Список проблем теории петель и теории квазигрупп

В математике , особенно в абстрактной алгебре , теория петель и теория квазигрупп являются активными областями исследований со многими открытыми проблемами . Как и в других областях математики, подобные проблемы часто обсуждаются на профессиональных конференциях и собраниях. Многие из поставленных здесь проблем впервые появились на конференциях Loops (Прага) и Mile High (Денвер) .

Открытые проблемы (циклы Муфанга)

группами, приводящими к

Пусть L — петля Муфанга с нормальной абелевой подгруппой ассоциативной подлупой) M нечетного порядка такая, что L / M — циклическая группа порядка больше 3. (i) Является ли L группой ( ? (ii) Если порядки M и L / M взаимно просты , является ли L группой?

• Предложено: Майклом Киньоном на основе (Чейн и Раджа, 2000 г.)
• Комментарии: Предположение о том, что L / M имеет порядок больше 3, важно, поскольку существует (коммутативная) лупа Муфанга L порядка 81 с нормальной коммутативной подгруппой порядка 27.

CML периода 3 в

Гипотеза: любая конечная коммутативная петля Муфанга периода 3 может быть вложена в коммутативную альтернативную алгебру .

• Proposed: by Alexander Grishkov at Loops '03, Prague 2003

Подлуп Фраттини для петель Муфанг

Гипотеза: пусть L — конечная петля Муфанга и Φ( L пересечение всех максимальных подлуп в L. ) — Тогда Φ( L ) — нормальная нильпотентная подлупа в L .

• Предложение: Александр Гришков на Loops '11, Трешть, 2011 г.

Минимальные представления для циклов M(G,2)

Для группы $G$, определять $M(G,2)$ на $G$ х $C_{2}$ к $(g,0)(h,0)=(gh,0)$, $(g,0)(h,1)=(hg,1)$, $(g,1)(h,0)=(gh^{-1},1)$, $(g,1)(h,1)=(h^{-1}g,0)$. Найдите минимальную презентацию петли Муфанг. $M(G,2)$ что касается презентации для $G$.

• Предложение: Петр Войтеховский на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
• Комментарии: Чейн показал (Chein, 1974), что $M(G,2)$ является петлей Муфанга, которая неассоциативна тогда и только тогда, когда $G$ является неабелевым. Войтеховский (Войтеховский, 2003) нашел минимальное представление для $M(G,2)$ когда $G$ является 2-порождённой группой.

Петли Муфанг порядка p ² д ³ и ПК ⁴

Пусть p и q — различные нечетные простые числа. Если q не конгруэнтно 1 по модулю p , все ли петли Муфанг порядка p ² д ³ группы? А что насчет ПК? ⁴ ?

• Предложение: Эндрю Раджа на выставке Loops '99, Прага, 1999 г.
• Комментарии: Первое решение было решено Раджей и Чи (2011), где они показали, что для различных нечетных простых чисел p ₁ < ··· < p _m < q < r ₁ < ··· < r _n все петли Муфанг порядка p ₁ ² ··· вечера _​ ² д ³ р ₁ ² ··· р _н ² являются группами тогда и только тогда, когда q не конгруэнтно 1 по модулю для _pi каждого i .

Филлипса) Петля Муфанг нечетного порядка с

Существует ли петля Муфанга нечетного порядка с тривиальным ядром?

• Предложение: Эндрю Раджа на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.

Презентации для конечных простых циклов Муфанга

Найдите представления для всех неассоциативных конечных простых петель Муфанг в многообразии петель Муфанг.

• Предложение: Петр Войтеховский на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
• Комментарии: В (Войтеховский, 2003) показано, что каждая неассоциативная конечная простая петля Муфанга порождается тремя элементами с явными формулами для образующих.

Ограниченная проблема Бернсайда для петель Муфанга

Гипотеза: Пусть M — конечная петля Муфанга показателя n с m образующими. Тогда существует функция f ( n , m ) такая, что | М | < ж ( п , м ).

