Квадратичная йорданова алгебра

В математике квадратичные йордановые алгебры являются обобщением йордановых алгебр, введенных Кевином МакКриммоном ( 1966 ). Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Существует равномерное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящее от характеристики. Если 2 обратима в поле коэффициентов, то теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

Определение

Квадратичная йорданова алгебра состоит из векторного пространства A над полем K с выделенным элементом 1 и квадратичного отображения A в K -эндоморфизмы A , a ↦ Q ( a ), удовлетворяющего условиям:

• Q (1) = идентификатор ;
• Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) («фундаментальное тождество»);
• Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) («коммутационное тождество»), где R ( a , b ) c = ( Q ( a + c ) - Q ( a ) - Q ( c )) б .

Кроме того, эти свойства должны сохраняться при любом расширении скаляров .

Элементы

Элемент a обратим, если Q ( a ) обратим и существует b такой, что Q ( b ) является обратным элементу Q ( a ) и Q ( a ) b = a : такой b уникален, и мы говорим, что b является инверсия a ​ . Жорданова алгебра с делением — это алгебра, в которой каждый ненулевой элемент обратим.

Структура

Пусть B — подпространство A . Определим B как квадратичный идеал. или внутренний идеал , если образ Q ( b ) содержится в B для всех b в B ; определите B как внешний идеал если B отображается в себя каждым Q ( a ) для всех a в A. , Идеал — A это подпространство , которое является одновременно внутренним и внешним идеалом. Квадратичная йорданова алгебра называется простой , если она не содержит нетривиальных идеалов.

Для данного b образ Q ( b ) является внутренним идеалом: мы называем его главным внутренним идеалом на b .

Центроид , Γ группы A — это подмножество End _K ( A ), состоящее из эндоморфизмов T которые «коммутируют» с Q в том смысле, что для всех a

• Т Q ( а ) знак равно Q ( а ) Т ;
• Q ( Та ) знак равно Q ( а ) Т ² .

Центроид простой алгебры — это поле: A является центральным если его центроид — это просто K. ,

Примеры

Квадратичная йорданова алгебра из ассоциативной алгебры

Если A — ассоциативная алгебра с единицей над K с умножением ×, то квадратичное отображение Q можно определить из A в End _K ( A ) с помощью Q ( a ): b ↦ a × b × a . Это определяет структуру квадратичной йордановой алгебры на A . Квадратичная йорданова алгебра называется специальной , если она изоморфна подалгебре такой алгебры, в противном случае — исключительной .

Квадратичная йорданова алгебра из квадратичной формы

Пусть A — векторное пространство над K с квадратичной формой q и связанной с ней симметричной билинейной формой q ( x , y ) = q ( x + y ) - q ( x ) - q ( y ). Пусть e будет «базовой точкой» A , то есть элементом с q ( e ) = 1. Определим линейный функционал T ( y ) = q ( y , e ) и «отражение» y ^∗ знак равно Т ( y ) е - y . Для каждого x мы определяем Q ( x ) по формуле

Q ( Икс ): y ↦ q ( Икс , y ^∗ ) Икс - q ( Икс ) y ^∗ .

Тогда Q определяет квадратичную йорданову алгебру на A .

Квадратичная йорданова алгебра из линейной йордановой алгебры

Пусть A — йордановая алгебра с единицей над полем K характеристики, не равной 2. Для a в A пусть L обозначает левое отображение умножения в ассоциативной обертывающей алгебре

$L(a):x\mapsto ax\$

и определим K -эндоморфизм A , называемый квадратичным представлением , по формуле

$\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}$

Тогда Q определяет квадратичную йорданову алгебру.

