24-ячеистые соты

24-ячеистые соты
и 24 ячейки первый слой соседних 4-х граней.
Тип	Обычный 4-сотовый Униформа 4-сотовая
Символ Шлефли	{3,4,3,3} г {3,3,4,3} 2р{4,3,3,4} 2р{4,3,3 ^1,1} {3 ^1,1,1,1}
Диаграммы Кокстера-Динкина
4-гранный тип	{3,4,3}
Тип ячейки	{3,4}
Тип лица	{3}
Краевая фигура	{3,3}
Вершинная фигура	{4,3,3}
Двойной	{3,3,4,3}
Группы Кокстера	${\tilde {F}}_{4}$ , [3,4,3,3] ${\tilde {C}}_{4}$ , [4,3,3,4] ${\tilde {B}}_{4}$ , [4,3,3 ^1,1] ${\tilde {D}}_{4}$ , [3 ^1,1,1,1]
Характеристики	обычный

В четырехмерной евклидовой геометрии или 24-клеточные соты икоситетрахорические соты представляют собой регулярную пространства, заполняющую мозаику (или соты ) четырехмерного евклидова пространство регулярными 24 ячейками . Его можно представить символом Шлефли {3,4,3,3}.

Двойная 16 мозаика обычными -ячеистыми сотами имеет символ Шлефли {3,3,4,3}. Вместе с тессерактическими сотами (или 4-кубическими сотами) это единственные правильные мозаики евклидова 4-мерного пространства.

Координаты

Соты из 24 ячеек могут быть построены как мозаика Вороного D ₄ или F ₄ корневой решетки . Затем каждая 24-ячейка центрируется в точке решетки D4 _, т.е. в одной из

\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{4}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.

Эти точки также можно описать как кватернионы Гурвица с четной квадратичной нормой.

Вершины сот лежат в глубоких отверстиях решетки D ₄ . Это кватернионы Гурвица с нечетной квадратичной нормой.

Его можно построить как биректифицированную тессерактическую соту , взяв тессерактическую соту и поместив вершины в центры всех квадратных граней. Фасеты из 24 ячеек существуют между этими вершинами как выпрямленные 16 ячеек . Если координаты тессерактических сот являются целыми числами (i,j,k,l), биректифицированные вершины тессерактических сот могут быть размещены во всех перестановках сдвигов на полединицы в двух из четырех измерений, таким образом: (i+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ,j+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ,k,l), (i+ ⁠ 1/2 , j , ⁠ k+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ,l), (i+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ,j,k,l+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ), (i,j+ ⁠ 1/2 , ⁠ k + ⁠ 1 / 2 ⁠ ,l), (i,j+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ,k,l+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ), (i,j,k+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ,l+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ).

Конфигурация

Каждые 24 ячейки в сотах из 24 ячеек имеют 24 соседних 24 ячейки. С каждым соседом он делит ровно одну октаэдрическую ячейку.

У него есть еще 24 соседа, так что с каждым из них он имеет общую вершину.

У него нет соседей, с которыми он разделяет только ребро или только грань.

Вершинная фигура сот из 24 ячеек представляет собой тессеракт (4-мерный куб). Итак, в каждой вершине встречаются 16 ребер, 32 треугольника, 24 октаэдра и 8 24-клеток. Реберная фигура представляет собой тетраэдр , поэтому каждое ребро окружено 4 треугольниками, 6 октаэдрами и 4 24-ячейками. Наконец, фигура грани представляет собой треугольник, поэтому на каждой грани встречаются 3 октаэдра и 3 24-клетки.

Сечения

Один из способов визуализировать четырехмерную фигуру — рассмотреть различные трехмерные сечения . То есть пересечение различных гиперплоскостей с рассматриваемой фигурой. Применение этой техники к сотам из 24 ячеек приводит к созданию различных трехмерных сот с разной степенью регулярности.

Вершинные секции

Ромбические додекаэдрические соты	Кубические соты
Разделы «сначала ячейка»

Ректифицированные кубические соты	Разрезанные кубические соты

Сечение по вершинам использует некоторую гиперплоскость, ортогональную линии, соединяющей противоположные вершины одной из 24 ячеек. Например, можно взять любую из координатных гиперплоскостей в приведенной выше системе координат (т.е. плоскости, определяемые x _i = 0). Сечение {3,4,3,3} одной из этих гиперплоскостей дает ромбические додекаэдрические соты . Каждый из ромбических додекаэдров соответствует максимальному сечению одной из 24-клеток, пересекающих гиперплоскость (центр каждой такой (4-мерной) 24-клетки лежит в гиперплоскости). Соответственно, ромбдодекаэдрические соты представляют собой мозаику Вороного корневой решетки D ₃ ( гранецентрированную кубическую решетку). Сместив эту гиперплоскость на полпути к одной из вершин (например, x _i = ⁠ 1/2 соты ⁠ ) порождает правильные кубические . В этом случае центр каждой 24-клетки лежит за пределами гиперплоскости. Повторное смещение, так что гиперплоскость пересекает вершину, дает еще одну ромбидодекаэдрическую соту, но с новыми 24 ячейками (прежние сжались до точек). В общем, для любого целого числа n сечение через x _i = n представляет собой ромбические додекаэдрические соты, а сечение через x _i = n + ⁠ 1/2 ⁠ — кубические соты. Когда гиперплоскость движется через 4-пространство, поперечное сечение периодически меняется между ними.