• Предложение: Александр Гришков на Loops '11, Трешть, 2011 г.
• Комментарии: В случае, когда n — простое число, отличное от 3, гипотеза доказана Гришковым. Если p = 3 и M коммутативно, это доказал Брук. Общий случай при p = 3 доказал Ж. Надь. Случай n = p ^м holds by the Grishkov–Zelmanov Theorem.

Санова и М. Холла для

Гипотеза: пусть L — конечно порожденная петля Муфанга показателя 4 или 6. Тогда L конечна.

• Предложение: Александр Гришков на Loops '11, Трешть, 2011 г.

Кручение в свободных петлях Муфанга

Пусть MF _n петля — свободная Муфанга с n образующими.

Гипотеза: MF ₃ не имеет кручения , а MF _n с n > 4 — нет.

• Proposed: by Alexander Grishkov at Loops '03, Prague 2003

Open problems (Bol loops)

левой группы умножения левой петли

Для левой петли Бола Q найдите некоторую связь между степенью нильпотентности левой группы умножения и структурой Q. Q

• Предложено: на конференции Milehigh по квазигруппам, петлям и неассоциативным системам, Денвер, 2005 г.

Изоморфны ли две петли Бола с одинаковыми таблицами умножения?

Позволять $(Q,*)$, $(Q,+)$ быть двумя квазигруппами, определенными на одном и том же базовом множестве $Q$. Расстояние $d(*,+)$ это количество пар $(a,b)$ в $Q\times Q$ такой, что $a*b\neq a+b$. Класс конечных квазигрупп назовем квадратичным, если существует положительное действительное число. $\alpha$ такие, что любые две квазигруппы $(Q,*)$, $(Q,+)$ порядка $n$ из класса, удовлетворяющего $d(*,+)<\alpha \,n^{2}$ изоморфны. Являются ли петли Муфанга квадратичными? Являются ли петли Бола квадратичными?

• Предложение: Алеш Драпал на Loops '99, Прага, 1999 г.
• Комментарии: Драпал доказал в (Drápal, 1992), что группы квадратичны с $\alpha =1/9$, а в (Drápal, 2000) что 2-группы квадратичны с $\alpha =1/4$.

петель Бола

Определите ряд Кэмпбелла–Хаусдорфа для аналитических петель Бола.

• Предложено: М. А. Акивис и В. В. Гольдберг на выставке Loops '99, Прага, 1999 г.
• Комментарии: Проблема была частично решена для локальных аналитических петель Брука в (Nagy, 2002).

Универсально гибкая петля, не являющаяся средним болом

Петля является универсально гибкой , если каждый из ее изотопов петли является гибким , то есть удовлетворяет условию ( xy ) x = x ( yx ). Петля является средним Болом , если каждый из ее изотопов петли обладает антиавтоморфным обратным свойством, то есть удовлетворяет ( xy ) ⁻¹ = и ⁻¹ х ⁻¹ . Существует ли конечная, универсально гибкая петля, не являющаяся средним Болом?

• Предложение: Майкл Киньон на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.

Конечный простой цикл Бола с

Существует ли конечная простая неассоциативная лупа Бола с нетривиальными классами сопряженности?

• Предложено: Кеннетом В. Джонсоном и Джонатаном Д. Х. Смитом на конференции 2nd Mile High по неассоциативной математике, Денвер, 2009 г.

Открытые задачи (Нильпотентность и разрешимость)

Гипотеза Ниеменмаа и связанные

Пусть Q — петля, внутренняя группа отображений которой нильпотентна. Является ли Q нильпотентным? Разрешимо ли Q ?

• Предлагается: на Loops '03 и '07, Прага, 2003 и 2007 гг.
• Комментарии: Ответ на первый вопрос положительный, если Q конечно (Niemenmaa 2009). В общем случае задача открыта.

