Структурируемая алгебра

В абстрактной алгебре структурируемая алгебра — это определенный вид инволютивной неассоциативной алгебры с единицей над полем . Например, все йордановые алгебры являются структурируемыми алгебрами (с тривиальной инволюцией), как и любая альтернативная алгебра с инволюцией или любая центральная простая алгебра с инволюцией. Инволюция . здесь означает линейный антигомоморфизм, квадрат которого равен единице

Предположим, что A — неассоциативная алгебра с единицей над полем и $x\mapsto {\bar {x}}$ является инволюцией. Если мы определим $V_{x,y}z:=(x{\bar {y}})z+(z{\bar {y}})x-(z{\bar {x}})y$, и $[x,y]=xy-yx$, то мы говорим, что A является структурируемой алгеброй , если:

$[V_{x,y},V_{z,w}]=V_{V_{x,y}z,w}-V_{z,V_{y,x}w}.$

Структурируемые алгебры были введены Эллисоном в 1978 году. Конструкция Кантора -Кехера-Титса производит алгебру Ли из любой йордановой алгебры , и эту конструкцию можно обобщить так, что алгебру Ли можно получить из структурируемой алгебры. Более того, Эллисон доказал над полями нулевой характеристики, что структурируемая алгебра является центрально простой тогда и только тогда, когда соответствующая алгебра Ли центрально проста.

Другим примером структурируемой алгебры является 56-мерная неассоциативная алгебра, первоначально изученная Брауном в 1963 году, которая может быть построена из алгебры Альберта . Когда основное поле алгебраически замкнуто над характеристикой, отличной от 2 или 3, группа автоморфизмов такой алгебры имеет единичный компонент, равный односвязной исключительной алгебраической группе типа E ₆ .