Сплит-октонион

В математике представляют сплит-октонионы собой 8-мерную неассоциативную алгебру над действительными числами . В отличие от стандартных октонионов , они содержат ненулевые элементы, которые не являются обратимыми. Также различаются сигнатуры их квадратичных форм : расщепленные октонионы имеют расщепленную сигнатуру (4,4), тогда как октонионы имеют положительно определенную сигнатуру (8,0).

С точностью до изоморфизма октонионы и расщепленные октонионы являются единственными двумя 8-мерными композиционными алгебрами над действительными числами. Они также являются единственными двумя алгебрами октонионов над действительными числами. Алгебры расщепленных октонионов, аналогичные расщепленным октонионам, могут быть определены над любым полем .

Определение

Строительство Кэли – Диксона

Октонионы и разделенные октонионы могут быть получены из конструкции Кэли-Диксона путем определения умножения пар кватернионов . Введем новую мнимую единицу ℓ и запишем пару кватернионов ( a , b ) в виде a + ℓ b . Продукт определяется по правилу:

$(a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})$

где

$\lambda =\ell ^{2}.$

Если λ выбрано равным −1, мы получаем октонионы. Если вместо этого принять значение +1, мы получим разделенные октонионы. Можно также получить разделенные октонионы посредством удвоения разделенных кватернионов Кэли-Диксона . Здесь любой выбор λ (±1) дает расщепленные октонионы.

Таблица умножения

Мнемоника для продуктов разделенных октонионов.

Основу множество расщепленных октонионов составляет $\{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}$.

Каждый сплит-октонион $x$ можно записать как линейную комбинацию базисных элементов,

$x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,$

с реальными коэффициентами $x_{a}$.

По линейности умножение сплит-октонионов полностью определяется следующей таблицей умножения :

		множитель
		$1$	$i$	$j$	$k$	$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$
множимое	$1$	$1$	$i$	$j$	$k$	$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$
	$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$	$-\ell i$	$\ell$	$-\ell k$	$\ell j$
	$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$	$-\ell j$	$\ell k$	$\ell$	$-\ell i$
	$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$	$-\ell k$	$-\ell j$	$\ell i$	$\ell$
	$\ell$	$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$	$1$	$i$	$j$	$k$
	$\ell i$	$\ell i$	$-\ell$	$-\ell k$	$\ell j$	$-i$	$1$	$k$	$-j$
	$\ell j$	$\ell j$	$\ell k$	$-\ell$	$-\ell i$	$-j$	$-k$	$1$	$i$
	$\ell k$	$\ell k$	$-\ell j$	$\ell i$	$-\ell$	$-k$	$j$	$-i$	$1$

Удобную мнемосхему дает диаграмма справа, представляющая таблицу умножения разделенных октонионов. Этот происходит от родительского октониона (одного из 480 возможных), который определяется:

$e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,$

где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера и $\varepsilon _{ijk}$ это символ Леви-Чивита со значением $+1$ когда $ijk=123,154,176,264,257,374,365,$ и:

$e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},$

с $e_{0}$ скалярный элемент и $i,j,k=1...7.$

Красные стрелки указывают на возможные изменения направления, вызванные отрицанием нижнего правого квадранта родительского элемента, создавая разделенный октонион с этой таблицей умножения.

Сопряженное, нормальное и обратное

Сопряженное x сплит-октонион имеет вид

${\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,$

так же, как и для октонионов.

Квадратичная форма по x определяется выражением

$N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).$

Эта квадратичная форма N ( x ) является изотропной квадратичной формой , поскольку существуют ненулевые расщепленные октонионы x с N ( x ) = 0. С N расщепленные октонионы образуют псевдоевклидово пространство восьми измерений над R , иногда написано Р ^4,4 для обозначения сигнатуры квадратичной формы.

Если N ( x ) ≠ 0, то x имеет (двусторонний) мультипликативный обратный x ⁻¹ данный

$x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.$

Характеристики

Сплит-октонионы, как и октонионы, некоммутативны и неассоциативны. Также, как и октонионы, они образуют композиционную алгебру , поскольку квадратичная форма N мультипликативна. То есть,

$N(xy)=N(x)N(y).$

Сплит-октонионы удовлетворяют тождествам Муфанга и таким образом образуют альтернативную алгебру . Следовательно, по теореме Артина подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна. Набор всех обратимых элементов (т.е. тех элементов, для которых N ( x ) ≠ 0) образует петлю Муфанг .

Группа автоморфизмов расщепленных октонионов — это 14-мерная группа Ли , расщепленная вещественная форма исключительной простой группы Ли G ₂ .

Вектор-матричная алгебра Цорна

Поскольку расщепленные октонионы неассоциативны, их нельзя представить обычными матрицами (умножение матриц всегда ассоциативно). Цорн нашел способ представить их в виде «матриц», содержащих как скаляры, так и векторы, используя модифицированную версию умножения матриц. В частности, определите векторную матрицу как матрицу 2×2 вида

${\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},$

где a и b — действительные числа, а v и w — векторы в R ³ . Определим умножение этих матриц по правилу

${\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}$

где · и × — обычное скалярное произведение и векторное произведение 3-векторов. При сложении и скалярном умножении, определенном как обычно, набор всех таких матриц образует неассоциативную единичную 8-мерную алгебру над действительными числами, называемую векторно-матричной алгеброй Цорна .

Определим « определитель » вектор-матрицы по правилу

$\det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$.

Этот определитель представляет собой квадратичную форму алгебры Цорна, удовлетворяющую правилу композиции:

$\det(AB)=\det(A)\det(B).\,$

Вектор-матричная алгебра Цорна фактически изоморфна алгебре расщепленных октонионов. Напишите октонион $x$ в форме

$x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )$

где $a$ и $b$ — действительные числа, а v и w — чисто мнимые кватернионы, рассматриваемые как векторы в R ³ . Изоморфизм расщепленных октонионов алгебре Цорна определяется выражением

$x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}.$

Этот изоморфизм сохраняет норму, поскольку $N(x)=\det(\phi (x))$.

Приложения

Сплит-октонионы используются при описании физических законов. Например:

• Уравнение Дирака в физике (уравнение движения частицы со свободным спином 1/2, такой как, например, электрон или протон) может быть выражено с помощью арифметики расщепленного октониона.
• Суперсимметричная квантовая механика имеет октонионное расширение.
• Алгебра расщепленных октонионов на основе Цорна может использоваться при моделировании локальной калибровочно-симметричной квантовой хромодинамики SU (3).
• Задача о катке мяча без скольжения по шару радиуса в 3 раза большего имеет расщепленную вещественную форму исключительной группы G ₂ в качестве группы симметрии, поскольку эту задачу можно описать с помощью расщепленных октонионов.

Дальнейшее чтение

• Р. Фут и Г. К. Джоши (1990) «Нестандартная сигнатура пространства-времени, суперструн и расщепленных композиционных алгебр», Letters in Mathematical Physics 19: 65–71.
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN  0-12-329650-1 .
• Нэш, Патрик Л. (1990) «О структуре алгебры расщепленных октонионов», Il Nuovo Cimento B 105 (1): 31–41. дои : 10.1007/BF02723550
• Спрингер, Т.А.; Ф.Д. Вельдкамп (2000). Октонионы, жордановые алгебры и исключительные группы . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-66337-1 .