Циклы с абелевой внутренней группой отображения

Пусть Q — петля с абелевой внутренней группой отображений. Является ли Q нильпотентным? Если да, то существует ли граница класса нильпотентности Q ? В частности, может ли класс нильпотентности Q быть выше 3?

• Предложено: на Loops '07, Прага, 2007 г.
• Комментарии: Когда внутренняя группа отображений Inn( Q ) конечна и абелева, то Q нильпотентна (Неменаа и Кепка). Поэтому первый вопрос открыт только в бесконечном случае. Вызовите цикл Q типа Чёрго, если он нильпотентен класса не ниже 3 и Inn( Q ) абелев. Ни одна петля типа Чорго класса нильпотентности выше 3 не известна. Существуют петли типа Чорго (Csörgõ, 2004), существуют петли Бухштейнера типа Csörgõ (Csörgõ, Drápal and Kinyon, 2007) и петли Муфанг типа Csörgõ (Надь и Войтеховски, 2007). С другой стороны, не существует групп типа Чорго (фольклор), нет коммутативных петель Муфанг типа Чорго (Брук), а также нет p -луп Муфанг типа Чорго для p > 3 (Надь и Войтеховский, 2007). ).

Число нильпотентных петель с точностью до изоморфизма

Определить количество нильпотентных петель порядка 24 с точностью до изоморфизма.

• Предложено: Петром Войтеховским на конференции 2nd Mile High по неассоциативной математике, Денвер, 2009 г.
• Комментарий: Известны значения n < 24, см. (Daly, Vojtěchovský, 2010).

Конечный нильпотентный цикл без конечного базиса

Постройте конечную нильпотентную петлю без конечного базиса ее законов.

• Предложено: М. Р. Воган-Ли в Куровской тетради нерешенных проблем теории групп.
• Комментарий: существует конечная петля, законы которой не имеют конечного базиса (Вон-Ли, 1979), но она не нильпотентна.

Открытые задачи (квазигруппы)

Существование бесконечных

Существуют ли бесконечные простые парамедиальные квазигруппы?

• Предложение: Ярослав Ежек и Томаш Кепка на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.

квазигрупп

Многообразие V квазигрупп изотопически универсально, если каждая квазигруппа изотопна члену V . Является ли многообразие петель минимальным изотопно-универсальным многообразием? Каждая ли изотопно-универсальная разновидность содержит разновидность петель или ее парастрофов?

• Предложение: Томаш Кепка и Петр Немец на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
• Комментарии: Каждая квазигруппа изотопна петле, следовательно, многообразие петель изотопически универсально.

квазигруппы с

Существует ли квазигруппа Q порядка q = 14, 18, 26 или 42 такая, что операция *, определенная на Q формулой x * y = y − xy, является квазигрупповой операцией?

• Предложено: Парасковия Сырбу на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
• Комментарии: см. (Conselo et al., 1998).

Единообразное построение латинских квадратов?

Постройте латинский квадрат L порядка n следующим образом: Пусть G = K _{n , n} — полный двудольный граф с различными весами на его n ² края. Пусть M1 _G самое дешевое паросочетание в G , M2 _— самое дешевое паросочетание в — с M1 _{удаленным} и т.д. Каждое сопоставление Mi _{определяет} перестановку p _i из 1,..., n . Пусть L получено из G помещения перестановки pi _L. в i строки строку путем Приводит ли эта процедура к равномерному распределению в пространстве латинских квадратов порядка n ?

• Предложено: Габором Надьем на конференции по неассоциативной математике на 2-й миле, Денвер, 2009 г.

Открытые проблемы (разное)

Привязано к размеру групп умножения

Для цикла Q пусть Mlt(Q) обозначает группу умножения Q , то есть группу, порожденную всеми левыми и правыми сдвигами. |Mlt( Q )| < f (| Q |) для некоторой разновидности петель и для некоторого многочлена   f ?

