Ф ₄ (математика)

В математике , F ₄ является группой Ли а также ее алгеброй Ли f ₄ . Это одна из пяти исключительных простых групп Ли . F ₄ имеет ранг 4 и размерность 52. Компактная форма односвязна, а ее внешняя группа автоморфизмов является тривиальной группой . Его фундаментальное представление 26-мерное.

Компактная вещественная форма F ₄ представляет собой группу изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как октонионная проективная плоскость OP. ². Это можно систематически увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат , предложенную Гансом Фройденталем и Жаком Титсом .

Существует 3 реальные формы : компактная, разделенная и третья. Это группы изометрий трех вещественных алгебр Альберта .

Алгебра Ли F ₄ может быть построена добавлением 16 генераторов, преобразующихся как спинор 36-мерную алгебру Ли в (9), по аналогии с конструкцией E ₈ .

В старых книгах и статьях F ₄ иногда обозначается как E ₄ .

Алгебра

Диаграмма Дынкина

Диаграмма Дынкина для F ₄ : .

Группа Вейля/Коксетера

Ее Вейля / Коксетера группа G = W (F ₄ ) является группой симметрии : 24-клетки это разрешимая группа порядка 1152. Она имеет минимальную точную степень µ ( G ) = 24 , ^[1] что реализуется действием на 24-клетку .

Матрица Картана

\left[{\begin{array}{rrrr}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{array}}\right]

Ф ₄Решетка

F ₄ Решетка представляет собой четырехмерную объемноцентрированную кубическую решетку (т.е. объединение двух гиперкубических решеток , каждая из которых лежит в центре другой). Они образуют кольцо, называемое кольцом кватернионов Гурвица . 24 кватерниона Гурвица нормы 1 образуют вершины 24-ячейки с центром в начале координат.

Корни F ₄

48 корневых векторов F ₄ можно найти как вершины 24-ячейки в двух двойственных конфигурациях, представляющих вершины дисфеноидальной 288-ячейки, если длины ребер 24-ячеек равны:

24-клеточные вершины:

24 корня на (±1, ±1, 0, 0), перестановка положений координат

Двойные 24-клеточные вершины:

8 корней на (±1, 0, 0, 0), перестановка координат
16 корней на (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2).

Простые корни

Один выбор простых корней для F ₄ , , задается строками следующей матрицы:

{\begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

Диаграмма Хассе для корневого ЧУ-множества F ₄ показана внизу справа.

Диаграмма Хассе F ₄ корневого ЧУМ с метками ребер, обозначающими добавленное простое положение корня

F ₄Полиномиальный инвариант

Так же, как O( n ) — это группа автоморфизмов, которые сохраняют квадратичные многочлены x ² + и ² + ... инвариант, F ₄ — группа автоморфизмов следующего набора из 3 многочленов от 27 переменных. (Первую можно легко заменить на две другие, получив 26 переменных).

C_{1}=x+y+z

C_{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2X{\overline {X}}+2Y{\overline {Y}}+2Z{\overline {Z}}

C_{3}=xyz-xX{\overline {X}}-yY{\overline {Y}}-zZ{\overline {Z}}+XYZ+{\overline {XYZ}}

Где x , y , z имеют действительные значения, а X , Y , Z имеют значения октонионов. Другой способ записи этих инвариантов — это (комбинации) Tr( M ), Tr( M ²) и Tr( M ³) эрмитовой октонионной матрицы :

M={\begin{bmatrix}x&{\overline {Z}}&Y\\Z&y&{\overline {X}}\\{\overline {Y}}&X&z\end{bmatrix}}

Набор полиномов определяет 24-мерную компактную поверхность.

Представительства

Все характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой характеров Вейля . Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A121738 в OEIS ):

1, 26, 52, 273, 324, 1053 (дважды), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 1, 100776, 106496, 107406, 119119 , 160056 (дважды), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912...

52-мерное представление является присоединенным представлением , а 26-мерное — бесследовой частью действия F ₄ на исключительной алгебре Альберта размерности 27.

Существуют два неизоморфных неприводимых представления размерностей 1053, 160056, 4313088 и т. д. Фундаментальными являются представления размерностей 52, 1274, 273, 26 (соответствующие четырем узлам диаграммы Дынкина в таком порядке, что двойная стрелка точки со второго по третий).

Ниже показаны вложения максимальных подгрупп F ₄ до размерности 273 с соответствующей матрицей проекции.

См. также

Ссылки

^ Сондерс, Нил (2014). «Минимальные точные степени перестановки для неприводимых групп Кокстера и бинарных многогранных групп». arXiv : 0812.0182 [ math.GR ].

Адамс, Дж. Франк (1996). Лекции об исключительных группах Ли . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0-226-00526-3 . МР 1428422 .
Джон Баэз , Октонионы , Раздел 4.2: F ₄ , Бюлл. амер. Математика. Соц. 39 (2002), 145-205 . Интернет-версия HTML по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html .
Шевалле С., Шафер Р.Д. (февраль 1950 г.). «Исключительно простые алгебры Ли F(4) и E(6)» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 36 (2): 137–41. Бибкод : 1950PNAS...36..137C . дои : 10.1073/pnas.36.2.137 . ПМЦ 1063148 . ПМИД 16588959 .
Джейкобсон, Натан (1 июня 1971 г.). Исключительные алгебры Ли (1-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN 0-8247-1326-5 .

[1] Сондерс, Нил (2014). «Минимальные точные степени перестановки для неприводимых групп Кокстера и бинарных многогранных групп». arXiv : 0812.0182 [ math.GR ].

[1]

v т и Теория струн
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach