Площадь Дерфи

В теории чисел квадрат Дерфи является атрибутом целочисленного разбиения . Раздел n имеет квадрат Дерфи размера s, если s — наибольшее число такое, что раздел содержит по крайней мере s частей со значениями ≥ s . Эквивалентное, но более наглядное определение состоит в том, что квадрат Дёрфи — это самый большой квадрат, содержащийся в диаграмме Феррера раздела . Длина стороны квадрата Дерфи называется рангом перегородки .

Символ Дерфи состоит из двух частей, представленных точками справа или под квадратом Дерфи.

Примеры

Раздел 4+3+3+2+1+1:

имеет квадрат Дерфи со стороной 3 (красный), поскольку он содержит 3 части ≥ 3, но не содержит 4 частей ≥ 4. Его символ Дерфи состоит из двух частей 1 и 2+1+1.

История

Квадраты Дёрфи названы в честь Уильяма Питта Дёрфи , ученика английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра . В письме Артуру Кейли в 1883 году Сильвестр писал:

« Квадрат Дерфи — великое изобретение, о важности которого его автор даже не подозревает » .

Генерирующая функция

Метод квадрата Дарфи приводит к такой производящей функции для целочисленных разделов:

$P(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k^{2}}}{\prod _{i=1}^{k}(1-x^{i})^{2}}}$

где $x^{k^{2}}$ - размер квадрата Дерфи, а $(1-x^{i})^{2}$ представляет собой две секции справа и ниже квадрата Дерфи размера k (представляющие собой два разделения на части размера не более k , что эквивалентно разделам с не более чем k частями).

Характеристики

Из визуального определения ясно, что квадрат Дёрфи разбиения и сопряженного ему разбиения имеют одинаковый размер. Разбиения целого числа n содержат квадраты Дёрфи со сторонами до $\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$.

См. также

• индекс Хирша
• Тройное произведение Якоби