• Предложено: на конференции Milehigh по квазигруппам, петлям и неассоциативным системам, Денвер, 2005 г.

Имеет ли каждый конечный альтернативный цикл двусторонние обратные?

Имеет ли каждый конечный альтернативный цикл, то есть каждый цикл, удовлетворяющий условиям x ( xy ) = ( xx ) y и x ( yy ) = ( xy ) y , двусторонние обратные?

• Предложено: Уоррен Д. Смит.
• Комментарии: Существуют бесконечные альтернативные циклы без двусторонних обратных, ср. (Ормес и Войтеховский, 2007 г.)

Конечный простой неассоциативный автоморфный цикл

Найдите неассоциативную конечную простую автоморфную петлю , если такая петля существует.

• Предложение: Майкл Киньон на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
• Комментарии: Известно, что такая петля не может быть коммутативной (Гришков, Киньон и Наги, 2013) и иметь нечетный порядок (Киньон, Кунен, Филлипс и Войтеховский, 2013).

Муфанга в петлях, не

Мы говорим, что многообразие V петель удовлетворяет теореме Муфанга, если для каждой петли Q в V имеет место следующая импликация: для каждых x , y , z в Q , если x ( yz ) = ( xy ) z, то подпетля, порожденная x , y , z — группа. Всякое ли многообразие, удовлетворяющее теореме Муфанга, содержится в многообразии петель Муфанга?

• Предложено: Эндрю Раджа на Loops '11, Тршешть, 2011 г.

Универсальность петель Осборна

Петля называется Осборновской , если она удовлетворяет тождеству x (( yz ) x ) = ( x ^л \ у )( zx ). Является ли каждая петля Осборна универсальной, то есть является ли каждый изотоп петли Осборна Осборном? Если нет, то существует ли хорошее тождество, характеризующее универсальные петли Осборна?

• Предложено: Майклом Киньоном на конференции Milehigh по квазигруппам, петлям и неассоциативным системам, Денвер, 2005 г.
• Комментарии: Муфанг и замкнутые петли сопряжения относятся к Осборну. Подробнее см. (Kinyon, 2005).

Решенные проблемы

Следующие проблемы ставились открытыми на различных конференциях и с тех пор были решены.

не замкнутая

Существует ли петля Бухштейнера , не замкнутая по сопряженности? Существует ли конечная простая петля Бухштейнера, не замкнутая по сопряжениям?

• Предложено: на конференции Milehigh по квазигруппам, петлям и неассоциативным системам, Денвер, 2005 г.
• Решели: Пирошка Чорго, Алеш Драпал и Михаэль Киньон.
• Решение: Фактор петли Бухштейнера по ее ядру является абелевой группой показателя 4. В частности, ни одна неассоциативная петля Бухштейнера не может быть простой. Существует петля Бухштейнера порядка 128, не замкнутая по сопряжениям.

петель Муфанг

Классифицируйте неассоциативные петли Муфанга 64-го порядка.

• Предложено: на конференции Milehigh по квазигруппам, петлям и неассоциативным системам, Денвер, 2005 г.
• Решено: Габор П. Надь и Петр Войтеховский
• Решение: Существует 4262 неассоциативных петли Муфанга порядка 64. Они были найдены методом групповых модификаций в работе (Войтеховский, 2006), а в (Надь и Войтеховский, 2007) показано, что список полон. В последней статье используется линейно-алгебраический подход к расширениям петель Муфанга .

односторонними группами

Постройте замкнутый контур сопряжения, левая группа умножения которого не изоморфна своей правой группе умножения.

• Предложение: Алеш Драпал на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
• Решил: Алеш Драпал
• Решение: Есть такой цикл порядка 9. Его можно получить в пакете LOOPS командой CCLoop(9,1)

конечной простой

Существует ли конечная простая петля Бола, не являющаяся Муфангом?

