Тройная система

В алгебре система троек (или тернар ) — это векторное пространство V над полем F вместе с F -трилинейным отображением.

(\cdot ,\cdot ,\cdot )\colon V\times V\times V\to V.

Важнейшими примерами являются системы троек Ли и системы троек Жордана . Они были введены Натаном Джейкобсоном в 1949 году для изучения подпространств ассоциативных алгебр, замкнутых относительно тройных коммутаторов [[ u , v ], w ] и тройных антикоммутаторов { u , { v , w }}. В частности, любая алгебра Ли определяет систему троек Ли, а любая йордановая алгебра определяет систему йордановых троек. Они важны в теориях симметрических пространств , особенно эрмитовых симметричных пространств и их обобщений ( симметричных R-пространств и их некомпактных двойственных пространств).

Тройные системы лжи

Тройная система называется системой троек Ли , если трилинейное отображение, обозначаемое $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]$ , удовлетворяет следующим тождествам:

[u,v,w]=-[v,u,w]

[u,v,w]+[w,u,v]+[v,w,u]=0

[u,v,[w,x,y]]=[[u,v,w],x,y]+[w,[u,v,x],y]+[w,x,[u,v,y]].

Первые два тождества абстрагируют косую симметрию и тождество Якоби для тройного коммутатора, а третье тождество означает, что линейное отображение L _{u , v} : V → V , определенное формулой L _{u , v} ( w ) = [ u , v , w ], является производным тройного произведения. Тождество также показывает, что пространство k = span {L _{u , v} : u , v ∈ V } замкнуто относительно скобки-переключателя и, следовательно, является алгеброй Ли.

Записывая m вместо V , следует, что

{\mathfrak {g}}:=k\oplus {\mathfrak {m}}

можно превратить в $\mathbb {Z} _{2}$ алгебра Ли, стандартное вложение m -градуированная со скобкой

[(L,u),(M,v)]=([L,M]+L_{u,v},L(v)-M(u)).

Разложение g , очевидно, является симметричным разложением для этой скобки Ли, и, следовательно, если G — связная группа Ли с алгеброй Ли g , а K — подгруппа с алгеброй Ли k , то G / K — симметрическое пространство .

И наоборот, для данной алгебры Ли g с таким симметричным разложением (т. е. это алгебра Ли симметричного пространства) тройная скобка [[ u , v ], w ] превращает m в систему троек Ли.

Тройные системы Иордании

Тройная система называется жордановой тройной системой, если трилинейное отображение, обозначаемое {.,.,.}, удовлетворяет следующим тождествам:

\{u,v,w\}=\{u,w,v\}

\{u,v,\{w,x,y\}\}=\{w,x,\{u,v,y\}\}+\{w,\{u,v,x\},y\}-\{\{v,u,w\},x,y\}.

Первое тождество абстрагирует симметрию тройного антикоммутатора, а второе тождество означает, что если L _{u , v} : V → V определяется формулой L _{u , v} ( y ) = { u , v , y }, то

[L_{u,v},L_{w,x}]:=L_{u,v}\circ L_{w,x}-L_{w,x}\circ L_{u,v}=L_{w,\{u,v,x\}}-L_{\{v,u,w\},x}

так что пространство линейных отображений span {L _{u , v} : u , v ∈ V } замкнуто относительно коммутаторной скобки и, следовательно, является алгеброй Ли g ₀ .

Любая система троек Жордана является системой троек Ли относительно произведения

[u,v,w]=\{u,v,w\}-\{v,u,w\}.

Система троек Жордана называется положительно определенной (соответственно невырожденной ), если билинейная форма на V, определяемая следом L _{u , v} , положительно определена (соответственно невырождена). В любом случае имеет место отождествление V с его двойственным пространством и соответствующая инволюция на g ₀ . Они вызывают инволюцию

V\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V^{*}

что в положительно определенном случае является инволюцией Картана. Соответствующее симметрическое пространство является симметричным R-пространством . Он имеет некомпактный двойственный вариант, заданный заменой инволюции Картана на его композицию с инволюцией, равной +1 на g ₀ и −1 на V и V. ^*. Частный случай этой конструкции возникает, когда g ₀ сохраняет комплексную структуру на V . В этом случае мы получаем двойственные эрмитовые симметрические пространства компактного и некомпактного типа (последние являются ограниченными симметрическими областями ).

Джорданская пара

Жорданова пара — это обобщение жордановой системы троек, включающей два векторных пространства V ₊ и V ₋ . Затем трилинейная карта заменяется парой трилинейных карт.