используется В поперечном сечении «сначала ячейка» некоторая гиперплоскость, параллельная одной из октаэдрических ячеек 24-ячейки. Рассмотрим, например, некоторую гиперплоскость, ортогональную вектору (1,1,0,0). Сечение {3,4,3,3} этой гиперплоскостью представляет собой выпрямленные кубические соты . Каждый кубооктаэдр в этих сотах представляет собой максимальное сечение 24-ячейки, центр которой лежит в плоскости. Между тем, каждый октаэдр является граничной ячейкой (4-мерной) 24-клетки, центр которой находится за пределами плоскости. Смещая эту гиперплоскость до тех пор, пока она не окажется посередине между центром 24-ячейки и границей, можно получить усеченную кубическую соту . Кубооктаэдры сжались, а октаэдры выросли, пока оба не превратились в усеченные октаэдры . Повторное смещение, так что гиперплоскость пересекает границу центральных 24 ячеек, снова дает выпрямленные кубические соты, причем кубооктаэдры и октаэдры поменялись местами. Когда гиперплоскость проходит через 4-пространство, поперечное сечение между этими двумя сотами периодически меняется.

Поцелуйный номер

Если известных из . в каждую гиперячейку этой мозаики вписана 3-сфера, то полученное расположение будет самым плотным ^{[примечание 1]} правильная упаковка сфер в четырех измерениях с числом целования 24. Плотность упаковки такой компоновки равна

{\frac {\pi ^{2}}{16}}\cong 0.61685.

Каждая вписанная 3-сфера целует 24 другие в центрах октаэдрических граней своей 24-ячейки, поскольку каждая такая октаэдрическая ячейка является общей с соседней 24-ячейкой. В мозаике с единичной длиной края диаметр сфер (расстояние между центрами целующихся сфер) равен √ 2 .

Сразу за этой окружающей оболочкой из 24 целующихся 3-сфер находится еще одна, менее плотная оболочка из 24 3-сфер, которые не целуют друг друга или центральную 3-сферу; они вписаны в 24 ячейки, с которыми центральная 24 ячейки имеет общую только одну вершину (а не октаэдрическую ячейку). Межцентровое расстояние между одной из этих сфер и любым из ее соседей по оболочке или центральной сферой равно 2.

В качестве альтернативы, ту же самую компоновку упаковки сфер с числом поцелуя 24 можно выполнить с меньшими 3-мя сферами с диаметром ребра, разместив их в центрах и вершинах 24-ячеек. (Это эквивалентно расположению их в вершинах 16-ячеистой соты с единичной длиной ребра.) В этом случае центральная 3-сфера целует 24 другие в центрах кубических граней трех тессерактов, вписанных в 24 -клетка . (Это уникальная объемноцентрированная кубическая упаковка сфер с ребрами тессерактических сот.)

Сразу за этой оболочкой целующихся 3-сфер диаметром 1 находится еще одна, менее плотная оболочка из 24 нецелующихся 3-сфер диаметром 1; они сосредоточены в соседних 24-ячейках, с которыми центральная 24-ячейка имеет общую октаэдрическую грань. Межцентровое расстояние между одной из этих сфер и любым из ее соседей по оболочке или центральной сферой равно √ 2 .

Симметричные конструкции

Существует пять различных конструкций Витгофа этой мозаики как однородного многогранника . Геометрически они идентичны правильной форме, но различия в симметрии могут быть представлены цветными 24-клеточными гранями. Во всех случаях в каждой вершине встречаются восемь 24-клеток, но фигуры вершин имеют разные генераторы симметрии.

Группа Коксетера	Символы Шлефли		Фасеты ( 24 ячейки )	Вертекс фигура симметрия заказ
${\tilde {F}}_{4}$ = [3,4,3,3]	${\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}$	{3,4,3,3}	8:	384
${\tilde {F}}_{4}$ = [3,4,3,3]	$\left\{{\begin{array}{l}3\\3,4,3\end{array}}\right\}$	г {3,3,4,3}	6: 2:	96
${\tilde {C}}_{4}$ = [4,3,3,4]	$\left\{{\begin{array}{l}3,4\\3,4\end{array}}\right\}$	2р{4,3,3,4}	4,4:	64
${\tilde {B}}_{4}$ = [4,3,3 ^1,1]	$\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3,4\end{array}}\right\}$	2р{4,3,3 ^1,1}	2,2: 4:	32
${\tilde {D}}_{4}$ = [3 ^1,1,1,1]	$\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}$	{3 ^1,1,1,1}	2,2,2,2:	16

См. также

Другие однородные соты в 4-мерном пространстве:

Примечания

^ Проблема упаковки сфер и проблема числа поцелуев чрезвычайно сложны, и оптимальные решения известны только в 1, 2, 3, 8 и 24 измерениях (плюс измерение 4 для проблемы числа поцелуев).

Ссылки

Коксетер, Правильные многогранники HSM (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 стр. 296, Таблица II: Обычные соты.
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Георгий Ольшевский, Равномерные паноплоидные тетракомбы , Рукопись (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомб) - Модель 88
Клитцинг, Ричард. «4D евклидовы мозаики» . o4o3x3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o4o3o, o3o3o4o3x - icot - O88

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] Проблема упаковки сфер и проблема числа поцелуев чрезвычайно сложны, и оптимальные решения известны только в 1, 2, 3, 8 и 24 измерениях (плюс измерение 4 для проблемы числа поцелуев).

[примечание 1]