• Предложено на: Loops '99, Прага, 1999 г.
• Решено: Габор П. Надь, 2007 г.
• Решение: простой цикл Бола, не являющийся Муфангом, будет называться правильным .

  Существует несколько семейств правильных простых петель Бола. Наименьшая правильная простая петля Бола имеет порядок 24 (Надь, 2008).

  Существует также правильная простая петля Бола с показателем 2 (Надь 2009) и правильная простая петля Бола нечетного порядка (Надь 2008).

• Комментарии: Приведенные выше конструкции решили две дополнительные открытые задачи:
  • Существует ли конечная простая петля Брука, не являющаяся Муфангом? Да, поскольку любая правильная простая петля Бола показателя 2 является бруковской.
  • Разрешима ли каждая петля Бола нечетного порядка? Нет, о чем свидетельствует любой правильный простой цикл Бола нечетного порядка.

Левая петля Бола с

Существует ли конечная немуфанговая левая петля Бола с тривиальным правым ядром?

• Предложено: на конференции Milehigh по квазигруппам, петлям и неассоциативным системам, Денвер, 2005 г.
• Решено: Габор П. Надь, 2007 г.
• Решение: Существует конечная простая левая петля Бола показателя 2 порядка 96 с тривиальным правым ядром. Кроме того, используя точную факторизацию группы Матье M ₂₄ , можно построить простую петлю Бола, не являющуюся Муфангом, которая является G-лупой .

Свойство Лагранжа для петель Муфанга

Обладает ли каждая конечная петля Муфанга сильным свойством Лагранжа?

• Предложение: Орин Чейн на Loops '99, Прага, 1999 г.
• Solved by: Alexander Grishkov and Andrei Zavarnitsine, 2003
• Решение: Каждая конечная петля Муфанга обладает сильным свойством Лагранжа (SLP). Вот схема доказательства:
  • Согласно (Чейн и др., 2003), достаточно показать SLP для неассоциативных конечных простых петель Муфанга (NFSML).
  • Таким образом, достаточно показать, что порядок максимального подлупа NFSML L делит порядок L.
  • Счетный класс NFSML. $M(q)$ был обнаружен (Paige 1956), и других NSFML не существует (Liebeck 1987).
  • Гришков и Заварницына сопоставили максимальные подпетли петель. $M(q)$ с определенными подгруппами групп с тройственностью в (Гришков, Заварницыне, 2003).

с ненормальным

Существует ли цикл Муфанга, коммутант которого не является нормальным?

• Предложение: Эндрю Раджа на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
• Solved by: Alexander Grishkov and Andrei Zavarnitsine, 2017
• Решение: Да, существует петля Муфанга третьего порядка. ⁸ с ненормальным коммутантом. Гагола ранее утверждала обратное, но позже обнаружила дыру в своем доказательстве.

Квазимногообразие ядер петель Бола

Является ли класс сердцевин петель Бола квазимногообразием?

• Предложение: Джонатан Д.Х. Смит и Алена Ванжурова на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
• Решено: Алена Ванжурова, 2004 г.
• Решение: Нет, класс ядер петель Бола не замкнут относительно подалгебр. Более того, класс ядер групп не замкнут относительно подалгебр. Вот схема доказательства:
  • Ядра абелевых групп расположены медиально , по (Romanowska and Smith, 1985), (Rozskowska-Lech, 1999).
  • Наименьшая неабелева группа $S_{3}$ имеет ядро, содержащее субмагму $G$ порядка 4, который не является медиальным.
  • Если $G$ является ядром петли Бола, это ядро ​​петли Бола порядка 4, следовательно, ядро ​​абелевой группы, противоречие.

Четность числа квазигрупп с точностью до изоморфизма

Пусть I(n) — число классов изоморфизма квазигрупп порядка n. Является ли I(n) нечетным для каждого n?

• Предложено: Дугласом С. Стоунсом на конференции 2nd Mile High по неассоциативной математике, Денвер, 2009 г.
• Решено: Дуглас С. Стоунз, 2010 г.
• Решение: I(12) четно. Фактически, I(n) нечетно для всех n ≤ 17, кроме 12. (Stones 2010).

