Bol loop

В математике и абстрактной алгебре петля Бола — это алгебраическая структура, обобщающая понятие группы . Петли Бола названы в честь голландского математика Геррита Бола, который представил их в ( Bol 1937 ).

Петля если L она называется левой петлей Бола, удовлетворяет тождеству

$a(b(ac))=(a(ba))c$, для любых a , b , c в L ,

а L называется правой петлей Бола, если она удовлетворяет условию

$((ca)b)a=c((ab)a)$, для a , b , c в L. каждого

Эти идентичности можно рассматривать как ослабленные формы ассоциативности или усиленную форму (левой или правой) альтернативности .

Петля является одновременно левым и правым Болом тогда и только тогда, когда она является петлей Муфанг . Альтернативно, правая или левая петля Бола является Муфангом тогда и только тогда, когда она удовлетворяет гибкому тождеству a(ba) = (ab)a . Разные авторы используют термин «петля Бола» для обозначения левой или правой петли Бола.

Свойства

Левая (правая) идентичность Бола напрямую подразумевает свойство левой (правой) альтернативы , что можно показать, присвоив идентичности значение b.

Это также подразумевает свойство левой (правой) инверсии , в чем можно убедиться, установив b в качестве левой (правой) инверсии a и используя деление цикла для отмены лишнего коэффициента a. В результате петли Бола имеют двусторонние инверсии.

Циклы Бола также являются степенно-ассоциативными .

Петли Брука

Петля Бола, в которой вышеупомянутая двусторонняя инверсия удовлетворяет свойству автоморфной инверсии ( ab ) ⁻¹ = а ⁻¹ б ⁻¹ для всех a,b в L известен как (левая или правая) петля Брука или K-петля (названная в честь американского математика Ричарда Брука ). Пример в следующем разделе представляет собой петлю Брука.

Петли Брука находят применение в специальной теории относительности ; см. Унгар (2002). Петли Левого Брука эквивалентны гирокоммутативным гирогруппам Унгара (2002) , хотя эти две структуры определены по-разному.

Пример

Пусть L обозначает набор nxn положительно определенных эрмитовых матриц над комплексными числами. Вообще говоря, неверно, что матричное произведение AB матриц A , B в L является эрмитовым, не говоря уже о положительно определенном. Однако существует единственный P в L и единственная унитарная матрица U такие, что AB = PU ; это разложение AB . полярное Определите бинарную операцию * над L с помощью A * B = P . Тогда ( L , *) — левая петля Брука. Явная формула для * имеет вид A * B = ( AB ² А ) ^1/2 , где верхний индекс 1/2 указывает на уникальный положительно определенный эрмитовский квадратный корень .

Bol algebra

(слева) Алгебра Бола представляет собой векторное пространство, оснащенное бинарной операцией $[a,b]+[b,a]=0$ и тройная операция $\{a,b,c\}$ который удовлетворяет следующим тождествам:

$\{a,b,c\}+\{b,a,c\}=0$

и

$\{a,b,c\}+\{b,c,a\}+\{c,a,b\}=0$

и

$[\{a,b,c\},d]-[\{a,b,d\},c]+\{c,d,[a,b]\}-\{a,b,[c,d]\}+[[a,b],[c,d]]=0$

и

$\{a,b,\{c,d,e\}\}-\{\{a,b,c\},d,e\}-\{c,\{a,b,d\},e\}-\{c,d,\{a,b,e\}\}=0$.

Обратите внимание, что {.,.,.} действует как система троек Ли .Если A — левая или правая альтернативная алгебра , то ей соответствует алгебра Бола A. ^б , где $[a,b]=ab-ba$ является коммутатором и $\{a,b,c\}=\langle b,c,a\rangle$ является иорданским партнером .

Ссылки

• Бол, Г. (1937), «Ткани и группы», Mathematical Annals , 114 (1): 414–431, doi : 10.1007/BF01594185 , ISSN   0025-5831 , JFM   63.1157.04 , MR   1513147 , Zbl   0016.22603
• Кихле, Х. (2002). Теория K-петлей . Спрингер. ISBN  978-3-540-43262-3 .
• Пфлюгфельдер, Х.О. (1990). Квазигруппы и петли: Введение . Хельдерманн. ISBN  978-3-88538-007-8 . Глава VI посвящена петлям Бола.
• Робинсон, Д.А. (1966). «Бол петли» . Пер. амер. Математика. Соц . 123 (2): 341–354. дои : 10.1090/s0002-9947-1966-0194545-4 . JSTOR   1994661 .
• Унгар, А.А. (2002). За пределами закона сложения Эйнштейна и его гироскопической прецессии Томаса: теория гирогрупп и гировекторных пространств . Клювер. ISBN  978-0-7923-6909-7 .