриджского философского общества . XIX : 207–210.
^ АОЛ Аткин; HPF Суиннертон-Дайер (1954). «Некоторые свойства разделов». Труды Лондонского математического общества . 66 (4): 84–106. дои : 10.1112/plms/s3-4.1.84 .
^ Г.Х. Харди и Э.В. Райт (1938). Введение в теорию чисел . Лондон: Издательство Оксфордского университета. п. 274.
^ Брингманн, Катрин (2009). «Сравнения рядов Дайсона» (PDF) . Международный журнал теории чисел . 5 (4): 573–584. дои : 10.1142/S1793042109002262 . Проверено 24 ноября 2012 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мария Монкс (2010). «Теоретико-числовые свойства производящих функций, связанные с рангом Дайсона для разбиения на отдельные части» (PDF) . Труды Американского математического общества . 138 (2): 481–494. дои : 10.1090/s0002-9939-09-10076-x . Проверено 24 ноября 2012 г.
^ Стэнли, Ричард П. (1999) Перечислительная комбинаторика , Том 2 , с. 289. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-56069-1 .
^ Брингман, Кэтрин (июль 2009 г.). «Асимптотика функций распределения ранга» (PDF) . Труды Американского математического общества . 361 (7): 3483–3500. arXiv : 0708.0691 . дои : 10.1090/s0002-9947-09-04553-x . S2CID 42465633 . Проверено 21 ноября 2012 г.
^ Брингманн, Катрин (2009). «Сравнения для ранга Дайсона» (PDF) . Международный журнал теории чисел . 5 (4): 573–584. дои : 10.1142/S1793042109002262 . Проверено 21 ноября 2012 г.
^ Беркович, Александр; Гарван, Фрэнк Г. (2008). «BG-ранг раздела и его приложения» (PDF) . Достижения прикладной математики . 40 (3): 377–400. arXiv : математика/0602362 . дои : 10.1016/j.aam.2007.04.002 . S2CID 7337479 . Проверено 21 ноября 2012 г.

[Dyson-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Ф. Дайсон (1944). «Некоторые догадки из теории перегородок» (PDF) . Эврика (Кембридж) . 8 :10–15.

[2] Шриниваса, Рамануджан (1919). «Некоторые свойства p ( n ), количество разделов n ». Труды Кембриджского философского общества . XIX : 207–210.

[3] АОЛ Аткин; HPF Суиннертон-Дайер (1954). «Некоторые свойства разделов». Труды Лондонского математического общества . 66 (4): 84–106. дои : 10.1112/plms/s3-4.1.84 .

[4] Г.Х. Харди и Э.В. Райт (1938). Введение в теорию чисел . Лондон: Издательство Оксфордского университета. п. 274.

[5] Брингманн, Катрин (2009). «Сравнения рядов Дайсона» (PDF) . Международный журнал теории чисел . 5 (4): 573–584. дои : 10.1142/S1793042109002262 . Проверено 24 ноября 2012 г.

[Maria-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мария Монкс (2010). «Теоретико-числовые свойства производящих функций, связанные с рангом Дайсона для разбиения на отдельные части» (PDF) . Труды Американского математического общества . 138 (2): 481–494. дои : 10.1090/s0002-9939-09-10076-x . Проверено 24 ноября 2012 г.

[7] Стэнли, Ричард П. (1999) Перечислительная комбинаторика , Том 2 , с. 289. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-56069-1 .

[8] Брингман, Кэтрин (июль 2009 г.). «Асимптотика функций распределения ранга» (PDF) . Труды Американского математического общества . 361 (7): 3483–3500. arXiv : 0708.0691 . дои : 10.1090/s0002-9947-09-04553-x . S2CID 42465633 . Проверено 21 ноября 2012 г.

[9] Брингманн, Катрин (2009). «Сравнения для ранга Дайсона» (PDF) . Международный журнал теории чисел . 5 (4): 573–584. дои : 10.1142/S1793042109002262 . Проверено 21 ноября 2012 г.

[10] Беркович, Александр; Гарван, Фрэнк Г. (2008). «BG-ранг раздела и его приложения» (PDF) . Достижения прикладной математики . 40 (3): 377–400. arXiv : математика/0602362 . дои : 10.1016/j.aam.2007.04.002 . S2CID 7337479 . Проверено 21 ноября 2012 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]