конечных простых

Дать классификацию конечным простым парамедиальным квазигруппам.

• Предложение: Ярослав Ежек и Томаш Кепка на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
• Solved by: Victor Shcherbacov and Dumitru Pushkashu (2010).
• Решение: Любая конечная простая парамедиальная квазигруппа изотопна элементарной абелевой p-группе. Такая квазигруппа может быть либо медиальной унипотентной квазигруппой, либо медиальной коммутативной дистрибутивной квазигруппой, либо изотопом особого рода (φ+ψ)-простой медиальной дистрибутивной квазигруппы.

См. также

• Проблемы в латинских квадратах

Ссылки

• Чейн, Орин (1974), «Петли Муфанга малого порядка I», Труды Американского математического общества , 188 : 31–51, doi : 10.2307/1996765 , JSTOR   1996765 .
• Чейн, Орин; Киньон, Майкл К.; Раджа, Эндрю; Войтеховский, Петр (2003), «Петли и свойство Лагранжа», Результаты по математике , 43 (1–2): 74–78, arXiv : math/0205141 , doi : 10.1007/bf03322722 , S2CID   16718438 .
• Чейн, Орин; Раджа, Эндрю (2000), «Возможные порядки неассоциативных петель Муфанга», Математические обзоры Университета Каролины , 41 (2): 237–244 .
• Консело, Э.; Консалес, С.; Марков В.; Нечаев А. (1998), "Рекурсивные MDS-коды и рекурсивно дифференцируемые квазигруппы", Дискретная математика , 10 (2): 3–29 .
• Дейли, Дэн; Войтеховский, Петр (2009), «Перечисление нильпотентных петель посредством когомологий», Journal of Algebra , 322 (11): 4080–4098, arXiv : 1509.05713 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.03.042 , S2CID   517948 59 .
• Драпал, Алеш (1992), «Насколько далеко друг от друга могут быть таблицы группового умножения?», European Journal of Combinatorics , 13 (5): 335–343, doi : 10.1016/S0195-6698(05)80012-5 .
• Драпал, Алеш (2000), «Неизоморфные 2-группы совпадают не более чем в трех четвертях своих таблиц умножения», European Journal of Combinatorics , 21 (3): 301–321, doi : 10.1006/eujc.1999.0347
• Гагола III, Стивен (2012), «Коммутант петли Муфанга», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 152 (2): 193–206, Bibcode : 2012MPCPS.152..193G , doi : 10.1017/S0305004111000181 , S2CID   121 585760
• Гришков Александр Н.; Заварницын, Андрей В. (2005), «Теорема Лагранжа для петель Муфанга», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 139 (1): 41–57, Bibcode : 2005MPCPS.139...41G , doi : 10.1017/S0305004105008388 , S2CID   123255962
• Гришков Александр Н.; Киньон, Майкл; Наги, Габор (2013), «Разрешимость коммутативных автоморфных петель», Труды Американского математического общества , 142 (9): 3029–3037, arXiv : 1111.7138 , doi : 10.1090/s0002-9939-2014-12053-3 , S2CID   119125596
• Киньон, Майкл К., Обзор петель Осборна (PDF) , приглашенный доклад на конференции Milehigh по квазигруппам, петлям и неассоциативным системам, Денвер, 2005 г.
• Киньон, Майкл; Кунен, Кеннет; Филлипс, доктор медицинских наук; Войтеховский, Петр (2016), «Структура автоморфных петель», Труды Американского математического общества , 368 (12): 8901–8927, arXiv : 1210.1642 , doi : 10.1090/tran/6622 , S2CID   38960620
