Rost invariant

В математике инвариант Роста — это когомологический инвариант G абсолютно простой односвязной алгебраической группы над полем k , которому ставится в соответствие элемент группы когомологий Галуа H ³ ( k , Q / Z (2)) к главному однородному пространству для G . Здесь группа коэффициентов Q / Z (2) есть тензорное произведение группы корней из единицы алгебраического замыкания k с самой собой. Маркус Рост ( 1991 ) впервые ввел инвариант для групп типа F4 _, а затем распространил его на более общие группы в неопубликованной работе, которая была обобщена Серром ( 1995 ).

Инвариант Роста является обобщением инварианта Арасона .

Определение

Предположим, что G — абсолютно почти простая односвязная алгебраическая группа над полем k . Инвариант Роста сопоставляет элемент a ( P ) группы когомологий Галуа H ³ ( k , Q / Z (2)) к G -торсору P .

Элемент a ( P ) строится следующим образом. Для любого расширения K поля k существует точная последовательность

$0\rightarrow H^{3}(K,\mathbf {Q} /\mathbf {Z} (2))\rightarrow H_{et}^{3}(P_{K},\mathbf {Q} /\mathbf {Z} (2))\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z}$

где средняя группа — это когомологий этальная группа , а Q / Z — геометрическая часть когомологий. Выберите конечное расширение K поля k такое, что распадается над K и P имеет рациональную точку над K. G Тогда точная последовательность канонически распадается в прямую сумму, так что группа этальных когомологий канонически содержит Q / Z . Инвариант a ( P ) — это образ элемента 1/[ K : k ] из Q / Z при отображении следов из H ³
_et ( P _K , Q / Z (2)) к H ³
_et ( P , Q / Z (2)), лежащий в подгруппе H ³ ( к , Q / Z (2)).

Эти инварианты a ( P ) функториальны в расширениях поля K поля k ; другими словами, объединение в элемент циклической группы Inv ³ ( G , Q / Z (2)) когомологических инвариантов группы G , состоящей из морфизмов функтора K → H ¹ ( K , G ) к функтору K →H ³ ( К , Q / Z (2)). Этот элемент Inv ³ ( G , Q / Z (2)) является генератором группы и называется инвариантом Роста группы G .

Ссылки

• Гарибальди, Райан Скип (2001), «Инвариант Роста имеет тривиальное ядро ​​для квазирасщепимых групп низкого ранга», Комментарий. Математика. Хелв. , 76 (4): 684–711, arXiv : math/0205305 , doi : 10.1007/s00014-001-8325-8 , MR   1881703
• Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр ; Серр, Жан-Пьер (2003), «Инварианты Роста односвязных алгебраических групп», Когомологические инварианты в когомологиях Галуа , Серия университетских лекций, том. 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-3287-5 , МР   1999383 , Збл   1159.12311
• Рост, Маркус (1991), «Инвариант A (mod 3) для исключительных йордановых алгебр», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 313 (12): 823–827, MR   1138557
• Серр, Жан-Пьер (1995), «Когомологии Галуаза: прогресс и проблемы» , Asterisk , Bourbaki Exp. № 783, 227 (4): 229–257, МР   1321649