Jump to content

Печать домена

В математике область Зигеля или область Пятецкого-Шапиро представляет собой специальное открытое подмножество комплексного аффинного пространства , обобщающее верхнюю полуплоскость Зигеля, изученную Сигелем ( 1939 ). Они были введены Пятецким-Шапиро ( 1959 , 1969 ) при исследовании ограниченных однородных областей.

Определения [ править ]

Домен Зигеля первого рода (или первого типа, или рода 1) — это открытое подмножество C. м элементов z таких, что

где V — открытый выпуклый конус в R м . Это частные случаи трубчатых доменов . Примером может служить верхняя полуплоскость Зигеля , где V R к ( к + 1)/2 – конус положительно определенных квадратичных форм в R к и m = k ( k + 1)/2.

Домен Зигеля второго рода (или второго типа, или рода 2), также называемый доменом Пятецкого-Шапиро, представляет собой открытое подмножество C. м × C н элементов ( z , w ) таких, что

где V — открытый выпуклый конус в R м и F V -значная эрмитова форма на C н .Если n = 0, это область Зигеля первого рода.

Домен Зигеля третьего рода (или третьего типа, или рода 3) — это открытое подмножество C. м × C н × C к элементов ( z , w , t ) таких, что

и t лежит в некоторой ограниченной области

где V — открытый выпуклый конус в R м и L t V -значная полуэрмитова форма на C н .

Ограниченные однородные области [ править ]

Ограниченная область — это открытое связное ограниченное подмножество комплексного аффинного пространства. Он называется однородным, если его группа автоморфизмов действует транзитивно, и симметричным, если для каждой точки существует автоморфизм, действующий как –1 в касательном пространстве. Ограниченные симметричные области однородны.

Эли Картан классифицировал однородные ограниченные области размерностью не более 3 (с точностью до изоморфизма), показав, что все они являются эрмитовыми симметричными пространствами . В измерении 1 есть 1 (единичный шар), в измерении 2 — два (произведение двух одномерных комплексных шаров или двумерного комплексного шара). Он спросил, все ли ограниченные однородные области симметричны. Пятецкий-Шапиро ( 1959 , 1959b ) ответил на вопрос Картана, найдя область Зигеля типа 2 в 4 измерениях, которая однородна и биголоморфна ограниченной области, но не симметрична. В размерностях не менее 7 существуют бесконечные семейства однородных ограниченных областей, не симметричных.

Э. Б. Винберг, С. Г. Гиндикин и И. И. Пятецкий-Шапиро ( 1963 ) показали, что каждая ограниченная однородная область биголоморфна области Зигеля типа 1 или 2.

Вильгельм Кауп, Ёзо Мацусима и Такусиро Отиаи ( 1970 ) описали изоморфизмы областей Зигеля типов 1 и 2 и алгебру Ли автоморфизмов области Зигеля. В частности, две области Зигеля изоморфны тогда и только тогда, когда они изоморфны посредством аффинного преобразования.

j-алгебры [ править ]

Предположим, что G — алгебра Ли транзитивной связной группы аналитических автоморфизмов ограниченной однородной области X , и пусть K — подалгебра, фиксирующая точку x . Тогда почти комплексная структура j на X индуцирует эндоморфизм векторного пространства j группы G такой, что

  • дж 2 =–1 – это G / K
  • [ x , y ] + j [ jx , y ] + j [ x , jy ] – [ jx , jy ] = 0 в G / K ; это следует из того, что почти комплексная структура X интегрируема
  • Существует линейная форма ω на G такая, что ω[ jx , jy ]=ω[ x , y ] и ω[ jx , x ]>0, если x K
  • если L — компактная подалгебра в G такая, что jL K + L, то L K

j и -алгебра — это алгебра Ли G с подалгеброй K линейным отображением j, удовлетворяющими указанным выше свойствам.

Алгебра Ли связной группы Ли, действующей транзитивно в однородной ограниченной области, является j -алгеброй, что неудивительно, поскольку j -алгебры определены как обладающие очевидными свойствами такой алгебры Ли. Верно и обратное: любая j -алгебра является алгеброй Ли некоторой транзитивной группы автоморфизмов однородной ограниченной области. Это не дает соответствия 1:1 между однородными ограниченными областями и j -алгебрами, поскольку однородная ограниченная область может иметь несколько различных групп Ли, действующих на ней транзитивно.

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 475172869f528287d1737717b2039d23__1664604480
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/47/23/475172869f528287d1737717b2039d23.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Siegel domain - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)