Мутация (алгебра Джордана)

В математике мутация гомотопом , также называемая , единичной йордановой алгебры — это новая йордановая алгебра, определяемая данным элементом йордановой алгебры. Мутация имеет единицу тогда и только тогда, когда данный элемент обратим, и в этом случае мутация называется собственной мутацией или изотопом . Мутации были впервые введены Максом Кехером в его йордановом алгебраическом подходе к эрмитовым симметричным пространствам и ограниченным симметрическим областям трубчатого типа. Их функториальные свойства позволяют явно построить соответствующее эрмитово симметрическое пространство компактного типа как компактификацию конечномерной комплексной полупростой йордановой алгебры. Группа автоморфизмов компактификации становится комплексной подгруппой , комплексификацией ее максимальной компактной подгруппы . Обе группы действуют транзитивно на компактификации. Теория была расширена для охвата всех эрмитовых симметричных пространств с использованием теории йордановых пар или систем йордановых троек . Кехер получил результаты в более общем случае непосредственно из случая йордановой алгебры, используя тот факт, что требуются только йордановые пары, связанные с автоморфизмами йорданового периода два.

Определения

Смотрите также: квадратичная йорданова алгебра

Пусть A — йордановая алгебра с единицей над полем k характеристики ≠ 2. Для a в A определим жордановый оператор умножения на A по формуле

$\displaystyle {L(a)b=ab}$

и квадратичное представление Q ( a ) по формуле

$Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).\,$

Это удовлетворяет

$Q(1)=I.\,$

фундаментальная идентичность

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a)}$

коммутационное или гомотопическое тождество

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a),}$

где

$R(a,b)c=2Q(a,c)b,\,\,\,Q(x,y)={\frac {1}{2}}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).$

В частности, если a или b обратимы, то

$\displaystyle {R(a,b)=2Q(a)Q(a^{-1},b)=2Q(a,b^{-1})Q(b).}$

Отсюда следует, что A с операциями Q и R и единичным элементом определяет квадратичную йордановую алгебру , причем квадратичная йордановая алгебра состоит из векторного пространства A с выделенным элементом 1 и квадратичного отображения A в эндоморфизмы A , a ↦ Q. ( а ), удовлетворяющий условиям:

• Q (1) = идентификатор
• Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) («фундаментальное тождество»)
• Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) («коммутационное или гомотопическое тождество»), где R ( a , b ) c = ( Q ( a + c ) - Q ( a ) - Q ( c )) б

Тройное произведение Жордана определяется формулой

$\{a,b,c\}=(ab)c+(cb)a-(ac)b,\,$

так что

$Q(a)b=\{a,b,a\},\,\,\,Q(a,c)b=\{a,b,c\},\,\,\,R(a,b)c=\{a,b,c\}.\,$

Еще есть формулы

$Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab),\,\,\,R(a,b)=[L(a),L(b)]+L(ab).\,$

Для y в A мутация ​ A ^и определяется в векторном пространстве A с умножением

$a\circ b=\{a,y,b\}.\,$

Если Q ( y ) обратима, взаимное изменение называется собственной мутацией или изотопом .

Квадратичные йордановые алгебры

Основная статья: Квадратичная йорданова алгебра

Пусть A — квадратичная йордановая алгебра над полем k характеристики ≠ 2. Следуя Джейкобсону (1969) может быть связана структура линейной йордановой алгебры , с A такая, что, если L ( a ) — йорданово умножение, то квадратичная структура задается Q ( ( а знак равно 2 L ) а ) ² − L ( а ² ).

Во-первых, аксиому Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) можно усилить до

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}$

Действительно, применительно к c первые два члена дают

$\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}$

Переключение b и c дает

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}$

Теперь позвольте

$\displaystyle {L(a)={\frac {1}{2}}R(a,1).}$

Замена b на a и a на 1 в приведенном выше тождестве дает

$\displaystyle {R(a,1)=R(1,a)=2Q(a,1).}$

В частности

$\displaystyle {L(a)=Q(a,1),\,\,\,L(1)=Q(1,1)=I.}$

Произведение Джордана определяется выражением

$\displaystyle {a\circ b=L(a)b={\frac {1}{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}$

так что

$\displaystyle {a\circ b=b\circ a.}$

Формула выше показывает, что 1 — тождество. Определение ​ ² ввиду a ∘ a = Q ( a )1, единственным оставшимся условием, которое необходимо проверить, является тождество Жордана

$\displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0.}$

В фундаментальном тождестве

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}$

Замените a на a + t 1, положите b = 1 и сравните коэффициенты при t ² с обеих сторон:

$\displaystyle {Q(a)=2Q(a,1)^{2}-Q(a^{2},1)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}$

Установка b = 1 во второй аксиоме дает

$\displaystyle {Q(a)L(a)=L(a)Q(a),}$

и поэтому L ( a ) должно коммутировать с L ( a ² ).

Реверсы

Пусть A — йордановая алгебра с единицей над полем k характеристики ≠ 2. Элемент a в йордановой алгебре с единицей A называется обратимым , если существует элемент b такой, что ab = 1 и a ² б = а .

Характеристики.

• a обратим тогда и только тогда, когда существует элемент b такой, что Q ( a ) b = a и Q ( a ) b ² =1 . В этом случае ab = 1 и a ² б = а .

Если ab = 1 и a ² б знак равно а , тогда Q ( а ) б знак равно 2 а ( ab ) - ( а ² ) б знак равно а . Тождество Джордана [ L ( x ), L ( x ² )] = 0 можно поляризовать, заменив x на x + ty и взяв коэффициент при t . Это дает

$\displaystyle {[L(x^{2}),L(y)]+2[L(xy),L(x)]=0.}$

Взяв x = a или b и y = b или a , мы увидим, что L ( a ² ) коммутирует с L ( b ) и L ( b ² ) коммутирует с L ( а ) . Следовательно ( б ² )( а ² ) = 1 . Применение L ( b ) дает b ² а = б . Следовательно, Q ( a ) b ² = 1 . И наоборот, если Q ( a ) b = a и Q ( a ) b ² = 1 , то второе соотношение дает Q ( a ) Q ( b ) ² Q ( а ) знак равно я . Таким образом, оба Q ( a ) и Q ( b ) обратимы. Первый дает Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) = Q ( a ), так что Q ( a ) и Q ( b ) являются обратными друг другу. Поскольку L ( b ) коммутирует с Q ( b ), он коммутирует со своим обратным Q ( a ) . Аналогично L ( a ) коммутирует с Q ( b ) . Итак ( а ² ) б знак равно L ( б ) а ² знак равно Q ( а ) б знак равно а и ab знак равно L ( б ) Q ( а ) б знак равно Q ( а ) Q ( б )1= 1 .

• a обратима тогда и только тогда, когда ( a ) определяет биекцию на A. Q В этом случае ⁻¹ = Q ( а ) ⁻¹ а . В этом случае Q ( a ) ⁻¹ = Q ( а ⁻¹ ) .

Действительно, если a обратимо, то из вышеизложенного следует, что Q ( a ) обратимо с обратным Q ( b ) . Любое обратное b удовлетворяет условию Q ( a ) b = a , поэтому b = Q ( a ) ⁻¹ а . Обратно, если Q ( a ) обратимо, пусть b = Q ( a ) ⁻¹ а . Затем Q ( а ) б знак равно а . Тогда из фундаментального тождества следует, что Q ( b ) и Q ( a ) являются обратными друг другу, так что Q ( a ) b ² знак равно Q ( а ) Q ( б )1=1 .

• Если обратное существует, оно уникально. Если a обратима, то ее инверсия обозначается через a. ⁻¹ .

Это следует из формулы а ⁻¹ = Q ( а ) ⁻¹ а .

• a обратима тогда и только тогда, когда 1 лежит в образе Q ( a ) .

Предположим, что Q ( a ) c знак равно 1 . Тогда по фундаментальному тождеству Q ( a ) обратимо, поэтому a обратимо.

• Q ( a ) b обратим тогда и только тогда, когда a и b обратимы, и в этом случае ( Q ( a ) b ) ⁻¹ = Q ( а ⁻¹ ) б ⁻¹ .

Это непосредственное следствие фундаментального тождества и того факта, что STS обратима тогда и только тогда, когда S и T обратимы.

• Если a обратимо, то Q ( a )L( a ⁻¹ ) знак равно L ( а ) .

В коммутационном тождестве Q ( a ) R ( b , a ) = Q(Q( a ) b , a ) положим b = c ² с с = а ⁻¹ . Тогда Q( a ) b = 1 и Q (1, a ) = L ( a ) . Поскольку L ( a ) коммутирует с L ( c ² ) , р ( б , а ) знак равно L ( c ) знак равно L ( а ⁻¹ ) .

• a обратим тогда и только тогда, когда существует элемент b такой, что ab = 1 и [ L ( a ), L ( b )] = 0 ( a и b «коммутируют»). В этом случае b = a ⁻¹ .

Если L ( a ) и L ( b ) коммутируют, то из ba = 1 следует b ( a ² ) = а . Обратно предположим, что a обратимо с обратным b . Тогда аб = 1 . Моревоер L ( b ) коммутирует с Q ( b ) и, следовательно, с обратным ему Q ( a ) . Таким образом, он ездит с L ( а ) знак равно Q ( а ) L ( б ) .

• Когда A конечномерен над k , элемент a обратим тогда и только тогда, когда он обратим в k [ a ] , и в этом случае a ⁻¹ лежит в k [ a ] .

Алгебра k [ a ] коммутативна и ассоциативна, поэтому, если b является обратным числом, то ab =1 и a ² б = а . И наоборот, Q ( a ) оставляет k [ a ] инвариантным. Итак, если оно биективно на A, оно биективно и там. образом Таким ⁻¹ = Q ( а ) ⁻¹ a лежит в k [ a ] .

Элементарные свойства собственных мутаций

• Мутация А ^и является единицей тогда и только тогда, когда y обратим, и в этом случае единица задается y ⁻¹ .
• Мутация А ^и является йордановой алгеброй с единицей, если y обратима
• Квадратичное представление A ^и знак равно Q _y ( x ) Q ( x ) Q ( y ) .

Фактически умножение в алгебре A ^и дается

$\displaystyle {a\circ b=\{a,y,b\},}$

поэтому по определению коммутативен. Отсюда следует, что

$\displaystyle {a\circ b=L_{y}(a)b,}$

с

$\displaystyle {L_{y}(a)=[L(a),L(y)]+L(ay).}$

Если e удовлетворяет a ∘ e = a , то взятие a = 1 дает

$\displaystyle {ye=1.}$

Взяв a = e, получим

$\displaystyle {e(ya)=y(ea)}$

так что L ( y ) и L ( e ) коммутируют. Следовательно, y обратим и e = y ⁻¹ .

Теперь о y. обратимом наборе

$\displaystyle {Q_{y}(a)=Q(a)Q(y),\,\,\,R_{y}(a,b)=R(a,Q(y)b).}$

Затем

$\displaystyle {Q_{y}(e)=Q_{y}(y^{-1})=Q(y^{-1})Q(y)=I.}$

Более того,

$\displaystyle {Q_{y}(a)Q_{y}(b)Q_{y}(a)=Q(a)Q(y)Q(b)Q(y)Q(a)Q(y)=Q(a)Q(Q(y)b)Q(a)Q(y)=Q(Q(a)Q(y)b)Q(y)=Q_{y}(Q_{y}(a)b).}$

Окончательно

$\displaystyle {Q(y)R(c,Q(y)d)Q(y)^{-1}=R(Q(y)c,d),}$

с

$\displaystyle {Q(y)R(c,Q(y)d)x=2Q(y)Q(c,x)Q(y)d=2Q(Q(y)c,Q(y)x)d=R(Q(y)c,d)Q(y)x.}$

Следовательно

$\displaystyle {Q_{y}(a)R_{y}(b,a)=Q(a)Q(y)R(b,Q(y)a)=Q(y^{-1})Q(Q(y)a)R(b,Q(y)a)=Q(y)^{-1}R(Q(y)a,b)Q(Q(y)a)=R_{y}(a,b)Q_{y}(a).}$

Таким образом ( A , Q ^и , и ⁻¹ ) — квадратичная йорданова алгебра с единицей. Следовательно, она соответствует линейной йордановой алгебре с соответствующим йордановым оператором умножения M ( a ), заданным формулой

$\displaystyle {M(a)b={\frac {1}{2}}R_{y}(a,e)b={\frac {1}{2}}R(a,Q(y)e)b={\frac {1}{2}}R(a,y)b=\{a,y,b\}=L_{y}(a)b.}$

Это показывает, что операторы L _y ( a ) удовлетворяют тождеству Жордана, так что собственная мутация или изотоп A ^и является единичной йордановой алгеброй. Соответствие с квадратичными йордановыми алгебрами показывает, что ее квадратичное представление имеет вид Q _y .