• Либек, М.В. (1987), «Классификация конечных простых петель Муфанга», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 102 (1): 33–47, Bibcode : 1987MPCPS.102...33L , doi : 10.1017/S0305004100067025 , S2CID   122103993
• Надь, Габор П. (2002), «Серия Кэмпбелла – Хаусдорфа локальных аналитических петель Брука», Abh. Математика. Сем. унив. Гамбург , 72 (1): 79–87, doi : 10.1007/BF02941666 , S2CID   123589830 .
• Надь, Габор П.; Войтеховский, Петр (2007), «Петли Муфанга порядка 64 и 81», Журнал символических вычислений , 42 (9), появится: 871–883, doi : 10.1016/j.jsc.2007.06.004 , hdl : 10338. dmlcz/142934 , S2CID   10404385 .
• Надь, Габор П. (2008), «Класс простых собственных петель Бола», Manuscripta Mathematica , 127 (1): 81–88, arXiv : math/0703919 , doi : 10.1007/s00229-008-0188-5 , S2CID   17734490 .
• Надь, Габор П. (2009), «Класс конечных простых петель Бола показателя 2», Transactions of the American Mathematical Society , 361 (10): 5331–5343, arXiv : 0709.4544 , doi : 10.1090/S0002-9947- 09-04646-7 , S2CID   15228937 .
• Ниеменмаа, Маркку (2009), «Конечные петли с нильпотентными внутренними группами отображений центрально нильпотентны», Бюллетень Австралийского математического общества , 79 (1): 109–114, doi : 10.1017/S0004972708001093
• Ормс, Николас; Войтеховский, Петр (2007), «Силы и альтернативные законы», Математические заметки Университета Каролины , 48 (1): 25–40 .
• Пейдж, Л. (1956), «Класс простых петель Муфанга», Proceedings of the American Mathematical Society , 7 (3): 471–482, doi : 10.2307/2032757 , JSTOR   2032757 .
• Раджа, Эндрю; Чи, Винг Лун (2011), «Петли Муфанг нечетного порядка, стр. _{1» .} ² п ₂ ² ··· п _н ² д ³ », Международный журнал алгебры , 5 (20): 965–975 .
• Ривин, Игорь; Варди, Илан; Циммерман, Пол (1994), « Проблема n -ферзей», American Mathematical Monthly , 101 (7): 629–639, doi : 10.2307/2974691 , JSTOR   2974691 .
• Романовская, Анна ; Смит, Джонатан Д.Х. (1985), Модальная теория , Heldermann Verlag, Берлин .
• Розсковска-Лех, Б. (1999), "Представление симметричных идемпотентных и энтропийных группоидов", Demonstr. Математика. , 32 : 248–262 .
• Щербаков В.А.; Пушкашу Д.И. (2010), "О строении конечных парамедиальных квазигрупп", Комментарий. Математика. унив. Кэролин. , 51 : 357–370 .
• Стоунз, Д.С. (2010), «Четность числа квазигрупп», Дискретная математика , 310 (21): 3033–3039, doi : 10.1016/j.disc.2010.06.027 .
• Войтеховский, Петр (2003), «Генераторы для конечных простых петель Муфанга», Journal of Group Theory , 6 (2): 169–174, arXiv : math/0701701 , doi : 10.1515/jgth.2003.012 .
• Войтеховский, Петр (2003), «Возвращение к самой маленькой петле Муфанга», Результаты по математике , 44 (1–2): 189–193, arXiv : math/0701706 , doi : 10.1007/bf03322924 , S2CID   119157018 .
• Войтеховский, Петр (2006), «К классификации петель Муфанга порядка 64», European Journal of Combinatorics , 27 (3): 444–460, arXiv : math/0701712 , doi : 10.1016/j.ejc.2004.10.003 .с

Внешние ссылки

• Конференция Loops '99
• Конференция Loops '03
• Конференция Loops '07
• Конференция Loops '11
• Конференции Milehigh по неассоциативной математике
• Пакет LOOPS для GAP
• Проблемы теории петель и теории квазигрупп