Квадратичная йорданова алгебра, определяемая линейной йордановой алгеброй

Квадратичные тождества могут быть доказаны в конечномерной йордановой алгебре над R или C, следуя Максу Кёхеру , который использовал обратимый элемент. Их также легко доказать в йордановой алгебре, определенной ассоциативной алгеброй с единицей («специальной» йордановой алгеброй), поскольку в этом случае Q ( a ) b = aba . Они действительны в любой йордановой алгебре над полем характеристики, не равной 2. Это было высказано Джейкобсоном и доказано в Макдональде (1960) : Макдональд показал, что если полиномиальное тождество от трех переменных, линейное по третьей, справедливо в любом специальной йордановой алгебры, то оно справедливо во всех йордановых алгебрах. В Джейкобсоне (1969 , стр. 19–21) дано элементарное доказательство МакКриммона и Мейберга для йордановых алгебр над полем характеристики, не равной 2.

Доказательство Кехера

Аргументы Кехера применимы к конечномерным йордановым алгебрам над действительными или комплексными числами.

Фундаментальная идентичность I

Элемент a в A называется обратимым, если он обратим в R [ a ] или C [ a ]. Если b обозначает инверсию, то ассоциативность a степенная показывает, что L ( a ) и L ( b ) коммутируют.

Фактически a обратима тогда и только тогда, когда Q ( a ) обратима. В этом случае

$\displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},\,\,\,Q(a^{-1})=Q(a)^{-1}.}$

Действительно, если Q ( a ) обратима, то она переносит R [ a ] на себя. С другой стороны Q ( a )1 = a ² , так

$\displaystyle {(Q(a)^{-1}a)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^{2}=1.}$

Идентичность Джордана

$\displaystyle {[L(a),L(a^{2})](b)=0}$

можно поляризовать , заменив a на a + tc и взяв коэффициент при t . Переписав это как оператор, примененный к c, получим

$\displaystyle {2L(ab)L(a)+L(a^{2})L(b)=2L(a)L(b)L(a)+L(a^{2}b).}$

Взяв б = а ⁻¹ в этом поляризованном жордановом тождестве получается

$\displaystyle {Q(a)L(a^{-1})=L(a).}$

Заменяя a на обратное, соотношение получается, если L ( a ) и L ( a ⁻¹ ) обратимы. В противном случае оно справедливо для a + ε1 с сколь угодно малым ε и, следовательно, также в пределе.

• Если a и b обратимы, то обратим и Q ( a ) b , и он удовлетворяет обратному тождеству:

$\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}$

• Квадратичное представление удовлетворяет следующему фундаментальному тождеству:

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a).}$

Для c в A и F ( a ) функции на A со значениями в End A , пусть D _c F ( a ) — производная в точке t = 0 от F ( a + tc ). Затем

$\displaystyle {c=D_{c}(Q(a)a^{-1})=2Q(a,c)a^{-1}+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}$

где Q ( a , b ), если поляризация Q

$\displaystyle {Q(a,c)={1 \over 2}(Q(a+c)-Q(a)-Q(c))=L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac).}$

Поскольку L ( a ) коммутирует с L ( a ⁻¹ )

$\displaystyle {Q(a,c)a^{-1}=(L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac))a^{-1}=c.}$

Следовательно

$\displaystyle {c=2c+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}$

так что

$\displaystyle {D_{c}(a^{-1})=-Q(a)^{-1}c.}$

Применяя D _c к L ( a ⁻¹ ) Q ( a ) = L ( a ) и действуя на b = c ⁻¹ урожайность

$\displaystyle {(Q(a)b)(Q(a^{-1})b^{-1})=1.}$

С другой стороны, L ( Q ( a ) b ) обратима на открытом плотном множестве, где Q ( a ) b также должна быть обратима с

$\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}$

Взяв производную D _c по переменной b в приведенном выше выражении, получим

$\displaystyle {-Q(Q(a)b)^{-1}Q(a)c=-Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}c.}$

Это дает фундаментальное тождество для плотного набора обратимых элементов, поэтому оно, вообще говоря, следует из непрерывности. Фундаментальное тождество подразумевает, что c = Q ( a ) b обратимо, если a и b обратимы, и дает формулу для обратного значения Q ( c ). Применение его к c дает обратное тождество в полной общности.