Неунитальные мутации

Определение мутации также применимо к необратимым элементам y . Если A конечномерен над R или C , обратимые элементы a в A плотны, поскольку обратимость эквивалентна условию, что det Q ( a ) ≠ 0. Таким образом, в силу непрерывности тождество Жордана для собственных мутаций влечет тождество Жордана для произвольных мутаций. мутации. В общем, тождество Жордана можно вывести из теоремы Макдональда для йордановых алгебр, поскольку оно включает только два элемента йордановой алгебры. Альтернативно, тождество Жордана можно вывести, реализовав мутацию внутри квадратичной алгебры с единицей.

Для a в A определим квадратичную структуру на A ₁ = A ⊕ k по формуле

$\displaystyle {Q_{1}(a\oplus \alpha 1)(b\oplus \beta 1)=\alpha ^{2}\beta 1\oplus [\alpha ^{2}a+\alpha ^{2}b+2\alpha \beta a+\alpha \{a,y,b\}+\beta Q(a)y+Q(a)Q(y)b].}$

Затем можно проверить, что ( A ₁ , Q ₁ , 1) является квадратичной йордановой алгеброй с единицей. Унитальная йорданова алгебра, которой она соответствует, имеет A ^и как идеал, так что, в частности, A ^и удовлетворяет тождеству Джордана. Тождества для квадратичной йордановой алгебры с единицей следуют из следующих свойств совместимости квадратичного отображения Q _y ( a ) = Q ( a ) Q ( y ) и возведения в квадрат отображения S _y ( а ) знак равно Q ( а ) y :

• р _y ( а , а ) знак равно L _y ( S _y ( а )).
• [ Q _y ( а ), L _y ( а )] = 0.
• Q _y ( а ) S _y ( а ) знак равно S _y ( S _y ( а )).
• Q _y ∘ S _{y знак} равно S _y ∘ Q _y .
• Q _y ( а ) Q _y ( б ) S _y ( а ) знак равно S _y ( Q _y ( а ) б ).
• Qy ( Qy _y ( a ) b ) Qy _y ( a ) Qy _y ( b ) Qy ₍ ) a . =

Личность Хуа

Пусть A — йордановая алгебра с единицей. Если a , b и a – b обратимы, то справедливо тождество Хуа :

$\displaystyle {a^{-1}=(a-b)^{-1}+(a-Q(a)b^{-1})^{-1}=(a-b)^{-1}+Q(a)^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}.}$

В частности, если x и 1 – x обратимы, то обратима и 1 – x. ⁻¹ с

$\displaystyle {(1-x)^{-1}+(1-x^{-1})^{-1}=1.}$

Чтобы доказать тождество для x , положим y = (1 – x ) ⁻¹ . Тогда L ( y ) = Q (1 – x ) ⁻¹ Л (1 – х ) . Таким образом, L ( y ) коммутирует с L ( x ) и Q ( x ) . Поскольку Q ( y ) = Q (1 – x ) ⁻¹ , он также коммутирует с L ( x ) и Q ( x ) . Поскольку L ( x ⁻¹ ) = Q ( Икс ) ⁻¹ L ( x ) , L ( y ) также коммутирует с L ( x ⁻¹ ) и Q ( x ⁻¹ ) .

Отсюда следует, что ( x ⁻¹ – 1) ху = (1 – х ) у знак равно 1 . Более того, y – 1 = xy , поскольку (1 – x ) y = 1 . Таким образом, L ( xy ) коммутирует с L ( x ) и, следовательно, L ( x ⁻¹ – 1) . Таким образом, 1 – х ⁻¹ у вас есть обратные 1 – и .

Теперь пусть А ^а быть мутацией A, определенной a . Единичный элемент A ^а это ​ ⁻¹ . Более того, обратимый элемент c в A также обратим в A. ^а с обратным Q ( a ) ⁻¹ с ⁻¹ .

Пусть x = Q ( а ) ⁻¹ б в А ^а . Он обратим в A , как и ⁻¹ – Вопрос ( а ) ⁻¹ б знак равно Q ( а ) ⁻¹ ( а – б ) . Итак, в частном случае тождества Хуа для x в A ^а

$\displaystyle {a^{-1}=Q(a)^{-1}(a^{-1}-Q(a)^{-1}b)^{-1}+Q(a)^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}=(a-b)^{-1}+(a-Q(a)b^{-1})^{-1}.}$

оператор Бергмана

Если A — йорданова алгебра с единицей, оператор Бергмана определяется для a , b в A формулой

$\displaystyle {B(a,b)=I-R(a,b)+Q(a)Q(b).}$

Если а обратимо, то

$\displaystyle {B(a,b)=Q(a)Q(a^{-1}-b);}$

а если b обратимо, то

$\displaystyle {B(a,b)=Q(a-b^{-1})Q(b).}$

Действительно, если a обратимо

Q ( а ) Q ( а ⁻¹ - б ) знак равно Q ( а )[ Q ( а ⁻¹ − 2 Q ( а ⁻¹ , б ) + Q ( б )]= я - 2 Q ( а )Q( а ⁻¹ б ) + Q ( а ) Q ( б ) = я - р ( а , б ) + Q ( а ) Q ( б )

и аналогично, если b обратимо.

В более общем смысле оператор Бергмана удовлетворяет версии коммутационного или гомотопического тождества:

$\displaystyle {B(a,b)Q(a)=Q(a)B(b,a)=Q(a-Q(a)b)}$

и версия фундаментальной идентичности:

$\displaystyle {Q(B(a,b)c)=B(a,b)Q(c)B(b,a).}$

Есть и третья, более техническая идентичность:

$\displaystyle {2Q(B(a,b)c,a-Q(a)b)=B(a,b)(2Q(a,c)-R(c,b)Q(a))=(2Q(a,c)-Q(a)R(b,c))B(b,a).}$

Квазиобратимость

Пусть A — конечномерная йорданова алгебра с единицей над полем k характеристики ≠ 2. Для пары ( a , b ) с a и a ⁻¹ − b обратимое определение

$\displaystyle {a^{b}=(a^{-1}-b)^{-1}.}$

В этом случае оператор Бергмана B ( a , b ) = Q ( a ) Q ( a ⁻¹ − b ) определяет обратимый оператор на A и

$\displaystyle {a^{b}=B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b).}$

Фактически

$\displaystyle {B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b)=Q(a^{b})Q(a^{-1})(a-Q(a)b)=Q(a^{b})(a^{b})^{-1}=a^{b}.}$

Более того, по определению ⁻¹ − b − c обратимо тогда и только тогда, когда ( a ^б ) ⁻¹ − c обратимо. В этом случае

$\displaystyle {a^{b+c}=(a^{b})^{c}.}$

Действительно,

$\displaystyle {a^{b+c}=((a^{-1}-b)-c)^{-1}=((a^{b})^{-1}-c)^{-1}=(a^{b})^{c}.}$

От предположения об обратимости a можно отказаться, поскольку ^б можно определить, только предположив, что оператор Бергмана B ( a , b ) обратим. Пара ( a , b ) тогда называется квазиобратимой . В этом случае ^б определяется по формуле

$\displaystyle {a^{b}=B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b).}$

Если B ( a , b ) обратимо, то B ( a , b ) c = 1 для некоторого c . Из фундаментального тождества следует, что B ( a , b ) Q ( c ) B ( b , a ) = I . Таким образом, в силу конечномерности B ( b , a ) обратимо. Таким образом, ( a , b ) обратимо тогда и только тогда, когда ( b , a ) обратимо и в этом случае

$\displaystyle {a^{b}=a+Q(a)b^{a}.}$

Фактически

B ( а , б )( а + Q ( а ) б ^а ) знак равно а - 2 р ( а , б ) а + Q ( а ) Q ( б ) а + Q ( а ) ( б - Q ( б ) а ) знак равно а - Q ( а ) б ,

поэтому формула получается путем применения B ( a , b ) ⁻¹ обеим сторонам.

Как и раньше ( a , b + c ) квазиобратим тогда и только тогда, когда ( a ^б , в ) квазиобратима; и в таком случае

$\displaystyle {a^{b+c}=(a^{b})^{c}.}$

Если k = R или C , это будет следовать по непрерывности из частного случая, когда a и a ⁻¹ − b были обратимы. В общем случае доказательство требует четырех тождеств для оператора Бергмана:

• $\displaystyle {B(a,b)Q(a^{b})=Q(a^{b})B(b,a)=Q(a)}$
• $\displaystyle {B(a,b)Q(a^{b},c)+Q(a)R(b,c)=Q(a^{b},c)B(b,a)+R(c,b)Q(a)=Q(a,c)}$
• $\displaystyle {B(a,b)R(a^{b},c)=R(a,c)-2Q(a)Q(b,c)}$
• $\displaystyle {B(a,b)B(a^{b},c)=B(a,b+c)}$

Фактически, применяя Q к тождеству B ( a , b ) a ^б = a - Q ( a ) b дает

$\displaystyle {B(a,b)Q(a^{b})B(b,a)=B(a,b)Q(a)=Q(a)B(b,a).}$

Первое тождество получается путем сокращения B ( a , b ) и B ( b , a ) . Второе тождество следует за аналогичным сокращением в

Б ( а , б ) Q ( а ^б , c ) B ( б , а ) знак равно Q ( B ( а , б ) а ^б B ) ( а , б ) c ) знак равно Q ( а - Q ( а B б , B ( а , б ) c ) знак равно , ( а , б )( ( а , c ) - р ( c Q б ) Q ( а )) знак равно ( Q ( а , c ) - Q ( а ) р ( б , c )) B ( б , а ) .

Третье тождество получается путем применения второго тождества к элементу d и последующего переключения ролей c и d . Четвертый следует, потому что

Б ( а , б ) Б ( а ^б , c ) знак равно B ( а , б )( я - р ( а ^б , в ) + Q ( а ^б ) Q ( c )) знак равно я - р ( а , б + c ) + Q ( а ) Q ( б + c ) знак равно B ( а , б + c ) .

Фактически ( a , b ) квазиобратим тогда и только тогда, когда a квазиобратим в мутации A ^б . Поскольку эта мутация не обязательно может быть унитарной, это означает, что, когда тождество сопряжено с 1 - a, становится обратимым в A. ^б ⊕ к 1 . Это условие можно выразить следующим образом, не упоминая мутацию или гомотоп:

( a , b ) квазиобратим тогда и только тогда, когда существует элемент c такой, что B ( a , b ) c = a - Q ( a ) b и B ( a , b ) Q ( c ) b = Q ( а ) б . В этом случае c = a ^б .

Фактически, если ( a , b ) квазиобратим, то c = a ^б удовлетворяет первому тождеству по определению. Второе следует из того, что B ( a , b ) Q ( a ^б ) знак равно Q ( а ) . Наоборот, условия гласят, что в A ^б ⊕ k 1, из условий следует, что 1 + c является обратным к 1 − a . С другой стороны, ( 1 - а ) ∘ Икс знак равно B ( а , б ) Икс для Икс в А ^б . Следовательно, B ( a , b ) обратимо.

