Алгебра Альберта
В математике алгебра Альберта — это 27-мерная исключительная йорданова алгебра . Они названы в честь Авраама Адриана Альберта , который был пионером в изучении неассоциативных алгебр , обычно работающих с действительными числами . три Над действительными числами таких йордановых алгебр с точностью до изоморфизма . [1] Один из них, который впервые был упомянут Паскуалем Джорданом , Джоном фон Нейманом и Юджином Вигнером ( 1934 ) и изучен Альбертом (1934) , представляет собой набор самосопряженных матриц 3×3 над октонионами , снабженный бинарной операцией
где обозначает умножение матриц. Другой определяется таким же образом, но используются разделенные октонионы вместо октонионов . Финал строится из нерасщепленных октонионов с использованием другой стандартной инволюции.
Над любым алгебраически замкнутым полем существует только одна алгебра Альберта, и ее группа автоморфизмов G является простой расщепляемой группой типа F 4 . [2] [3] (Например, комплексификации трех алгебр Альберта над действительными числами являются изоморфными алгебрами Альберта над комплексными числами.) Из-за этого для общего поля F алгебры Альберта классифицируются группой когомологий Галуа H. 1 ( Ф , Г ). [4]
Конструкция Кантора -Кехера-Титса, примененная к алгебре Альберта, дает форму алгебры Ли E7 . Расщепляемая алгебра Альберта используется в конструкции 56-мерной структурируемой алгебры, группа автоморфизмов которой имеет единичный компонент - односвязную алгебраическую группу типа E 6 . [5]
Пространство когомологических инвариантов алгебр Альберта - поле F (характеристики, отличной от 2) с коэффициентами из Z /2 Z является свободным модулем над кольцом когомологий F с базисом 1, f 3 , f 5 степеней 0, 3. , 5. [6] Когомологические инварианты с 3-торсионными коэффициентами имеют базис 1, g 3 степеней 0, 3. [7] Инварианты f 3 и g 3 являются первичными компонентами инварианта Роста .
См. также [ править ]
- Евклидова йорданова алгебра для йордановых алгебр, рассмотренных Джорданом, фон Нейманом и Вигнером.
- Евклидова алгебра Гурвица для подробностей построения алгебры Альберта для октонионов
Примечания [ править ]
- ^ Спрингер и Вельдкамп (2000) 5.8, стр.153
- ^ Спрингер и Вельдкамп (2000) 7.2
- ^ Шевалле С., Шафер Р.Д. (февраль 1950 г.). «Исключительно простые алгебры Ли F (4) и E (6)» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 36 (2): 137–41. Бибкод : 1950PNAS...36..137C . дои : 10.1073/pnas.36.2.137 . ПМЦ 1063148 . ПМИД 16588959 .
- ^ Кнус и др. (1998) стр.517
- ^ Пропустить Гарибальди (2001). «Структурируемые алгебры и группы типа E_6 и E_7». Журнал алгебры . 236 (2): 651–691. arXiv : math/9811035 . дои : 10.1006/jabr.2000.8514 .
- ^ Гарибальди, Меркурьев, Серр (2003), стр.50
- ^ Гарибальди (2009), стр.20
Ссылки [ править ]
- Альберт, А. Адриан (1934), «О некоторой алгебре квантовой механики», Annals of Mathematics , Second Series, 35 (1): 65–73, doi : 10.2307/1968118 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968118
- Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр; Серр, Жан-Пьер (2003), Когомологические инварианты в когомологиях Галуа , Серия университетских лекций, том. 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-3287-5 , МР : 1999383
- Гарибальди, Скип (2009). Когомологические инварианты: исключительные группы и спиновые группы . Мемуары Американского математического общества . Том. 200. дои : 10.1090/memo/0937 . ISBN 978-0-8218-4404-5 .
- Джордан, Паскуаль ; Нойманн, Джон фон ; Вигнер, Юджин (1934), «Об алгебраическом обобщении квантово-механического формализма», Annals of Mathematics , 35 (1): 29–64, doi : 10.2307/1968117 , JSTOR 1968117
- Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Публикации коллоквиума, том. 44, С предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-0904-4 , Збл 0955.16001
- МакКриммон, Кевин (2004), Вкус йордановых алгебр , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9 , МР 2014924
- Спрингер, Тонни А .; Вельдкамп, Фердинанд Д. (2000) [1963], Октонионы, йордановые алгебры и исключительные группы , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9 , МР 1763974
Дальнейшее чтение [ править ]
- Петерссон, Хольгер П.; Расин, Мишель Л. (1994), «Алгебры Альберта», в книге Каупа, Вильгельма (ред.), Жордановые алгебры. Материалы конференции, состоявшейся в Обервольфахе, Германия, 9–15 августа 1992 г. , Берлин: de Gruyter, стр. 197–207, Zbl 0810.17021.
- Петерссон, Хольгер П. (2004). «Теоремы о структуре йордановых алгебр третьей степени над полями произвольной характеристики». Связь в алгебре . 32 (3): 1019–1049. CiteSeerX 10.1.1.496.2136 . дои : 10.1081/AGB-120027965 . S2CID 34280968 .
- Алгебра Альберта в математической энциклопедии .