\{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{+}\colon V_{-}\times S^{2}V_{+}\to V_{+}

\{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{-}\colon V_{+}\times S^{2}V_{-}\to V_{-}

которые часто рассматриваются как квадратичные отображения V ₊ → Hom( V ₋ , V ₊ ) и V ₋ → Hom( V ₊ , V ₋ ). Другая аксиома Жордана (кроме симметрии) аналогичным образом заменяется двумя аксиомами, одна из которых

\{u,v,\{w,x,y\}_{+}\}_{+}=\{w,x,\{u,v,y\}_{+}\}_{+}+\{w,\{u,v,x\}_{+},y\}_{+}-\{\{v,u,w\}_{-},x,y\}_{+}

а другой - аналог с поменянными индексами + и -.

Как и в случае жордановых систем троек, для u в V ₋ и v в V ₊ можно определить линейное отображение

L_{u,v}^{+}:V_{+}\to V_{+}\quad {\text{by}}\quad L_{u,v}^{+}(y)=\{u,v,y\}_{+}

и аналогично Л ⁻. Тогда аксиомы Джордана (кроме симметрии) можно записать

[L_{u,v}^{\pm },L_{w,x}^{\pm }]=L_{w,\{u,v,x\}_{\pm }}^{\pm }-L_{\{v,u,w\}_{\mp },x}^{\pm }

из чего следует, что образы L ⁺ и Л ⁻ замкнуты в коммутаторных скобках в End( V ₊ ) и End( V ₋ ). Вместе они определяют линейную карту

V_{+}\otimes V_{-}\to {\mathfrak {gl}}(V_{+})\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{-})

чей образ является подалгеброй Ли ${\mathfrak {g}}_{0}$ , а тождества Жордана становятся тождествами Якоби для градуированной скобки Ли на

V_{+}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V_{-},

так что, наоборот, если

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{-1}

является градуированной алгеброй Ли, то пара $({\mathfrak {g}}_{+1},{\mathfrak {g}}_{-1})$ является жордановой парой со скобками

\{X_{\mp },Y_{\pm },Z_{\pm }\}_{\pm }:=[[X_{\mp },Y_{\pm }],Z_{\pm }].

Жордановые тройные системы представляют собой жордановые пары с V ₊ = V ₋ и равными трилинейными отображениями. Другой важный случай имеет место, когда V ₊ и V ₋ двойственны друг другу, при этом двойственные трилинейные отображения определяются элементом

\mathrm {End} (S^{2}V_{+})\cong S^{2}V_{+}^{*}\otimes S^{2}V_{-}^{*}\cong \mathrm {End} (S^{2}V_{-}).

Они возникают, в частности, тогда, когда ${\mathfrak {g}}$ выше, является полупростым, когда форма Киллинга обеспечивает двойственность между ${\mathfrak {g}}_{+1}$ и ${\mathfrak {g}}_{-1}$ .

См. также

Ссылки

Бертрам, Вольфганг (2000), Геометрия жордановых и лиевых структур , Конспект лекций по математике, том. 1754, Спрингер, ISBN 978-3-540-41426-1
Хельгасон, Сигурдур (2001) [1978], Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Аспирантура по математике, том. 34, Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-2848-9

Джейкобсон, Натан (1949), «Тройные системы Ли и Джордана», American Journal of Mathematics , 71 (1): 149–170, doi : 10.2307/2372102 , JSTOR 2372102
Камия, Нориаки (2001) [1994], «Система тройки Ли» , Энциклопедия математики , EMS Press .
Камия, Нориаки (2001) [1994], «Тройная система Иордана» , Энциклопедия математики , EMS Press .
Кечер, М. (1969), Элементарный подход к ограниченным симметричным областям , Конспект лекций, Университет Райса.
Лоос, Оттмар (1969), Общая теория , Симметрические пространства, том. 1, Вашингтон, Бенджамин, OCLC 681278693
Лоос, Оттмар (1969), Компактные пространства и классификация , Симметричные пространства, том. 2, Вашингтон, Бенджамин
Лоос, Оттмар (1971), «Тройные системы Джордана, R- пространства и ограниченные симметричные области», Бюллетень Американского математического общества , 77 (4): 558–561, doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12753- 2
Лоос, Оттмар (2006) [1975], Иорданские пары , Конспекты лекций по математике, том. 460, Спрингер, ISBN 978-3-540-37499-2
Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметричные области и жордановые пары (PDF) , Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, заархивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г.
Мейберг, К. (1972), Лекции по алгебрам и системам троек (PDF) , Университет Вирджинии
Розенфельд, Борис (1997), Геометрия групп Ли , Математика и ее приложения, том. 393, Клювер, с. 92, ISBN 978-0792343905 , Збл 0867.53002
Тевелев, Э. (2002), «Обратные Мура-Пенроуза, параболические подгруппы и йордановые пары» , Journal of Lie Theory , 12 : 461–481, arXiv : math/0101107 , Bibcode : 2001math...... 1107T