Отношение эквивалентности

Пусть A — конечномерная йорданова алгебра с единицей над полем k характеристики ≠ 2. Две пары ( a _i , b _i ) с обратимым a _i называются эквивалентными, если ( a ₁ ) ⁻¹ − b ₁ + b ₂ обратимо и a ₂ знак равно ( a ₁ ) ^{б ₁ - б ₂} .

Это отношение эквивалентности, поскольку если a обратимо , то ⁰ = a , так что пара ( a , b ) эквивалентна сама себе. Он симметричен, поскольку по определению a ₁ = ( a ₂ ) ^{б ₂ - б ₁} . Это транзитивно. Предположим, что ( a ₃ , b ₃ ) является третьей парой с ( a ₂ ) ⁻¹ - b ₂ + b ₃ обратимый и а ₃ знак равно ( а ₂ ) ^{б ₂ - б ₃} . Из вышесказанного

$\displaystyle {a_{1}^{-1}-b_{1}+b_{3}=(a_{1}^{-1}-b_{1}+b_{2})-b_{2}+b_{3}=a_{2}^{-1}-b_{2}+b_{3}}$

является обратимым и

$\displaystyle {a_{3}=a_{2}^{b_{2}-b_{3}}=(a_{1}^{b_{1}-b_{2}})^{b_{2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}$

Что касается квазиобратимости, то это определение можно распространить на случай, когда a и a ⁻¹ − b не считаются обратимыми.

Две пары ( a _i , b _i ) называются эквивалентными, если ( a ₁ , b ₁ − b ₂ ) квазиобратима и a ₂ = ( a ₁ ) ^{б ₁ - б ₂} . Когда k = R или C , тот факт, что это более общее определение также дает отношение эквивалентности, можно вывести из обратимого случая по непрерывности. Для общего k это также можно проверить напрямую:

• Отношение является рефлексивным, поскольку ( a ,0) квазиобратимо и a ⁰ = а .
• Отношение симметрично, поскольку a ₁ = ( a ₂ ) ^{б ₂ - б ₁} .
• Отношение транзитивно. Предположим, что ( a ₃ , b ₃ ) — третья пара, причем ( a ₂ , b ₂ − b ₃ ) квазиобратима и a ₃ = ( a ₂ ) ^{б ₂ - б ₃} . В этом случае

$\displaystyle {B(a_{1},b_{1}-b_{3})=B(a_{1},b_{1}-b_{2})B(a_{2},b_{2}-b_{3}),}$

так что ( a ₁ , b ₁ − b ₃ ) квазиобратима с

$\displaystyle {a_{3}=a_{2}^{b_{2}-b_{3}}=(a_{1}^{b_{1}-b_{2}})^{b_{2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}$

Класс эквивалентности ( a , b ) обозначается ( a : b ) .

Структурные группы

Смотрите также: Структурная группа (алгебра Джордана)

Пусть A — конечномерная комплексная полупростая йорданова алгебра с единицей. Если T — оператор над A , пусть T ^т быть его транспонированием относительно формы следа. Таким образом Л ( а ) ^т знак равно L ( а ) , Q ( а ) ^т знак равно Q ( а ) , р ( а , б ) ^т знак равно р ( б , а ) и B ( а , б ) ^т знак равно B ( б , а ) . Структурная группа A A состоит из g в GL( ) что такого,

$\displaystyle {Q(ga)=gQ(a)g^{t}.}$

Они образуют группу Γ( A ) . Группа автоморфизмов Aut A группы A состоит из обратимых комплексных линейных операторов g таких, что L ( ga ) = gL ( a ) g ⁻¹ и g1 = 1. Поскольку автоморфизм g сохраняет форму следа, g ⁻¹ = г ^т .

• Структурная группа замкнута при транспонировании g ↦ g ^т и сопряженное g ↦ g *.
• Структурная группа содержит группу автоморфизмов. Группу автоморфизмов можно отождествить со стабилизатором 1 в структурной группе.
• Если a обратимо, Q ( a ) лежит в структурной группе.
• Если g находится в структурной группе и a обратимо, ga также обратимо с ( ga ) ⁻¹ = ( г ^т ) ⁻¹ а ⁻¹ .
• Структурная группа Γ( A ) действует транзитивно на множестве обратимых элементов из A .
• Каждый g в Γ( A ) имеет вид g = h Q ( a ), где h автоморфизм и обратимый .

Комплексная йордановая алгебра A является комплексификацией вещественной евклидовой йордановой алгебры E , для которой форма следа определяет скалярное произведение. Существует связанная с ним инволюция a ↦ a * на A , которая порождает сложный скалярный продукт на A . Группа унитарной структуры Γ _u ( A ) является подгруппой Γ ( A ), состоящей из унитарных операторов, так что Γ _u ( A ) = Γ ( A ) ∩ U ( A ) . Единичный компонент Γ _u ( A ) обозначается K . Это связная замкнутая подгруппа U( A ) .

• Стабилизатором 1 в Γ _u ( A является Aut E. )
• Каждый g в Γ _u ( A ) имеет вид g = h Q ( u ) с h в Aut E и u, обратимым в A с u * = u ⁻¹ .
• Γ( A ) является комплексификацией Γ _u ( A ).
• Множество S обратимых элементов u из A таких, что u * = u ⁻¹ могут быть эквивалентно охарактеризованы либо как те u, для которых L ( u ) является нормальным оператором с uu * = 1, либо как те формы exp ia для некоторого a из E. u В частности, S связен.
• Единичная компонента Γ _u ( A ) действует транзитивно на S
• Учитывая жордановую шкалу ( e _i ) и v в A , существует оператор u в единичной компоненте Γ _u ( A ) такой, что uv = Σ α _i e _i с α _i ≥ 0. Если v обратим, то α _я > 0.

Структурная группа Γ( A действует на X. ) естественным образом Для g в Γ( A ) положим

$\displaystyle {g(a,b)=(ga,(g^{t})^{-1}b).}$

Тогда ( x , y ) квазиобратим тогда и только тогда, когда ( gx ,( g ^т ) ⁻¹ y ) квазиобратим и

$\displaystyle {g(x^{y})=(gx)^{(g^{t})^{-1}y}.}$

Фактически из ковариационных соотношений для g с Q и обратного следует, что

$\displaystyle {gB(x,y)g^{-1}=B(gx,(g^{t})^{-1}y)}$

если x обратим, и так везде по плотности. В свою очередь, из этого следует соотношение для квазиобратного. Если a обратимо, то Q ( a ) лежит в Γ( A ), а если ( a , b ) квазиобратимо, B ( a , b ) лежит в Γ( A ). оба типа операторов действуют на X. Таким образом ,

Определяющие соотношения для структурной группы показывают, что это замкнутая подгруппа ${\mathfrak {g}}_{0}$ GL ( A ) . Поскольку Q ( e ^а ) = и ^{2 л ( а )} соответствующая комплексная алгебра Ли содержит операторы L ( a ) . Коммутаторы [ L ( a ), L ( b )] комплексную алгебру Ли дифференцирований A. охватывают Операторы R ( a , b ) = [ L ( a ), L ( b )] + L ( ab ) охватывают ${\mathfrak {g}}_{0}$ иудовлетворить R ( а , б ) ^т = р ( б , а ) и [ р ( а , б ), р ( c , d )]= р ( р ( а , б ) c , d ) - р ( c , р ( б , а ) d ) .

Геометрические свойства факторпространства

Пусть A — конечномерная комплексная йорданова алгебра с единицей, которая является полупростой , т. е. форма следа Tr L ( ab ) невырождена. Пусть X — фактор A × A по отношению эквивалентности. Пусть X _b будет подмножеством X классов ( a : b ) . Отображение φ _b : X _b → A , ( a : b ) ↦ a инъективно. Подмножество U множества X считается открытым тогда и только тогда, когда U ∩ X _b открыто для всех b .

X — комплексное многообразие .

Карты переходов атласа с картами φ _b имеют вид

$\displaystyle {\varphi _{cb}=\varphi _{c}\circ \varphi _{b}^{-1}:\varphi _{b}(X_{b}\cap X_{c})\rightarrow \varphi _{c}(X_{b}\cap X_{c}).}$

и инъективны и голоморфны, поскольку

$\displaystyle {\varphi _{cb}(a)=a^{b-c}}$

с производной

$\displaystyle {\varphi _{cb}^{\prime }(a)=B(a,b-c)^{-1}.}$

Это определяет структуру комплексного многообразия на X , поскольку φ _dc ∘ φ _cb = φ _db на φ _b ( X _b ∩ X _c ∩ X _d ) .

конечное множество точек ( ai ₎ : bi _в X , Учитывая . содержатся в Xb _они общем

Действительно, все полиномиальные функции p _i ( b ) = det B ( a _i , b _i − b ) нетривиальны, поскольку p _i ( b _i ) = 1 . Следовательно, существует b такой, что p _i ( b ) ≠ 0 для всех i , что и является критерием того, что ( a _i : b _i ) лежит в X _b .

X компактен.

Лоос (1977) использует операторы Бергмана для построения явного биголоморфизма между X и замкнутым гладким алгебраическим подмногообразием комплексного проективного пространства . Отсюда, в частности, следует, что X компактно. Существует более прямое доказательство компактности с использованием групп симметрии.

Учитывая жордановую шкалу ( e _i ) в E , для каждого a в A существует k в U = Γ _u ( A ) такой, что a = k ( Σ α _i e _i ) при α _i ≥ 0 (и α _i > 0, если a обратимо).Фактически, если ( a , b ) находится в X , то это эквивалентно k ( c , d ) с c и d в унитальной йордановой подалгебре A _e = ⊕ C e _i , которая является комплексификацией E _e = ⊕ R е _я .Пусть Z — комплексное многообразие, построенное Ае _для . Поскольку A _e прямой суммой копий C , Z является просто произведением сфер Римана, по одной для каждого ei _{является} . В частности, он компактен. Существует естественное отображение Z в X, которое является непрерывным. Пусть Y образ Z. — замыканием Y0 _Ae = компактно и поэтому _{совпадает с} ⊂ A = X0 _Оно . Множество U ⋅ Y является непрерывным образом компакта U × Y . Поэтому он компактен. С другой стороны, U ⋅ Y ₀ = X ₀ , поэтому оно содержит плотное подмножество X и поэтому должно совпадать с X . Итак, X компактен.

Приведенный выше аргумент показывает, что каждый ( a , b ) в X эквивалентен k ( c , d ) с c и d в A _e и k в Γ _ты ( А ) . Отображение Z в X на самом деле является вложением. Это следствие того, что ( x , y ) квазиобратимо в A _e когда оно квазиобратимо в A. тогда и только тогда , Действительно, если B ( x , y ) инъективно на A его ограничение на Ae _{, то} также инъективно. И наоборот, два уравнения для квазиобратного в A _e подразумевают, что оно также является квазиобратным в A .

Преобразования Мёбиуса

Пусть A — конечномерная комплексная полупростая йорданова алгебра с единицей. Группа SL(2, ) действует преобразованием Мёбиуса на сфере Римана C ∪ {∞}, одноточечной компактификации C C . Если g в SL(2, C ) задан матрицей

$\displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},}$

затем

$\displaystyle {g(z)=(\alpha z+\beta )(\gamma z+\delta )^{-1}.}$

Существует обобщение этого действия SL(2, C ) на A и его компактификация X . Чтобы определить это действие, обратите внимание, что SL(2, C ) порождается тремя подгруппами нижних и верхних унитреугольных матриц и диагональных матриц. Он также порождается нижними (или верхними) унитреугольными матрицами, диагональными матрицами и матрицей

$\displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Матрица J соответствует преобразованию Мёбиуса j ( z ) = − z ⁻¹ и можно написать

$\displaystyle {J={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}.}$

Преобразования Мёбиуса, фиксирующие ∞, представляют собой не что иное, как верхнетреугольные матрицы. Если g не фиксирует ∞, он отправляет ∞ в конечную точку a . Но тогда g можно составить с верхним унитреугольным элементом, чтобы отправить a в 0, а затем с J, чтобы отправить 0 в бесконечность.

Для элемента a из A действие g в SL(2, C ) определяется той же формулой

$\displaystyle {g(a)=(\alpha a+\beta 1)(\gamma a+\delta 1)^{-1}.}$

Это определяет элемент C [ a ] что γa , + δ1 обратимо в A. при условии Таким образом, действие определено всюду на A, если g верхнетреугольная. С другой стороны, действие на X легко определить для нижнетреугольных матриц.

• Для диагональных матриц g с диагональными элементами α и α ⁻¹ , г ( а , б ) = (а ² а , а ⁻² b ) является корректно определенным голоморфным действием на A ² который переходит в фактор X . На X ₀ = A оно совпадает с действием Мёбиуса.
• Для нижних унитреугольных матриц с недиагональным параметром γ определите g ( a , b ) = ( a , b − γ1) . Опять же, это голоморфно на A ² и переходит к фактору X . Когда b = 0 и γ ≠ 0 ,

$\displaystyle {g(a:0)=(a:-\gamma )=(a^{-\gamma }:0)=(a(\gamma a+1)^{-1}:0)}$

если γ a + 1 обратимо, то это расширение действия Мёбиуса.

• Для верхних унитреугольных матриц с недиагональным параметром β действие на X ₀ = ( A :0) ​​определяется формулой g ( a ,0) = ( a + β1) . Лоос (1977) показал, что это определяет сложный однопараметрический поток на A . Соответствующее голоморфное комплексное векторное поле расширяется до X , так что действие на компактном комплексном многообразии X может определяться соответствующим комплексным потоком. Более простой метод состоит в том, чтобы отметить, что оператор J может быть реализован непосредственно, используя его переплетающиеся отношения с группой унитарной структуры.

Фактически на обратимых элементах в A оператор j ( a ) = − a ⁻¹ удовлетворяет j ( ga ) = ( g ^т ) ⁻¹ j ( а ) . Определить биголоморфизм j на X такой, что j ∘ g = ( g ^т ) ⁻¹ ∘ j , достаточно определить их для ( a : b ) на некоторой подходящей орбите Γ( A ) или Γ _u ( A ). С другой стороны, как указано выше, для данного жорданового репера ( e _i ) в E для каждого a в A существует k в U = Γ _u ( A ) такой, что a = k ( Σ α _i e _i ) с α _я ≥ 0 .

Вычисление j в ассоциативной коммутативной алгебре A _e несложно, поскольку оно является прямым произведением. Для c = Σ α _i e _i и d = Σ β _i e _i оператор Бергмана на A _e имеет определитель det B ( c , d ) = Π(1 − α _i β _i ) ² . В частности, det B ( c , d − λ) ≠ 0 для некоторого λ ≠ 0. Так что ( c , d ) эквивалентно ( x , λ ) . Пусть µ = −λ ⁻¹ . На A для плотного множества a пара ( a , λ) эквивалентна ( b ,0) с обратимым b . Тогда (− b ⁻¹ ,0) эквивалентно (μ − µ ² являюсь ) . Поскольку a ↦ µ − µ ² a голоморфен, то j имеет единственное непрерывное расширение на X такое, что j ∘ g = ( g ^т ) ⁻¹ ∘ j для g в Γ( A ) расширение голоморфно и для λ ≠ 0 , µ = −λ ⁻¹

$\displaystyle {j(a,\lambda )=(\mu -\mu ^{2}a,\mu ).}$

Голоморфные преобразования, соответствующие верхним унитреугольным матрицам, можно определить, используя тот факт, что они являются сопряженными по J нижним унитреугольным матрицам, для которых действие уже известно. Прямая алгебраическая конструкция дана в Dineen, Mackey & Mellon (1999) .

Это действие SL(2, C ) согласовано с включениями. если e ₁ , ..., em _{В более общем смысле ,} является жордановой системой координат, существует действие SL(2, C ) ^м на Ae _, продолжающееся A. до Если c = Σ γ _i e _i и b = Σ β _i e _i , то S ( c ) и T ( b ) задают действие произведения нижней и верхней унитреугольных матриц. Если a = Σ α _i e _i обратимо, соответствующее произведение диагональных матриц действует как W = Q ( a ) . В частности, диагональные матрицы дают действие ( C *) ^м и Т ^м .

Голоморфная группа симметрии

Пусть A — конечномерная комплексная полупростая йорданова алгебра с единицей. Существует транзитивное голоморфное действие группы комплексных матриц G на компактном комплексном многообразии X . Кехер (1967) описал G аналогично SL(2, C ) в терминах генераторов и отношений. G действует на соответствующей конечномерной алгебре Ли голоморфных векторных полей, ограниченной X ₀ = A , так что G реализуется как замкнутая матричная группа. Это комплексификация компактной группы Ли без центра, то есть полупростая алгебраическая группа. Единичный компонент H компактной группы действует транзитивно на X , так что X можно идентифицировать как эрмитово симметрическое пространство компактного типа.

Группа G порождается тремя типами голоморфных преобразований на X :

• Операторы W , соответствующие элементам W в Γ( A ), заданным формулой W ( a , b ) = ( Wa , ( W ^т ) ⁻¹ б ) . Они уже были описаны выше. На X ₀ = A они задаются a ↦ Wa .
• Операторы Sc _, определяемые формулой ( _Sc a , b ) = ( a , b + c ) . Это аналог нижних унитреугольных матриц и образуют подгруппу, изоморфную аддитивной группе A с заданной параметризацией. И снова они действуют голоморфно на A ² действие переходит к фактору X. и На A действие задается a ↦ a ^с если ( a , c ) квазиобратима.
• Преобразование j, соответствующее J в SL(2, C ) . Оно было построено выше как часть действия PSL(2, C ) = SL(2, C )/{±I } на X . На обратимых элементах из A оно определяется как a ↦ − a ⁻¹ .

Операторы W группу операторов Sc _{нормализуют} . Аналогично оператор j нормализует структурную группу j ∘ W = ( W ^т ) ⁻¹ ∘ Дж . Операторы T _c = j ∘ S _{− c} ∘ j также образуют группу голоморфных преобразований, изоморфную аддитивной группе A . Они обобщают верхнюю унитреугольную подгруппу SL(2, C ) . Эта группа нормализуется операторами W структурной группы. Оператор T _c действует на A как a ↦ a + c . Если c скаляр, то операторы и _Sc T c _{совпадают} с операторами, соответствующими нижней и верхней унитреугольным матрицам в SL(2, C ) . Соответственно, существует отношение j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ и PSL(2, C ) является подгруппой G . Лоос (1977) определяет операторы T _c в терминах потока, связанного с голоморфным векторным полем на X , а Дайнин, Макки и Меллон (1999) дают прямое алгебраическое описание.

G действует транзитивно X. на

Действительно, S _b T _a (0:0) = ( a : b ) .

Пусть G ₋₁ и G ₊₁ образованные симметриями T _c и ​​Sc _{— комплексные абелевы группы ,} соответственно. Пусть G ₀ = Γ( A ) .

$\displaystyle {G=G_{0}G_{+1}G_{-1}G_{+1}=G_{0}G_{-1}G_{+1}G_{-1}.}$

Два выражения для G эквивалентны следующим образом путем сопряжения с помощью j .

Для обратимого личность Хуа можно переписать.

$\displaystyle {Q(a)=T_{a}\circ j\circ T_{a^{-1}}\circ j\circ T_{a}\circ j.}$

Более того, j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ и S _{c знак} равно j ∘ Т _{- c} ∘ j .

Отношения конвариантности показывают, что элементы G распадаются на множества г ₀ г ₁ , г ₀ г ₁ jG ₁ , г ₀ г ₁ jG ₁ jG ₁ , г ₀ г ₁ jG ₁ jG ₁ jG ₁ . ...Первое выражение для G следует после того, как будет установлено, что в четвертом и последующих наборах не появляются новые элементы. Для этого достаточно показать, что

j ∘ г ₁ ∘ j ∘ г ₁ ∘ j ⊆ г ₀ г ₁ ∘ j ∘ г ₁ ∘ j ∘ г ₁ .

Ибо тогда, если есть три или более вхождений j , это число можно рекурсивно уменьшить до двух. Учитывая a , b в A , выберите λ ≠ 0 так, чтобы c = a − λ и d = b − λ. ⁻¹ являются обратимыми. Затем

$\displaystyle {jT_{a}jT_{b}j=jT_{c}T_{\lambda }jT_{\lambda ^{-1}}T_{d}\circ j=\lambda ^{2}jT_{c}jT_{-\lambda }jT_{d}\ j=\lambda ^{2}T_{-c^{-1}}jQ(c^{-1})T_{-c^{-1}-\lambda -d^{-1}}jQ(d^{-1})jT_{-d^{-1}},}$

который лежит в G ₀ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ .

Стабилизатором (0:0) в G является G ₀ G ₋₁ .

Достаточно проверить, что если S _a T _b (0:0) = (0:0) , то b = 0 . Если да ( b :0) = (0: − a ) = (0:0) , то b = 0 .

Биржевые отношения

G порождается G _±1 .

Для обратимого личность Хуа можно переписать.

$\displaystyle {Q(a)=T_{a}\circ j\circ T_{a^{-1}}\circ j\circ T_{a}\circ j.}$

Поскольку j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ , операторы Q ( a ) принадлежат группе, порожденной G _±1 .

Для квазиобратимых пар ( a , b ) существуют «обменные отношения»

S _б Т _а = Т _{а ^б} Б ( а , б ) ⁻¹ С _{б ^а} .

Это тождество показывает, что B ( a , b ) находится в группе, порожденной G _±1 . Обратные значения эквивалентны тождеству T _a S _b = S _{b ^а} Б ( а , б ) Т _{а ^б} .

Для доказательства отношений обмена достаточно проверить, что применительно к точкам справедливо плотное множество точек ( c :0) в X, для которых ( a + c , b ) квазиобратимо. Затем оно сводится к тождеству:

$\displaystyle {(a+c)^{b}=a^{b}+B(a,b)^{-1}c^{(b^{a})}.}$

Фактически, если ( a , b ) квазиобратим, то ( a + c , b ) квазиобратим тогда и только тогда, когда ( c , b ^а ) квазиобратима. Это следует из того, что ( x , y ) является квазиобратимым тогда и только тогда, когда ( y , x ) является обратимым. Более того, приведенная выше формула справедлива и в этом случае.

Для доказательства потребуются еще два тождества:

$\displaystyle {B(c+b,a)=B(c,a^{b})B(b,a)}$

$\displaystyle {R(a,b)=R(a^{b},b-Q(b)a)=R(a-Q(a)b,b^{a})}$

Первое следует из предыдущего тождества путем применения транспонирования. Во втором, благодаря транспонированию, достаточно доказать первое равенство. Полагая c = b − Q ( b ) a в тождестве B ( a , b ) R ( a ^б , в ) = R ( а , c ) - Q ( а ) Q ( б , c ) дает

Б ( а , б ) р ( а ^б , б - Q ( б ) c ) знак равно B ( а , б ) р ( а , б ),

поэтому тождество следует за сокращением B ( a , b ) .

Для доказательства формулы используются соотношения ( a + c ) ^б = B ( а , с ) ⁻¹ ( а + c - Q ( а + c ) б ) и ​ ^б + Б ( а , б ) ⁻¹ с ^{( б а )} знак равно B ( а + с , б ) ⁻¹ ( Б ( с , б ^а ) ( а - Q ( а ) б ) + c - Q ( c ) б ^а ) покажите, что этого достаточно, чтобы доказать, что

а + c - Q ( а + c ) б знак равно B ( c , б ^а ) ( а - Q ( а ) б ) + c - Q ( c ) б ^а .

Действительно, B ( c , b ^а ) ( а - Q ( а ) б ) + c - Q ( c ) б ^а знак равно а + c - Q ( а ) б + 2 р ( c , б ^а )( а - Q ( а ) б ) - Q ( c )[ б ^а − Q ( б ^а )( а - Q ( а ) б )] . С другой стороны, 2 Р ( в , б ^а )( а - Q ( а ) б ) знак равно 2 р ( c , а - Q ( а ) б ) б ^а знак равно р ( а , б ) c знак равно 2 Q ( а , c ) б и б ^а − Q ( б ^а )( а - Q ( а ) б ) знак равно б ^а - Q ( б ) B ( а , б ) ⁻¹ ( а - Q ( а ) б ) знак равно б ^а - Q ( б ) а ^б = б . Итак, B ( c , b ^а ) ( а - Q ( а ) б ) + c - Q ( c ) б ^а знак равно а + c - Q ( а ) б - 2 Q ( а , c ) б - Q ( c ) б знак равно а + c - Q ( а + c ) б .

Теперь положим Ω = G ₊₁ G ₀ G ₋₁ . Тогда из соотношений обмена следует, что S _b T _a лежит в Ω тогда и только тогда, когда ( a , b ) квазиобратима; и что g лежит в Ω тогда и только тогда, когда g (0:0) находится в X ₀ .

Фактически, если лежит _в , поэтому _{SbT a} Ω , то ( a , b ) эквивалентно ( x ,0) это квазиобратимая пара; Обратное следует из отношений обмена. Очевидно, Ω(0:0) = G ₁ (0:0) = X ₀ . Обратное следует из G = G ₋₁ G ₁ G ₀ G ₋₁ и критерия того, что S _b T _a лежит в Ω .

Алгебра Ли голоморфных векторных полей

См. Также: конструкция Кантора – Кехера – Титса.

Компактное комплексное многообразие моделируется на пространстве A. X Производные отображений перехода описывают касательное расслоение через голоморфные функции перехода F _bc : X _b ∩ X _c → GL( A ) . Они задаются формулой F _bc ( a , b ) = B ( a , b − c ) , поэтому структурная группа соответствующего главного расслоения сводится к Γ( A ) , структурной группе A . Соответствующее голоморфное векторное расслоение со слоем A является касательным расслоением комплексного многообразия X . Его голоморфные сечения — это просто голоморфные векторные поля X. на Их можно определить непосредственно, используя тот факт, что они должны быть инвариантны относительно естественного присоединенного действия известных голоморфных симметрий X . Они образуют конечномерную комплексную полупростую алгебру Ли. Ограничение этих векторных полей на X ₀ можно описать явно. Прямым следствием этого описания является то, что алгебра Ли трехградуирована и что группа голоморфных симметрий X , описываемая генераторами и соотношениями в Кехере (1967) и Лоосе (1979) , представляет собой комплексную линейную полупростую алгебраическую группу, которая совпадает с группой биголоморфизмов X .

Алгебры Ли трех подгрупп голоморфных автоморфизмов X порождают линейные пространства голоморфных векторных полей на X и, следовательно, X ₀ = A .

• Структурная группа Γ( A ) имеет алгебру Ли ${\mathfrak {g}}_{0}$ натянут операторами R ( x , y ) . Они определяют комплексную алгебру Ли линейных векторных полей a ↦ R ( x , y ) a на A .
• Операторы перевода действуют на A как T _c ( a ) = a + c . Соответствующие однопараметрические подгруппы имеют вид T _tc и соответствуют постоянным векторным полям a ↦ c . Они дают абелеву алгебру Ли. ${\mathfrak {g}}_{-1}$ векторных полей на A .
• Операторы S _c определены на X равенством S _c ( a , b ) знак равно ( a , b - c ) . Соответствующие однопараметрические группы S _tc определяют векторные поля a ↦ Q ( a ) c на A. квадратичные Они дают абелеву алгебру Ли. ${\mathfrak {g}}_{1}$ векторных полей на A .

Позволять

$\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}.}$

Затем, определяя ${\mathfrak {g}}_{i}=(0)$ для я ≠ −1, 0, 1 , ${\mathfrak {g}}$ образует комплексную алгебру Ли с

$\displaystyle {[{\mathfrak {g}}_{p},{\mathfrak {g}}_{q}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{p+q}}.$

Это дает структуру 3-градуированной алгебры Ли . Для элементов ( a , T , b ) в ${\mathfrak {g}}$, скобка Ли имеет вид

$\displaystyle {[(a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2})]=(T_{1}a_{2}-T_{2}a_{1},[T_{1},T_{2}]+R(a_{1},b_{2})-R(a_{2},b_{1}),T_{2}^{t}b_{1}-T_{1}^{t}b_{2})}$

Группа PSL(2, C ) преобразований Мёбиуса X нормализует алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$. Преобразование j ( z ) = − z ⁻¹ соответствующий элементу группы Вейля J, индуцирует инволютивный автоморфизм σ , заданный формулой

$\displaystyle {\sigma (a,T,b)=(b,-T^{t},a).}$

В более общем смысле действие преобразования Мёбиуса

$\displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

можно описать явно. С точки зрения генераторов диагональные матрицы действуют как

$\displaystyle {{\begin{pmatrix}\alpha &0\\0&\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}(a,T,b)=(\alpha ^{2}a,T,\alpha ^{-2}b),}$

верхние унитреугольные матрицы действуют как

$\displaystyle {{\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}(a,T,b)=(a+\beta T(1)-\beta ^{2}b,T-\beta L(a),b),}$

а нижние унитреугольные матрицы действуют как

$\displaystyle {{\begin{pmatrix}1&0\\\gamma &1\end{pmatrix}}(a,T,b)=(a,T-\gamma L(b),b-\gamma T^{t}(1)-\gamma ^{2}a).}$

Это можно равномерно записать в матричной записи как

$\displaystyle {{\begin{pmatrix}g(T)&g(a)\\g(b)&g(T)^{t}\end{pmatrix}}=g{\begin{pmatrix}T&a\\b&T^{t}\end{pmatrix}}g^{-1}.}$

В частности, градуировка соответствует действию диагональной подгруппы SL(2, C ) даже при |α| = 1, поэтому копия T .

Форма убийства определяется выражением

$\displaystyle {\mathbf {B} ((a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2}))=(a_{1},b_{2})+(b_{1},a_{2})+\beta (T_{1},T_{2}),}$

где β( T ₁ , T ₂ ) — симметричная билинейная форма, определяемая формулой

$\displaystyle {\beta (R(a,b),R(c,d))=(R(a,b)c,d)=(R(c,d)a,b),}$

с билинейной формой ( a , b ), соответствующей форме следа: ( a , b ) = Tr L ( ab ) .

В более общем смысле генераторы группы G действуют автоморфизмами на ${\mathfrak {g}}$ как

• $\displaystyle {W(a,T,b)=(Wa,WTW^{-1},(W^{t})^{-1}b),}$
• $\displaystyle {J(a,T,b)=(-b,-T^{t},-a),}$
• $\displaystyle {T_{x}(a,T,b)=(a+Tx-Q(x)b,T-R(x,b),b),}$
• $\displaystyle {S_{y}(a,T,b)=(a,T-R(a,y),b-T^{t}y-Q(y)a).}$

Форма Киллинга невырождена на ${\mathfrak {g}}$.

Невырожденность формы Киллинга непосредственно следует из явной формулы. По Картана критерию ${\mathfrak {g}}$ является полупростым. В следующем разделе группа G реализуется как комплексификация связной компактной группы Ли H с тривиальным центром, поэтому полупростой. Это дает прямой способ проверки полупростоты. Группа H действует транзитивно на X. также

${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли всех голоморфных векторных полей на X .

Чтобы доказать это ${\mathfrak {g}}$ исчерпывает голоморфные векторные поля на X , обратите внимание, что группа T действует на голоморфных векторных полях. Ограничение такого векторного поля на X ₀ = A дает голоморфное отображение A в A . Разложение в степенной ряд вокруг 0 ​​представляет собой сходящуюся сумму однородных частей степени m ≥ 0 . Действие T масштабирует часть степени m на α ^{2 м − 2} . Взяв коэффициенты Фурье относительно T , часть степени m также является голоморфным векторным полем. Поскольку сопряжение с помощью J дает обратное к T , отсюда следует, что единственными возможными степенями являются 0, 1 и 2. Степень 0 объясняется постоянными полями. Поскольку сопряжение с помощью J меняет местами степень 0 и степень 2, отсюда следует, что ${\mathfrak {g}}_{\pm 1}$ объяснить все эти голоморфные векторные поля. поэтому иметь форму a ↦ Ma для некоторого M в End A. Любое дальнейшее голоморфное векторное поле должно было бы появиться в степени 1 и Сопряжение с помощью J дало бы еще одно такое N. отображение Более того, э ^тМ ( а ,0,0)= ( е ^тМ а ,0,0) . Но тогда

$\displaystyle {e^{tM}(0,0,b)=Je^{tN}J(0,0,b)=Je^{tN}(b,0,0)=(0,0,e^{tN}b).}$

Установить U _t = e ^тМ и V _t = e ^ТБ . Затем

$\displaystyle {Q(U_{t}a)b=U_{t}Q(a)V_{-t}b.}$

Отсюда следует, что U _t лежит в Γ( A ) для всех t и, следовательно, M лежит в ${\mathfrak {g}}_{0}$. Так ${\mathfrak {g}}$ является в точности пространством голоморфных векторных полей на X .

Компактная реальная форма

Действие G на ${\mathfrak {g}}$ верен.

Предположим, что g = WT _x S _y T _z действует тривиально на ${\mathfrak {g}}$. Тогда S _y T _z должна оставить инвариантной подалгебру (0,0, A ) . Следовательно, то же самое должно быть и с _Sy . Это заставляет y = 0 , так что g = WT _{x + z} . Но тогда T _x+z должно оставить подалгебру ( A ,0,0) инвариантной, так что x + z = 0 и g = W . Если W действует тривиально, W = I .

Таким образом, группу G можно отождествить с ее образом в GL. ${\mathfrak {g}}$.

Пусть A = E + iE комплексификация евклидовой йордановой алгебры E. — Для a = x + iy установите a * = x − iy . Форма следа на E определяет комплексное скалярное произведение на A и, следовательно, сопряженную операцию. Группа унитарной структуры Γ _u ( A ) состоит из тех g из Γ( A ), которые находятся в U ( A ) , т.е. удовлетворяют условиям gg *= g * g = I . Это замкнутая подгруппа U ( A ). Его алгебра Ли состоит из кососопряженных элементов из ${\mathfrak {g}}_{0}$. Определим сопряженную линейную инволюцию θ на ${\mathfrak {g}}$ к

$\displaystyle {\theta (a,T,b)=(b^{*},-T^{*},a^{*}).}$

Это сопряженно-линейный автоморфизм алгебры Ли периода 2. Это индуцирует автоморфизм G , который на генераторах задается формулой

$\displaystyle {\theta (S_{a})=T_{a^{*}},\,\,\,\theta (j)=j,\,\,\,\theta (T_{b})=S_{b^{*}},\,\,\,\theta (W)=(W^{*})^{-1}.}$

Пусть H — подгруппа неподвижных точек группы θ в G . Позволять ${\mathfrak {h}}$ подалгебра с неподвижной точкой θ в ${\mathfrak {g}}$. Определите полуторалинейную форму на ${\mathfrak {g}}$ а ( а , б ) знак равно -B ( , θ ( б )) . Это определяет сложный внутренний продукт на ${\mathfrak {g}}$ который ограничивается реальным внутренним продуктом на ${\mathfrak {h}}$. сохранены H. Оба Пусть K будет единичным компонентом Γ _u ( A ) . лежит в Х. Оно Пусть K _e = T ^м — диагональный тор, ассоциированный с жордановым репером в E . Действие SL(2, C ) ^м совместим с θ , который отправляет унимодулярную матрицу ${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}$ к ${\begin{pmatrix}{\overline {\delta }}&-{\overline {\gamma }}\\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}$. В частности, это дает гомоморфизм SU(2) ^м в Х. ​

Теперь каждую матрицу M из SU(2) можно записать в виде произведения

$\displaystyle {M={\begin{pmatrix}\zeta _{1}&0\\0&\zeta _{1}^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta _{2}&0\\0&\zeta _{2}^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Множитель в середине дает еще один максимальный тор в SU(2), полученный сопряжением с помощью J . Если a = Σ α _i e _i с |α _i | = 1, то Q ( a ) задает действие диагонального тора T = T ^м и соответствует элементу из K ⊆ H . Элемент J лежит в SU(2) ^м а его образ — преобразование Мёбиуса j, лежащее в H . Таким образом, S = j ∘ T ∘ j — другой тор в H и T ∘ S ∘ T совпадает с образом SU(2) ^м .

H действует транзитивно X. на Стабилизатором (0:0 является K. ) Более того, H = KSK , так что H — связная замкнутая подгруппа унитарной группы на ${\mathfrak {g}}$. Его алгебра Ли ${\mathfrak {h}}$.

Поскольку Z = SU(2) ^м (0:0) для компактного комплексного многообразия, соответствующего A ^и , если следует, что ( 0 : Y = TS 0) , где Y — образ Z . С другой стороны, X = KY , так что Х = КТС (0:0) = КС (0:0) . С другой стороны, стабилизатором (0:0) в H является K , поскольку подгруппа неподвижных точек группы G ₀ G ₋₁ относительно θ равна K . Следовательно, H = KSK . В частности, H компактна и связна, поскольку компактны и , и S. K Поскольку это замкнутая подгруппа U ${\mathfrak {g}}$, это группа Ли. Он содержит K и, следовательно, его алгебра Ли содержит операторы (0, T , 0) с T * = − T . Он содержит изображение SU(2) ^м элементы ( a ,0, a *) с a в Ae _. и, следовательно , Поскольку A = KA _e и ( k ^т ) ⁻¹ ( a *) = ( ka )* , то алгебра Ли ${\mathfrak {h}}_{1}$ из H содержит ( a ,0, * ) для всех a в A. a Таким образом, он содержит ${\mathfrak {h}}$.

Они равны, поскольку все кососопряженные дифференцирования ${\mathfrak {h}}$ являются внутренними. Фактически, поскольку H нормализует ${\mathfrak {h}}$ и действие сопряжением верно, отображение ${\mathfrak {h}}_{1}$ в алгебру Ли ${\mathfrak {d}}$ производных ${\mathfrak {h}}$ верен. В частности ${\mathfrak {h}}$ имеет тривиальный центр. Чтобы показать это ${\mathfrak {h}}$ равно ${\mathfrak {h}}_{1}$, достаточно показать, что ${\mathfrak {d}}$ совпадает с ${\mathfrak {h}}$. Выводы по ${\mathfrak {h}}$ кососопряжены для скалярного произведения, заданного минус форма Киллинга. Возьмем инвариантное скалярное произведение ${\mathfrak {d}}$ задано −Tr D ₁ D ₂ . С ${\mathfrak {h}}$ инвариантен относительно ${\mathfrak {d}}$ то же самое относится и к его ортогональному дополнению. Они оба идеалы в ${\mathfrak {d}}$, поэтому скобка Ли между ними должна исчезнуть. Но тогда любой вывод в ортогональном дополнении будет иметь 0 скобку Ли с ${\mathfrak {h}}$, поэтому должно быть равно нулю. Следовательно ${\mathfrak {h}}$ является алгеброй Ли группы H . (Это также следует из подсчета размерностей, поскольку dim X = dim H − dim K .)

G изоморфна замкнутой подгруппе полной линейной группы на ${\mathfrak {g}}$.

Приведенные выше формулы для действия W и S _y показывают, что образ G ₀ G ₋₁ замкнут в GL ${\mathfrak {g}}$. Поскольку H действует транзитивно на X и стабилизатором (0:0) в G является G ₀ G ₋₁ , отсюда следует, что G = HG ₀ G _-1 . Из компактности H и замкнутости G0 _G G ₋₁ следует, что замкнута в GL ${\mathfrak {g}}$.

G — связная комплексная группа Ли с алгеброй Ли. ${\mathfrak {g}}$. комплексификация H. Это

G — замкнутая подгруппа в GL ${\mathfrak {g}}$ так что настоящая группа Лжи. Поскольку она содержит G _i с i = 0 или ±1 , ее алгебра Ли содержит ${\mathfrak {g}}$. С ${\mathfrak {g}}$ это усложнение ${\mathfrak {h}}$, нравиться ${\mathfrak {h}}$ все его дифференцирования внутренние и имеют тривиальный центр. Поскольку алгебра Ли группы G нормализует ${\mathfrak {g}}$ и o — единственный элемент, централизующий ${\mathfrak {g}}$, как и в компактном случае, алгебра Ли группы G должна быть ${\mathfrak {g}}$. (Это также можно увидеть по подсчету размерностей, поскольку dim X = dim G − dim G ₀ G ₋₁ .) Поскольку это комплексное подпространство, G является комплексной группой Ли. Оно связно, поскольку является непрерывным образом связного множества H × G ₀ G ₋₁ .С ${\mathfrak {g}}$ это усложнение ${\mathfrak {h}}$, G — комплексификация H .

Некомпактная вещественная форма

Для a в A спектральная норма || а || определяется как max α _i, если a знак равно u Σ α _i e _i с α _i ≥ 0 и u в K . Он не зависит от выбора и определяет норму на A . Пусть D — множество a с || а || < 1 и пусть H * — единичная компонента замкнутой подгруппы группы G, переносящей D на себя. Он порождается K , преобразованиями Мёбиуса в PSU(1,1) и образом SU(1,1) ^м соответствующий жордановой рамке. Пусть τ — сопряженно-линейный автоморфизм периода 2 ${\mathfrak {g}}$ определяется

$\displaystyle {\tau (a,T,b)=(-a^{*},-T^{*},-b^{*}).}$

Позволять ${\mathfrak {h}}^{*}$ — алгебра неподвижных точек τ. Это алгебра Ли группы H * . Он индуцирует автоморфизм периода 2 группы G с подгруппой неподвижных точек H * . Группа H * действует транзитивно D. на Стабилизатор — это К. 0

Некомпактная вещественная полупростая группа Ли * действует на X с открытой орбитой D. H Как и действие SU(1,1) на сфере Римана, оно имеет лишь конечное число орбит. Эту структуру орбит можно явно описать, если йордановая алгебра A проста. Пусть X ₀ ( r , s ) — подмножество A , состоящее из элементов a = u Σ α _i a _i, у которых ровно r из α _i меньше единицы и ровно s из них больше единицы. Таким образом, 0 ≤ r + s ≤ m . пересечениями орбит X ( r , s ) H * Эти с X0 _{множества являются} . Орбиты с r + s = m открыты. Существует единственная компактная орбита X (0,0) . Это шиловская граница S группы D, состоящая из элементов e ^ix с x в E , базовой евклидовой йордановой алгебре. X ( p , q ) находится в замыкании X ( r , s ) тогда и только тогда, когда p ⩽ r и q ⩽ s .В частности, S находится в замыкании каждой орбиты.

Жордановые алгебры с инволюцией

Предыдущая теория описывает неприводимые эрмитовы симметрические пространства трубчатого типа в терминах унитарных йордановых алгебр. В Лоосе (1977) общие эрмитовые симметрические пространства описываются путем систематического распространения приведенной выше теории на йордановые пары . Однако в развитии Кехера (1969) , неприводимые эрмитовые симметрические пространства не трубчатого типа описываются в терминах автоморфизмов периода два простых евклидовых йордановых алгебр. Фактически любой автоморфизм периода 2 определяет йордановую пару: общие результаты Лооса (1977) о йордановых парах могут быть адаптированы к этой ситуации.

автоморфизм периода два простой евклидовой йордановой алгебры E с комплексификацией A. Пусть τ — Существуют соответствующие разложения E = E ₊ ⊕ E ₋ и A = A ₊ ⊕ A ₋ в ±1 собственные пространства τ. Пусть V ≡ A _τ = A ₋ . Предполагается, что τ удовлетворяет дополнительному условию, согласно которому форма следа на V определяет скалярный продукт. Для a в V определите Q _τ ( a ) ограничение Q ( a ) на V. как Для пары ( a , b ) в V ² , определите B _τ ( a , b ) и R _τ ( a , b ) как ограничение B ( a , b ) и R ( a , b ) на V . Тогда V является простым тогда и только тогда, когда единственными подпространствами, инвариантными относительно всех операторов Q _τ ( a ) и R _τ ( a , b ), являются (0) и V .

Условия квазиобратимости в A показывают, что B _τ ( a , b ) обратима тогда и только тогда, когда B ( a , b ) обратима. Квазиобратное a ^б одинаково, независимо от того, вычислено ли оно A или V. в Пространство классов эквивалентности X _τ можно определить на парах V ² . Это замкнутое подпространство X , поэтому компактное. Он также имеет структуру комплексного многообразия, смоделированного на V . Структурная группа Γ( V ) может быть определена в терминах Q _τ и в качестве подгруппы она имеет унитарную структурную группу Γ _u ( V ) = Γ( V ) ∩ U( V ) с единичным компонентом K _τ . Группа K _τ является единичным компонентом подгруппы неподвижных точек τ в K . Пусть G _τ — группа биголоморфизмов X _τ, порожденная W в G _τ,0 , единичная компонента Γ( V ) и абелевы группы G _τ,−1, состоящий из S _a, и G _τ,+1, состоящий из T _b с а и б в V. ​Он действует транзитивно на X _τ со стабилизатором G _τ,0 G _τ,−1 и грамм _τ знак равно грамм _τ,0 грамм _τ,−1 грамм _τ,+1 грамм _τ,−1 . Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}_{\tau }$ голоморфных векторных полей на X _τ является 3-градуированной алгеброй Ли,

$\displaystyle {{\mathfrak {g}}_{\tau }={\mathfrak {g}}_{\tau ,+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{\tau ,0}\oplus {\mathfrak {g}}_{\tau ,-1}.}$

Ограниченные на V компоненты по-прежнему порождаются постоянными функциями в V , операторами R _τ ( a , b ) и операторами Q _τ ( a ) . Скобки Ли задаются точно по той же формуле, что и раньше.

Спектральное разложение по E _τ и V осуществляется с помощью трипотентов , т.е. элементов e таких, что e ³ = е . В этом случае f = e ² является идемпотентом в E ₊ . Существует разложение Пирса E = E ₀ ( f ) ⊕ E _{⁠ 1 / 2 ⁠} ( ж ) ⊕ E ₁ ( ж ) в собственные пространства L ( ж ) . Операторы L ( e ) и L ( f ) коммутирует, поэтому L ( e ) оставляет приведенные выше собственные пространства инвариантными. На самом деле Л ( е ) ² действует как 0 на E ₀ ( f ) , как 1/4 на E _{⁠ 1 / 2 ⁠} ( ж ) и 1 на E ₁ ( ж ) . Это индуцирует разложение Пирса E _τ = E _τ,0 ( f ) ⊕ E _{τ, ⁠ 1 / 2 ⁠} ( ж ) ⊕ E _τ,1 ( ж ) . Подпространство E _τ,1 ( f ) становится евклидовой йордановой алгеброй с единицей f при перестановке йорданового произведения x ∘ y = { x , e , y }.