Коммутационная идентичность I

Как показано выше, если a обратимо,

$\displaystyle {Q(a,b)a^{-1}=b.}$

Взяв D _c с a в качестве переменной, получим

$\displaystyle {0=Q(c,b)a^{-1}+Q(a,b)D_{c}(a^{-1})=Q(c,b)a^{-1}-Q(a,b)Q(a)^{-1}c.}$

Замена а на а ⁻¹ дает, применяя Q ( a ) и используя фундаментальное тождество, дает

$\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(a)Q(a^{-1},b)Q(a)c={\frac {1}{2}}Q(a)[Q(a^{-1}+b)-Q(a^{-1})-Q(b)]Q(a)c=Q(Q(a)b,a)c.}$

Следовательно

$\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(Q(a)b,a)c.}$

Поменяв местами b и c, получим

$\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(a,Q(a)c)b.}$

С другой стороны, R ( x , y ) определяется как R ( x , y ) z знак равно 2 Q ( x , z ) y , поэтому это подразумевает

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=R(a,b)Q(a)c,}$

так что для обратимого и, следовательно, по непрерывности для всех a

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a).}$

Доказательство Маккриммона-Мейберга

Коммутационная идентичность II

Жордановское тождество a ( a ² б ) = а ² ( ab ) можно поляризовать, заменив a на a + tc и взяв коэффициент при t . Это дает

$\displaystyle {c(a^{2}b)+2a(ac)b)=a^{2}(cb)+2(ac)(ab).}$

В операторной записи это означает

$\displaystyle {[L(a^{2}),L(c)]+2[L(ac),L(a)]=0.}$

Поляризация снова дает

$\displaystyle {c((ad)b)+d((ac)b)+a((dc)b)=(cd)(ab)+(da)(cb)+(ac)(db).}$

Записанный в виде операторов, действующих на d , это дает

$\displaystyle {L(c)L(b)L(a)+L((ac)b)+L(a)L(b)L(c)=L(ab)L(c)+L(cb)L(a)+L(ac)L(b).}$

Замена c на b и b на a дает

$\displaystyle {L(b)L(a)^{2}+L(a(ab))+L(a)^{2}L(b)=L(a^{2})L(b)+2L(ab)L(a).}$

Кроме того, поскольку правая часть симметрична относительно b и ' c , замена b и c слева и вычитание , отсюда следует, что коммутаторы [ L ( b ),L( c )] являются производными йордановой алгебры.

Позволять

$\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}$

Тогда Q ( a ) коммутирует с L ( a ) по тождеству Жордана.

Из определений, если Q ( a , b ) = ½ ( Q ( a = b ) − Q ( a ) − Q ( b )) — ассоциированное симметричное билинейное отображение, то Q ( a , a ) = Q ( a ) и

$\displaystyle {Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab).}$

Более того

$\displaystyle {2Q(ab,a)=L(b)Q(a)+Q(a)L(b).}$

Действительно

2 Q ( ab , а ) - L ( б ) Q ( а ) - Q ( а ) L ( б ) знак равно 2 L ( ab ) L ( а ) + 2 L ( а ) L ( ab ) - 2 L ( а ( аб )) - 2 L ( а ) ² L ( б ) - 2 L ( б ) L ( а ) ² + Л ( а ² ) L ( б ) + L ( б ) L ( а ² ).

Из второго и первого поляризованных тождеств Жордана это следует

2 Q ( ab , а ) - L ( б ) Q ( а ) - Q ( а ) L ( б ) знак равно 2[ L ( а ), L ( ab )] + [ L ( б ), L ( а ² )] = 0.

Поляризованная версия [ Q ( a ), L ( a )] = 0 равна

$\displaystyle {2[Q(a,b),L(a)]=2[L(b),Q(a)].}$

Теперь, когда R ( a , b ) = 2[ L ( a ), L ( b )] + 2 L ( ab ) , отсюда следует, что

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=2[Q(a)L(b),L(a)]+2Q(a)L(ab)=2[Q(ab,a),L(a)]+2[L(a),L(b)]Q(a)+2Q(a)L(ab).}$

Таким образом, из последнего тождества с ab вместо b следует тождество коммутации:

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=2[L(a),L(b)]Q(a)+2L(ab)Q(a)=R(a,b)Q(a).}$

Тождество Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) можно усилить до

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}$

Действительно, применительно к c первые два члена дают

$\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}$

Переключение b и c дает

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}$

Фундаментальная идентичность II

Тождество Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) доказывается с использованием соотношений скобок Ли

$\displaystyle {[R(a,b),R(c,d)]=R(R(a,b)c,d)-R(c,R(b,a)d).}$

Действительно, поляризация в c тождества Q ( c ) L ( x ) + L ( x ) Q ( c ) = 2 Q ( cx , c ) дает

$\displaystyle {Q(c,y)L(x)+L(x)Q(c,y)=Q(yx,c)+Q(cx,y).}$

Применяя обе части к d , это показывает, что

$\displaystyle {[L(x),R(c,d)]=R(xc,d)-R(c,xd).}$

В частности, эти уравнения справедливы для x = ab . С другой стороны, если T = [ L ( a ), L ( b )], то D ( z ) = Tz является дифференцированием йордановой алгебры, так что

$\displaystyle {[T,R(c,d)]=R(Dc,d)+R(c,Dd).}$

Отношения в скобках Ли следуют потому, что R ( a , b ) = T + L ( ab ).

Поскольку скобка Ли в левой части антисимметрична,

$\displaystyle {R(R(a,b)c,d)-R(c,R(b,a)d)=-R(R(c,d)a,b)+R(a,R(d,c)b).}$

Как следствие

$\displaystyle {R(y,Q(x)y)=R(y,x)^{2}-2Q(y)Q(x).}$

Действительно, установите a = y , b = x , c = z , d = x и заставьте обе стороны действовать на y .

С другой стороны

$\displaystyle {2Q(Q(a)b)=2R(a,b)Q(Q(a)b,a)-Q(a)R(b,Q(a)b).}$

Действительно, это следует из установки x = Q ( a ) b в

$\displaystyle {[R(a,b),R(x,y)]a=-R(R(x,y)a,b)a+R(a,R(y,x)b)a.}$

Следовательно, объединяя эти уравнения с усиленным коммутационным тождеством,

$\displaystyle {2Q(Q(a)b)=2R(a,b)Q(Q(a)b,a)-R(b,a)Q(a)R(a,b)+2Q(a)Q(b)Q(a)=2Q(a)Q(b)Q(a).}$

Линейная йорданова алгебра, определяемая квадратичной йордановой алгеброй

Пусть A — квадратичная йорданова алгебра R или C. над Следуя Джейкобсону (1969) , линейная структура йордановой алгебры может быть связана с A так, что, если L ( a ) является йордановым умножением, то квадратичная структура задается формулой Q ( a ) = 2 L ( a ) ² − L ( а ² ).

Во-первых, аксиома Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) можно усилить до

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}$

Действительно, применительно к c первые два члена дают

$\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}$

Переключение b и c дает

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}$

Теперь позвольте

$\displaystyle {L(a)={\frac {1}{2}}R(a,1).}$

Замена b на a и a на 1 в приведенном выше тождестве дает

$\displaystyle {R(a,1)=R(1,a)=2Q(a,1).}$

В частности

$\displaystyle {L(a)=Q(a,1),\,\,\,L(1)=Q(1,1)=I.}$

Если, кроме того, a обратимо, то

$\displaystyle {R(a,b)=2Q(Q(a)b,a)Q(a)^{-1}=2Q(a)Q(b,a^{-1}).}$

Аналогично, если ' b обратимо

$\displaystyle {R(a,b)=2Q(a,b^{-1})Q(b).}$

Произведение Джордана определяется выражением

$\displaystyle {a\circ b=L(a)b={\frac {1}{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}$

так что

$\displaystyle {a\circ b=b\circ a.}$

Формула выше показывает, что 1 — тождество. Определение ​ ² ввиду a ∘ a = Q ( a )1, единственным оставшимся условием, которое необходимо проверить, является тождество Жордана

$\displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0.}$

В фундаментальном тождестве

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}$

Замените a на a + t , установите b = 1 и сравните коэффициенты t ² с обеих сторон:

$\displaystyle {Q(a)=2Q(a,1)^{2}-Q(a^{2},1)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}$

Установка b = 1 во второй аксиоме дает

$\displaystyle {Q(a)L(a)=L(a)Q(a),}$

и поэтому L ( a ) должно коммутировать с L ( a ² ).

