Петля Муфанг

В математике петля Муфанга представляет собой особый вид алгебраической структуры . Она похожа на группу во многом , но не обязательно должна быть ассоциативной . Петли Муфанг были предложены Рут Муфанг ( 1935 ). Гладкие петли Муфанга имеют ассоциированную алгебру, алгебру Мальцева , в некотором смысле похожую на то, как группа Ли имеет ассоциированную алгебру Ли .

Определение

Петля Муфанг — это петля. $Q$ которое удовлетворяет четырем следующим эквивалентным тождествам для всех $x$ , $y$ , $z$ в $Q$ (двоичная операция в $Q$ обозначается сопоставлением):

$z(x(zy))=((zx)z)y$
$x(z(yz))=((xz)y)z$
$(zx)(yz)=(z(xy))z$
$(zx)(yz)=z((xy)z)$

Эти идентичности известны как идентичности Муфанга .

Примеры

Любая группа представляет собой ассоциативную петлю и, следовательно, петлю Муфанга.
Ненулевые октонионы образуют неассоциативную петлю Муфанга при умножении октонионов.
Подмножество октонионов единичной нормы (образующих 7-сферу в O ) замкнуто при умножении и, следовательно, образует петлю Муфанга.
Подмножество целочисленных октонионов с единичной нормой представляет собой конечную петлю Муфанга порядка 240.
Базисные октонионы и их аддитивные инверсии образуют конечную петлю Муфанга порядка 16.
Набор обратимых расщепленных октонионов образует неассоциативную петлю Муфанга, как и набор расщепленных октонионов с единичной нормой. В более общем смысле, набор обратимых элементов в любой алгебре октонионов над полем F образует петлю Муфанга, как и подмножество элементов единичной нормы.
Множество всех обратимых элементов в альтернативном кольце R образует петлю Муфанга, называемую петлей единиц в R .
Для любого поля F пусть M ( F ) обозначает петлю Муфанга элементов единичной нормы в (единственной) алгебре расщепленных октонионов над F . Пусть Z обозначает центр M ( F ). Если характеристика F Z равна 2, то = { e }, иначе Z = {± e }. Петля Пейджа над F — это петля M *( F ) = M ( F )/ Z . Петли Пейджа — это неассоциативные простые петли Муфанга. Все конечные неассоциативные простые петли Муфанга являются петлями Пейджа над конечными полями . Наименьшая петля Пейджа M *(2) имеет порядок 120.
Большой класс неассоциативных петель Муфанга можно построить следующим образом. Пусть G — произвольная группа. Определим новый элемент u, не принадлежащий G , и пусть M ( G ,2) = G ∪ ( G u ). Произведение в M ( G ,2) представляет собой обычное произведение элементов из G вместе с $1\cdot u=u$ и
$(gu)h=(gh^{-1})u$
$g(hu)=(hg)u$
$(gu)(hu)=h^{-1}g.$

Отсюда следует, что

u^{2}=1

и

ug=g^{-1}u

. С указанным выше произведением M ( G ,2) представляет собой петлю Муфанга. Она ассоциативна тогда и только тогда, когда G абелева.

Наименьшая неассоциативная петля Муфанга — это M ( S ₃ , 2), имеющая порядок 12.
Ричард А. Паркер построил петлю Муфанга второго порядка. ¹³, который был использован Конвеем при построении группы монстров . Петля Паркера имеет центр порядка 2 с элементами, обозначенными 1, −1, а фактор по центру представляет собой элементарную абелеву группу порядка 2. ¹², идентифицируемый двоичным кодом Голея . Тогда петля определяется с точностью до изоморфизма уравнениями
А ² = (−1) ^{| А |/4}
БА = (−1) ^{| A ∩ B |/2}АБ
А ( до н. э. ) = (−1) ^{| A ∩ B ∩ C |}( АВ ) С

где | А | — количество элементов кодового слова A и так далее. Для получения более подробной информации см. Конвей, Дж. Х.; Кертис, RT; Нортон, СП; Паркер, РА; и Уилсон, Р.А.: Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп. Оксфорд, Англия.

Характеристики

Ассоциативность

Петли Муфанг отличаются от групп тем, что они не обязательно должны быть ассоциативными . Ассоциативный цикл Муфанг представляет собой группу. Тождества Муфанга можно рассматривать как более слабые формы ассоциативности.

Устанавливая различные элементы в идентичность, идентичности Муфанг подразумевают

x ( xy ) = ( xx ) y левая альтернативная тождество
( xy ) y = x ( yy ) правое альтернативное тождество
x ( yx ) = ( xy ) x гибкая идентичность (см. гибкую алгебру и альтернативную алгебру ).

Теорема Муфанга утверждает, что когда три элемента x , y и z в петле Муфанга подчиняются ассоциативному закону: ( xy ) z = x ( yz ), тогда они порождают ассоциативный подцикл; то есть группа. Следствием этого является то, что все петли Муфанг диаассоциативны ( т.е. подпетля, порожденная любыми двумя элементами петли Муфанг, ассоциативна и, следовательно, является группой). В частности, петли Муфанга степенно ассоциативны , так что степени x ^н четко определены. При работе с циклами Муфанг обычно в выражениях, содержащих только два различных элемента, скобки опускаются. Например, личности Муфанга можно однозначно записать как

z ( Икс ( zy )) знак равно ( zxz ) y
( xz ) y ) z знак равно Икс ( Икс (
( zx )( yz ) знак равно z ( xy ) z .