трипотента e1 _, и e2 _когда называются ортогональными если все операторы [ L ( a ), L ( b )] = 0 a и b являются степенями e1 _Два и e2 _, и если соответствующие идемпотенты f1 _и , f ₂ ортогональны. В этом случае e ₁ и e ₂ порождают коммутативную ассоциативную алгебру и e ₁ e ₂ = 0 , поскольку ( e ₁ e ₂ , e ₁ e ₂ ) = ( f ₁ , f ₂ ) =0 . Пусть a находится в E _τ . Пусть F — конечномерное вещественное подпространство, натянутое на нечетные степени числа a . Коммутирующие самосопряженные операторы ( x ) L ( y ) с x , y нечетными степенями действия на F , поэтому могут быть одновременно диагонализованы ортонормированным базисом ei _L . Поскольку ( е _я ) ³ является положительным кратным e _i , при необходимости изменяя масштаб, e _i можно выбрать трипотентным. По построению они образуют ортогональное семейство. Поскольку a находится в F , его можно записать a = Σ α _i e _i, где α _i вещественный. Они называются собственными значениями a (относительно τ). Любой другой трипотент e в F имеет вид a = Σ ε _i e _i с ε _i = 0, ±1 , поэтому e _i готовы подписать минимальные трипотенты в F .

Максимальное семейство ортогональных трипотентов в E _τ называется жордановой шкалой . Трипотенты обязательно минимальны. Все жордановые фреймы имеют одинаковое количество элементов, рангом называемое E _τ . Любые два кадра связаны элементом из подгруппы структурной группы E _τ, сохраняющим форму следа. Для данной жордановой рамки ( e _i ) любой элемент a из V можно записать в виде a = u Σ α _i e _i с α _i ≥ 0 и u - оператор из K _τ . Спектральная норма a || определяется формулой а || = sup α _i и не зависит от выбора. Его квадрат равен операторной норме Q _τ ( a ) . Таким образом, V становится комплексным нормированным пространством с открытым единичным шаром D _τ .

Заметим, что для x в E оператор Q ( x ) самосопряжён, так что норма || К ( х ) ^н || = || Q ( Икс ) || ^н . Поскольку Q ( x ) ^н = Q ( х ^н ) , отсюда следует, что || х ^н || = || х || ^н . В частности, спектральная норма x = Σ α _i e _i в A является квадратным корнем из спектральной нормы x ² = Σ (а _я ) ² ф _я . Отсюда следует, что спектральная норма x одинакова, независимо от того, вычисляется ли она в A или A _τ . Поскольку K _τ сохраняет обе нормы, спектральная норма на A _τ получается ограничением спектральной нормы на A .

Для жордановой шкалы e ₁ , ..., пусть _V em e ₌ ⊕ C e _i . Существует действие SL(2, C ) ^м на V _e, продолжающееся до V . Если c = Σ γ _i e _i и b = Σ β _i e _i , то S ( c ) и T ( b ) задают действие произведения нижней и верхней унитреугольных матриц. Если a = Σ α _i e _i с α _i ≠ 0 , то соответствующее произведение диагональных матриц действует как W = B _τ ( a , e − a ) , где e = Σ e _i . В частности, диагональные матрицы дают действие ( C *) ^м и Т ^м .

Как и в случае отсутствия автоморфизма τ, существует автоморфизм θ группы G _τ . Те же рассуждения показывают, что подгруппа неподвижных точек H _τ порождается K _τ и образом SU(2) ^м . Это компактная связная группа Ли. Он действует транзитивно на X _τ ; стабилизатор (0:0) есть K _τ . Таким образом, X _τ = H _τ / K _τ — эрмитово симметрическое пространство компактного типа.

Пусть H _τ * — единичная компонента замкнутой подгруппы группы G _τ, переводящей D _τ на себя. Он порождается K _τ и образом SU(1,1) ^м соответствующий жордановой рамке. Пусть ρ — сопряженно-линейный автоморфизм периода 2 ${\mathfrak {g}}_{\tau }$ определяется

$\displaystyle {\rho (a,T,b)=(-a^{*},-T^{*},-b^{*}).}$

Позволять ${\mathfrak {h}}_{\tau }^{*}$ — алгебра неподвижных точек ρ. Это алгебра Ли группы H _τ * . Он индуцирует автоморфизм периода 2 группы G с подгруппой неподвижных точек H _τ * . Группа H _τ * действует транзитивно на D _τ . Стабилизатор0 есть K _τ * . H _τ */ K _τ — эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа, двойственное H _τ / K _τ .

Эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа имеет неограниченную реализацию, аналогичную верхней полуплоскости в C . Преобразования Мёбиуса в PSL(2, C ), соответствующие преобразованию Кэли и обратному ему, дают биголоморфизмы сферы Римана, меняющие местами единичный круг и верхнюю полуплоскость. те же преобразования Мёбиуса отображают диск D в A на трубчатую область T = E + iC , где C — открытый самодвойственный выпуклый конус квадратов в евклидовой йордановой алгебре E. Когда эрмитово симметрическое пространство имеет трубчатый тип ,

не действует Для эрмитова симметричного пространства не трубчатого типа PSL(2, C ) на X , поэтому нет аналогичного преобразования Кэли. Частичное преобразование Кэли может быть определено в этом случае для любого заданного максимального трипотента e = Σ ε _i e _i в E _τ . Он берет диск D _τ в A _τ = A _τ,1 ( f ) ⊕ A _{τ, ⁠ 1/2 ⁠ ( область} ) f Зигеля на . второго рода

В этом случае E _τ,1 ( f ) τ существует симметричная E _τ,1 ( f ) -значная билинейная форма является евклидовой йордановой алгеброй и на E _{, ⁠ 1 / 2 ⁠} ( f ) такой, что соответствующая квадратичная форма q принимает значения в своем положительном конусе C _τ . Область Зигеля состоит из пар ( x + iy , u + iv ) таких, что y − q ( u ) − q ( v ) лежит в C _τ .Квадратичная форма q на E _{τ, ⁠ 1/2 E ⁠ формулами} ( f ) и операция возведения в квадрат на τ _,1 ( f ) задаются Икс ↦ Q _τ ( Икс ) е . Положительный конус C _τ соответствует x с обратимым Q _τ ( x ) .

Примеры

Для простых евклидовых йордановых алгебр E с комплексификацией A эрмитовые симметрические пространства компактного типа X можно описать явно следующим образом, используя классификацию Картана.

Введите I _н . A — йордановая алгебра n × n комплексных матриц размера M _n ( C ) с операторным йордановым произведением x ∘ y = ⁠ 1 / 2 ⁠ ( ху + yx ) . Это комплексификация E = H _n ( C ) , евклидовой йордановой алгебры самосопряженных комплексных матриц размера n × n . В этом случае G = PSL(2 n , C ), действующий на A с $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ действуя как г ( z ) знак равно ( az + b )( cz + d ) ⁻¹ . соответствующих операторам W , Sc _b и T _. Действительно, это можно проверить непосредственно для диагональных, верхних и нижних унитреугольных матриц , Подмножество Ω соответствует матрицам g с обратимым d . Фактически рассмотрим пространство линейных отображений из C ^н до С ^{2 н} = С ^н ⊕ С ^н . Он описывается парой ( T ₁ | T ₂ ) с T _i в M _n ( C ) . Это модуль для GL(2 n , C ), действующий на целевое пространство. Существует также действие GL( n , C ), индуцированное действием на исходное пространство. Пространство инъективных отображений U инвариантно и GL( n , C ) действует на нем свободно. Фактором является грассманиан M, состоящий из n -мерных подпространств C ^{2 н} . Определить карту A ² в M путем отправки ( a , b ) в инъективное отображение ( a | I − b ^т а ). Это отображение индуцирует изоморфизм X на M .

В самом деле, пусть V — n -мерное подпространство в C ^н ⊕ С ^н . Если он находится в общем положении, т. е. он и его ортогональное дополнение имеют тривиальное пересечение с C ^н ⊕ (0) и (0) ⊕ С ^н , это график обратимого оператора T .Таким образом, изображение соответствует ( a | I − b ^т а ) с a = I и b ^т знак равно Я - Т .

В другой крайности, V и его ортогональное дополнение U можно записать в виде ортогональных сумм V = V ₁ ⊕ V ₂ , U = U ₁ ⊕ U ₂ , где V ₁ и U ₁ — пересечения с C ^н ⊕ (0) и V ₂ и U ₂ с (0) ⊕ C ^н . Тогда dim V ₁ = dim U ₂ и dim V ₂ = dim U ₁ . Более того, С ^н ⊕ (0) = V ₁ ⊕ U ₁ и (0) ⊕ C ^н знак равно V ₂ ⊕ U ₂ . Подпространство V соответствует паре ( e | I − e ), где e — ортогональная проекция C ^н ⊕ (0) на V ₁ . Итак a = e и b = I. ,

Общий случай представляет собой прямую сумму этих двух случаев. V можно записать в виде ортогональной суммы V = V ₀ ⊕ V ₁ ⊕ V ₂ , где V ₁ и V ₂ — пересечения с C. ^н ⊕ (0) и (0) ⊕ С ^н и V ₀ — их ортогональное дополнение в V . Аналогично ортогональное дополнение U к V можно записать U = U ₀ ⊕ U ₁ ⊕ U ₂ . Таким образом, С ^н ⊕ (0) = V ₁ ⊕ U ₁ ⊕ W ₁ и (0) ⊕ C ^н = V ₂ ⊕ U ₂ ⊕ W ₂ , где Wi _— ортогональные дополнения. Прямая сумма ( V ₁ ⊕ U ₁ ) ⊕ ( V ₂ ⊕ U ₂ ) ⊆ C ^н ⊕ С ^н имеет второй вид, а его ортогональное дополнение — первого рода.

Отображения W в структурной группе соответствуют h в GL( n , C ) с W ( a ) = hah ^т . Соответствующее отображение на M отправляет ( x | y ) в( чх | ( ч ^т ) ⁻¹ й ). Аналогично, карта, соответствующая Sc _, отправляет ( x | y ) в( x | y + c ), карта, соответствующая T _b, отправляет ( x | y ) в( x + b | y ) и карта, соответствующая J, отправляет( Икс | у ) до ( у | - Икс ). Отсюда следует, что отображение, соответствующее g, отправляет ( x | y ) до( топор + by | cx + dy ).С другой стороны, если y обратимо,( x | y ) эквивалентно( ху ⁻¹ | I ), откуда формула дробно-линейного преобразования.

Тип III _н . A — йордановая алгебра n × n симметричных комплексных матриц S _n ( C ) с операторным йордановым произведением x ∘ y = ⁠ 1 / 2 ⁠ ( ху + yx ) . Это комплексификация E = H _n ( R ) , евклидовой йордановой алгебры n × n симметричных вещественных матриц. На С ^{2 н} = С ^н ⊕ С ^н , определим невырожденную знакопеременную билинейную форму как ω( x ₁ ⊕ y ₁ , x ₂ ⊕ y ₂ ) знак равно x ₁ • y ₂ - y ₁ • x ₂ . В матричной записи если $J={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}$,

$\displaystyle {\omega (z_{1},z_{2})=zJz^{t}.}$

Обозначим через Sp(2n, C ) комплексную симплектическую группу , подгруппу группы GL(2n, C ), сохраняющую ω. Он состоит из g таких, что gJg ^т = J и замкнут относительно g ↦ g ^т . Если $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ принадлежит Sp(2n, C ), то

$\displaystyle {g^{-1}={\begin{pmatrix}d^{t}&-c^{t}\\-b^{t}&a^{t}\end{pmatrix}}.}$

Он имеет центр {± I }. В этом случае G = Sp(2 n , C )/{± I }, действующий на A как g ( z ) = ( az + b )( cz + d ) ⁻¹ . соответствующих операторам W , Sc _b и T _. Действительно, это можно проверить непосредственно для диагональных, верхних и нижних унитреугольных матриц , Подмножество Ω соответствует матрицам g с обратимым d . Фактически рассмотрим пространство линейных отображений из C ^н до С ^{2 н} = С ^н ⊕ С ^н . Он описывается парой ( T ₁ | T ₂ ) с T _i в M _n ( C ) . Это модуль для Sp(2 n , C ), действующий на целевое пространство. Существует также действие GL( n , C ), индуцированное действием на исходное пространство. Пространство инъективных отображений U с изотропным образом, т. е. ω обращается в нуль на образе, инвариантно. Более того, GL( n , C ) действует на нем свободно. Фактором является симплектический грассманиан M, из n -мерных лагранжевых подпространств C состоящий ^{2 н} . Определить карту A ² в M путем отправки ( a , b ) в инъективное отображение ( a | I − ba ). Это отображение индуцирует изоморфизм X на M .