Сменить личность

В единичной линейной йордановой алгебре тождество сдвига утверждает, что

$\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}$

Следуя Мейбергу (1972) , это можно установить как прямое следствие поляризованных форм фундаментального тождества и коммутационного или гомотопического тождества. Это также следствие теоремы Макдональда, поскольку это тождество оператора, включающее только две переменные.

Для a в линейной йордановой алгебре A с единицей квадратичное представление имеет вид

$\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}),}$

поэтому соответствующее симметричное билинейное отображение есть

$\displaystyle {Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab).}$

Остальные операторы задаются формулой

$\displaystyle {{\frac {1}{2}}R(a,b)=L(a)L(b)-L(b)L(a)+L(ab),}$

так что

$\displaystyle {Q(a,b)=2L(a)L(b)-{\frac {1}{2}}R(a,b).}$

Коммутационное или гомотопическое тождество

$\displaystyle {R(a,b)Q(a)=Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}$

может быть поляризован . в Замена a на a + t 1 и взятие коэффициента при t дает

$\displaystyle {L(b)Q(a)+R(a,b)L(a)=Q(a)L(b)+L(a)R(b,a)=L(Q(a)b)+2Q(ab,a).}$

Фундаментальная идентичность

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a)}$

может быть поляризован . в Замена a на a + t 1 и взятие коэффициентов при t дает (меняя местами a и b )

$\displaystyle {2Q(ab,a)=Q(a)L(b)+L(b)Q(a).}$

Объединение двух предыдущих отображаемых идентификаторов дает

$\displaystyle {L(Q(a)b)+L(b)Q(a)=L(a)R(b,a),\,\,\,\,L(Q(b)a)+Q(b)L(a)=R(b,a)L(b).}$

Заменив a на a + t 1 в основном тождестве и взяв коэффициент при t ² дает

$\displaystyle {2Q(Q(a)b,b)-L(a)Q(b)L(a)=Q(a)Q(b)+Q(b)Q(a)-Q(ab).}$

Поскольку правая часть симметрична, это означает, что

$\displaystyle {2Q(Q(a)b,b)-2Q(Q(b)a,a)=L(a)Q(b)L(a)-L(b)Q(a)L(b).}$

Эти тождества можно использовать для доказательства тождества сдвига:

$\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}$

Это эквивалентно тождеству

$\displaystyle {2L(Q(a)b)L(b)-Q(Q(a)b,b)=2L(a)L(Q(b)a)-Q(a,Q(b)a).}$

Согласно предыдущему отображаемому идентификатору это эквивалентно

$\displaystyle {[L(Q(a)b)+L(b)Q(a)]L(b)=L(a)[L(Q(b)a)+Q(b)L(a)].}$

С другой стороны, термины в квадратных скобках можно упростить с помощью третьего отображаемого идентификатора. Это означает, что обе стороны равны ½ L ( a ) R ( b , a ) L ( b ) .

Для конечномерных унитальных йордановых алгебр тождество сдвига можно увидеть более непосредственно с помощью мутаций . Пусть a и b обратимы, и пусть L _b ( a ) = R ( a , b ) — йорданово умножение в A ^б . Затем Q ( б ) L _б ( а ) знак равно L _а ( б ) Q ( б ) . Более того Q ( б ) Q _б ( а ) знак равно Q ( б ) Q ( а ) Q ( б ) знак равно Q _а ( б ) Q ( б ) .с другой стороны Q _b ( a )=2 L _b ( a ) ² − L _b ( а ^{2, б} ) и аналогично с заменой a и b . Следовательно

$\displaystyle {L_{a}(b^{2,a})Q(b)=Q(b)L_{b}(a^{2,b}).}$

Таким образом

$\displaystyle {R(Q(b)a,a)Q(b)=Q(b)R(Q(a)b,b)=R(b,Q(a)b)Q(b),}$

поэтому тождество сдвига следует за сокращением Q ( b ). Аргумент плотности позволяет отказаться от предположения об обратимости.