Левое и правое умножение

Тождества Муфанга можно записать в терминах левого и правого операторов умножения на Q . Первые два тождества утверждают, что

$L_{z}L_{x}L_{z}(y)=L_{zxz}(y)$
$R_{z}R_{y}R_{z}(x)=R_{zyz}(x)$

в то время как третья личность говорит

$L_{z}(x)R_{z}(y)=B_{z}(xy)$

для всех $x,y,z$ в $Q$ . Здесь $B_{z}=L_{z}R_{z}=R_{z}L_{z}$ это двойное умножение на $z$ . Таким образом, третье тождество Муфанга эквивалентно утверждению, что тройка $(L_{z},R_{z},B_{z})$ это автотопия $Q$ для всех $z$ в $Q$ .

Обратные свойства

Все петли Муфанга обладают свойством инверсии , что означает, что каждый элемент x имеет двустороннюю инверсию x. ⁻¹ которое удовлетворяет тождествам:

x^{-1}(xy)=y=(yx)x^{-1}

для всех x и y . Отсюда следует, что $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ и $x(yz)=e$ тогда и только тогда, когда $(xy)z=e$ .

Циклы Муфанг являются универсальными среди циклов обратных свойств; то есть петля является петлей Муфанга тогда и только тогда, когда каждый изотоп петли Q Q обладает обратным свойством. Отсюда следует, что каждый изотоп петли Муфанг является петлей Муфанг.

Можно использовать инверсии, чтобы переписать левую и правую тождества Муфанга в более полезную форму:

$(xy)z=(xz^{-1})(zyz)$
$x(yz)=(xyx)(x^{-1}z).$

Свойство Лагранжа

конечная петля Q Говорят, что обладает свойством Лагранжа , если порядок каждой подлупа Q делит порядок Q . Теорема Лагранжа в теории групп утверждает, что каждая конечная группа обладает свойством Лагранжа. В течение многих лет оставался открытым вопрос, обладают ли конечные петли Муфанга свойством Лагранжа. Окончательно вопрос был решен Александром Гришковым и Андреем Заварницыным, а также независимо Стивеном Гаголой III и Джонатаном Холлом в 2003 году: каждая конечная петля Муфанга действительно обладает свойством Лагранжа. Дополнительные результаты по теории конечных групп были обобщены на петли Муфанга Стивеном Гаголой III в последние годы.

Квазигруппы Муфанг

Любая квазигруппа, удовлетворяющая одному из тождеств Муфанг, фактически должна иметь единичный элемент и, следовательно, быть петлей Муфанг. Приведем здесь доказательство третьего тождества:

Пусть a — любой элемент Q , и пусть e — единственный элемент такой, что ae = a .

Тогда для любого x в Q ( xa ) x = ( x ( ae )) x = ( xa )( ex ).

Отмена xa слева дает x = ex , так что e является левым единичным элементом.

Теперь для любого в Q ye y = ( ey )( ee ) =( e ( ye )) e = ( ye ) e .

Отмена e справа дает y = ye , поэтому e также является правым единичным элементом.

Следовательно, e является двусторонним единичным элементом.

Доказательства первых двух тождеств несколько сложнее (Kunen 1996).

Открытые проблемы

Проблема Филлипса — открытая проблема в теории, представленной Дж. Д. Филлипсом на выставке Loops '03 в Праге. Он спрашивает, существует ли конечная петля Муфанга нечетного порядка с тривиальным ядром .

Напомним, что ядром петли ( или, в более общем смысле, квазигруппы) является множество $x$ такой, что $x(yz)=(xy)z$ , $y(xz)=(yx)z$ и $y(zx)=(yz)x$ держи за всех $y,z$ в петле.

См. также

Ссылки

В.Д. Белоусов (2001) [1994], «Петля Муфанга» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Гудэр, Эдгар Г.; Мэй, Шон; Раман, Майтрейи (1999). Петли Муфанг порядка меньше 64 . Издательство Нова Сайенс . ISBN 0-444-82438-3 .
Гагола III, Стивен (2011). «Как и почему петли Муфанг ведут себя как группы». Квазигруппы и родственные системы . 19 : 1–22.
Гришков, Александр; Заварницын, Андрей (2005). «Теорема Лагранжа для петель Муфанга». Математические труды Кембриджского философского общества . 139 : 41–57. дои : 10.1017/S0305004105008388 .
Кунен, К. (1996). «Квазигруппы Муфанга». Журнал алгебры . 183 (1): 231–4. CiteSeerX 10.1.1.52.5356 . дои : 10.1006/jabr.1996.0216 .
Муфанг, Р. (1935), «О структуре альтернативных тел» , Ann. , 110 : 416–430, doi : 10.1007/bf01448037
Романовская, Анна Б .; Смит, Джонатан Д.Х. (1999). Постмодернистская алгебра . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-12738-8 .

Внешние ссылки

Пакет LOOPS для GAP. В этом пакете имеется библиотека, содержащая все неассоциативные циклы Муфанг порядков до 81 включительно.
«Петля Муфанг» . ПланетаМатематика .