В самом деле, пусть V — n -мерное лагранжево подпространство в C ^н ⊕ С ^н . Пусть U — лагранжево подпространство, V. дополняющее Если они находятся в общем положении, т.е. имеют тривиальное пересечение с C ^н ⊕ (0) и (0) ⊕ С ^н , чем V — график обратимого оператора T такой, что T ^т = Т. ​ изображение соответствует ( a | I − ba ) с a = I и b = I − T. Таким образом ,

В другой крайности, V и U можно записать в виде прямых сумм V = V ₁ ⊕ V ₂ , U = U ₁ ⊕ U ₂ , где V ₁ и U ₁ — пересечения с C ^н ⊕ (0) и V ₂ и U ₂ с (0) ⊕ C ^н . Тогда dim V ₁ = dim U ₂ и dim V ₂ = dim U ₁ . Более того, С ^н ⊕ (0) = V ₁ ⊕ U ₁ и (0) ⊕ C ^н знак равно V ₂ ⊕ U ₂ . Подпространство V соответствует паре ( e | I − e ), где e — проекция C ^н ⊕ (0) на V ₁ . Заметим, что пара ( C ^н ⊕ (0) , (0) ⊕ С ^н ) находится в двойственности относительно ω, и отождествление между ними индуцирует каноническую симметричную билинейную форму на C ^н . В частности, V ₁ отождествляется с U ₂ и V ₂ с U ₁ . При этом они V ₁ и U ₁ ортогональны относительно симметричной билинейной формы на ( C ^н ⊕ (0) . Следовательно, идемпотент e удовлетворяет e ^т = е . Итак, a = e и b = I лежат в A , а V — образ ( a | I − ba ).

Общий случай представляет собой прямую сумму этих двух случаев. V можно записать в виде прямой суммы V = V ₀ ⊕ V ₁ ⊕ V _2, где V ₁ и V ₂ — пересечения с C ^н ⊕ (0) и (0) ⊕ С ^н и V ₀ является дополнением к V . Аналогично U можно записать U = U ₀ ⊕ U ₁ ⊕ U ₂ . Таким образом, С ^н ⊕ (0) = V ₁ ⊕ U ₁ ⊕ W ₁ и (0) ⊕ C ^н = V ₂ ⊕ U ₂ ⊕ W ₂ , где Wi _— дополнения. Прямая сумма ( V ₁ ⊕ U ₁ ) ⊕ ( V ₂ ⊕ U ₂ ) ⊆ C ^н ⊕ С ^н относится ко второму роду. Имеет дополнение первого рода.

Отображения W в структурной группе соответствуют h в GL( n , C ) с W ( a ) = hah ^т . Соответствующее отображение на M отправляет ( x | y ) в( чх | ( ч ^т ) ⁻¹ й ). Аналогично, карта, соответствующая Sc _, отправляет ( x | y ) в( x | y + c ), карта, соответствующая T _b, отправляет ( x | y ) в( x + b | y ) и карта, соответствующая J, отправляет( Икс | у ) до ( у | - Икс ). Отсюда следует, что отображение, соответствующее g, отправляет ( x | y ) до( топор + by | cx + dy ).С другой стороны, если y обратимо,( x | y ) эквивалентно( ху ⁻¹ | I ), откуда формула дробно-линейного преобразования.

Тип II _2n . A — йордановая алгебра 2 n × 2 n кососимметричных комплексных матриц размера A _n ( C ) и йорданового произведения x ∘ y = - ⁠ 1 / 2 ⁠ ( x J y + y J x ) , где единица измерения равна $J={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}$. Это комплексификация E = H _n ( H ) , евклидовой йордановой алгебры самосопряженных матриц размера n × n с элементами в кватернионах. Это обсуждается в Loos (1977) и Koecher (1969) .

Тип IV _н . A — йордановая алгебра C ^н ⊕ C с жордановым произведением ( Икс ,α) ∘ ( y ,β) знак равно (β Икс + α y ,αβ + Икс • y ) . Это комплексификация евклидовой йордановой алгебры ранга 2, определяемая теми же формулами, но с вещественными коэффициентами. Это обсуждается Лоосом (1977) .

Тип VI. Комплексифицированная алгебра Альберта . Это обсуждается у Фолкнера (1972) , Лооса (1978) и Друкера (1981) .

Эрмитовые симметрические пространства компактного типа X для простых евклидовых йордановых алгебр E с автоморфизмом периода два можно явно описать следующим образом, используя классификацию Картана.

Тип I _p,q . Пусть F — пространство q, состоящее из p матриц над R, где p ≠ q . Это соответствует автоморфизму E = H _{p + q} ( R ), заданному путем сопряжения диагональной матрицей с p диагональными элементами, равными 1 и q равным -1. Без ограничения общности p можно взять большим, чем q . Структура определяетсятройное произведение xy ^т з . Пространство X можно отождествить с грассманианом p -мерного подпространства C ^{п + д} = С ^п ⊕ С ^д . Это имеет естественное вложение в C ^{2 р} = С ^п ⊕ С ^п добавив 0 в последние координаты p - q . Поскольку любое p -мерное подпространство C ^{2 р} можно представить в виде [ I − y ^т х | x ], то же самое верно и для подпространств, лежащих в C ^{п + д} . Последние p − q строк числа x должны обратиться в нуль, и отображение не изменится, если последние p − q строк числа y приравнять нулю. Таким образом, аналогичное представление справедливо для отображений, но теперь с q на p матрицами . Точно так же, как и в случае p = q , отсюда следует, что существует действие GL( p + q , C ) посредством дробно-линейных преобразований.

Тип II _n F — пространство вещественных кососимметричных m на m матриц. После удаления фактора √ -1 это соответствует автоморфизму периода 2, заданному комплексным сопряжением на E = H _n ( C ).

Тип V. F представляет собой прямую сумму двух копий чисел Кэли, рассматриваемых как матрицы 1 на 2. Это соответствует каноническому автоморфизму периода 2, определяемому любым минимальным идемпотентом в E = H ₃ ( O ).

См. также

• Мутация (алгебра)
• Симметричный конус

Ссылки

• Дайнин, С.; Макки, М.; Меллон, П. (1999), "Свойство плотности JB∗-троек", Studia Math. , 137 : 143–160, HDL : 10197/7056
• Друкер, Д. (1978), «Исключительные алгебры Ли и структура эрмитовых симметричных пространств», Mem. амер. Математика. Соц. , 16 (208)
• Друкер, Д. (1981), «Упрощенное описание исключительных ограниченных симметричных областей», Geom. Посвященная , 10 (1–4): 1–29, doi : 10.1007/bf01447407 , S2CID   120210279
• Фараут, Дж.; Кораньи, А. (1994), Анализ симметричных конусов , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853477-8
• Фолкнер, младший (1972), «Геометрия для E ₇ », Пер. амер. Математика. Соц. , 167 : 49–58, doi : 10.1090/s0002-9947-1972-0295205-4
• Фолкнер, младший (1983), «Стабильный диапазон и линейные группы для альтернативных колец», Geom. Dedicata , 14 (2): 177–188, doi : 10.1007/bf00181623 , S2CID   122923381
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, Нью-Йорк, ISBN  978-0-12-338460-7
• Джейкобсон, Натан (1968), Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 39, Американское математическое общество , Збл   0218.17010.
• Джейкобсон, Натан (1969), Лекции по квадратичным йордановым алгебрам (PDF) , Лекции по математике Института фундаментальных исследований Таты, том. 45, Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, MR   0325715 , Zbl   0253.17013
• Якобсон, Натан (1996), Конечномерные алгебры с делением над полями , Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-57029-5 , Збл   0874.16002
• Кехер, Макс (1967), "О группе рациональных отображений", Инвент. Матем. , 3 (2): 136–171, doi : 10.1007/BF01389742 , S2CID   120969584 , Zbl   0163.03002.
• Кечер, Макс (1969a), «Группы и алгебры Ли рациональных функций», Math. Z. , 109 (5): 349–392, doi : 10.1007/bf01110558 , S2CID   119934963
• Кечер, Макс (1969b), Элементарный подход к ограниченным симметричным областям , Конспект лекций, Университет Райса
• Кечер, Макс (1999) [1962], Криг, Алоис; Уолчер, Себастьян (ред.), Миннесотские заметки по йордановым алгебрам и их приложениям , Конспекты лекций по математике, том. 1710, Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-66360-7 , Збл   1072.17513
• Кехер, Макс (1971), «Жорданские алгебры и дифференциальная геометрия» (PDF) , Труды Международного конгресса математиков (Ницца, 1970), Том I , Готье-Виллар, стр. 279–283
• Кюн, Ода (1975), «Дифференциальные gleichungen в Jordantripelsystemen», Manuscripts Math. , 17 (4): 363–381, doi : 10.1007/BF01170732 , S2CID   121509094
• Лоос, Оттмар (1975), Джорданские пары , Конспекты лекций по математике, том. 460, Шпрингер-Верлаг
• Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметричные области и жордановые пары (PDF) , Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, заархивировано из оригинала (PDF) 03 марта 2016 г. , получено 12 мая 2013 г.
• Лоос, Оттмар (1978), «Однородные алгебраические многообразия, определяемые йордановыми парами», Монатш. Математика. , 86 (2): 107–129, doi : 10.1007/bf01320204 , S2CID   121527561
• Лоос, Оттмар (1979), «Об алгебраических группах, определяемых йордановыми парами» , Nagoya Math. Дж. , 74 : 23–66, doi : 10.1017/S0027763000018432
• Лоос, Оттмар (1995), «Элементарные группы и устойчивость жордановых пар», K-Theory , 9 : 77–116, doi : 10.1007/bf00965460
• МакКриммон, Кевин (1978), «Алгебры Джордана и их приложения», Bull. амер. Математика. Соц. , 84 (4): 612–627, doi : 10.1090/s0002-9904-1978-14503-0
• МакКриммон, Кевин (2004), Вкус йордановых алгебр , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489 , ISBN  978-0-387-95447-9 , MR   2014924 , Исправления
• Мейберг, К. (1972), Лекции по алгебрам и системам троек (PDF) , Университет Вирджинии
• Роос, Гай (2008), «Исключительные симметричные области», Симметрии в комплексном анализе , Contemp. Матем., вып. 468, амер. Математика. Соц., стр. 157–189.
• Спрингер, Тонни А. (1998), Жордановые алгебры и алгебраические группы , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-63632-8
• Вольф, Джозеф А. (1972), «Тонкая структура эрмитовых симметричных пространств», Бутби, Уильям; Вайс, Гвидо (ред.), Симметрические пространства (Краткие курсы, Вашингтонский университет) , Чистая и прикладная математика, том. 8, Деккер, стр. 271–357.