Джорданские пары

См. Также: Джорданская пара

Линейная унитарная йорданова алгебра порождает квадратичное отображение Q и связанное с ним отображение R, удовлетворяющее фундаментальному тождеству, коммутации гомотопического тождества и тождеству сдвига. Жорданова пара ( V ₊ , V ₋ ) состоит из двух векторных пространств V _± и двух квадратичных отображений Q _± из V _± в V _∓ . Они определяют билинейные отображения R _± из V _± × V _∓ в V _± по формуле R ( a , b ) c = 2 Q ( a , c ) b где 2 Q ( a , c ) = Q ( a + c ) − Q ( а ) - Q ( c ) . Опуская индексы ±, они должны удовлетворять

фундаментальная идентичность

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}$

коммутационное или гомотопическое тождество

$\displaystyle {R(a,b)Q(a)=Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}$

и идентификатор смены

$\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}$

Унитальная йордановая алгебра A определяет йордановую пару, беря V _± = A с ее отображениями квадратичной структуры Q и R .

См. также

• Мутация (алгебра Джордана)

Ссылки

• Фараут, Дж.; Кораньи, А. (1994), Анализ симметричных конусов , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN  0198534779
• Джейкобсон, Н. (1968), Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 39, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-4640-7
• Джейкобсон, Н. (1969), Лекции по квадратичным йордановым алгебрам (PDF) , Лекции по математике Института фундаментальных исследований Таты, том. 45, Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, MR   0325715
• Кечер, М. (1999), Миннесотские заметки по йордановым алгебрам и их приложениям , Конспекты лекций по математике, том. 1710, Спрингер, ISBN  3-540-66360-6 , Збл   1072.17513
• Лоос, Оттмар (2006) [1975], Иорданские пары , Конспекты лекций по математике, том. 460, Спрингер, ISBN  978-3-540-37499-2
• Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметричные области и жордановые пары (PDF) , Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, заархивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г.
• Макдональд, И.Г. (1960), «Алгебры Джордана с тремя образующими» , Proc. Лондонская математика. Соц. , 10 : 395–408, doi : 10.1112/plms/s3-10.1.395 , заархивировано из оригинала 15 июня 2013 г.
• МакКриммон, Кевин (1966), «Общая теория жордановых колец», Proc. Натл. акад. наук. США , 56 (4): 1072–9, doi : 10.1073/pnas.56.4.1072 , JSTOR   57792 , MR   0202783 , PMC   220000 , PMID   16591377 , Zbl   0139.25502
• МакКриммон, Кевин (1975), «Квадратичные методы в неассоциативных алгебрах» (PDF) , Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Британская Колумбия, 1974), Vol. 1 , стр. 325–330.
• Маккриммон, Кевин (2004), Вкус йордановых алгебр , Universitext, Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489 , ISBN  978-0-387-95447-9 , MR   2014924 , Збл   1044.17001 , Исправления
• МакКриммон, Кевин (1978), «Алгебры Джордана и их приложения» , Bull. амер. Математика. Соц. , 84 (4): 612–627, doi : 10.1090/s0002-9904-1978-14503-0
• Мейберг, К. (1972), Лекции по алгебрам и системам троек (PDF) , Университет Вирджинии
• Расин, Мишель Л. (1973), Арифметика квадратичных йордановых алгебр , Мемуары Американского математического общества, том. 136, Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1836-7 , Збл   0348.17009

Дальнейшее чтение

• Фолкнер, Джон Р. (1970), Плоскости октонионов, определяемые квадратичными алгебрами Джордана , Мемуары Американского математического общества, том. 104, Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-5888-2 , Збл   0206.23301