Домен трубки

Чтобы узнать о других значениях слова «трубка» в математике, см. «Трубка (значения) § Математика» .

В математике трубчатая область — это обобщение понятия вертикальной полосы (или полуплоскости ) в комплексной плоскости на несколько комплексных переменных . Полосу можно рассматривать как набор комплексных чисел, действительная часть которых лежит в заданном подмножестве действительной линии, а мнимая часть не ограничена; аналогично трубка — это набор комплексных векторов, действительная часть которых находится в некотором заданном наборе действительных векторов, а мнимая часть не ограничена.

Трубчатые области — это области функции преобразования Лапласа нескольких действительных переменных (см. многомерное преобразование Лапласа ). Пространства Харди на трубках могут быть определены таким образом, чтобы сохранялась версия теоремы Пэли-Винера от одной переменной, и характеризует элементы пространств Харди как преобразования Лапласа функций с соответствующими свойствами интегрируемости. Трубки над выпуклыми множествами являются областями голоморфности . Пространства Харди на трубках над выпуклыми конусами имеют особенно богатую структуру, поэтому известны точные результаты относительно граничных значений H ^п функции. В математической физике трубка будущего — это область трубки, связанная с внутренней частью нулевого конуса прошлого в пространстве Минковского , и она имеет приложения в теории относительности и квантовой гравитации . Некоторые трубки над конусами поддерживают метрику Бергмана , в соответствии с которой они становятся ограниченными симметричными областями . Одним из них является полупространство Зигеля , которое является фундаментальным в арифметике .

Определение

Пусть Р ^н обозначаем вещественное координатное пространство размерности n и C ^н обозначают комплексное координатное пространство. Тогда любой элемент C ^н можно разложить на действительную и мнимую части:

$a=(z_{1},\dots ,z_{n})=(x_{1}+iy_{1},\dots ,x_{n}+iy_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})+i(y_{1},\dots ,y_{n})=x+iy.$

Пусть A — открытое подмножество R ^н . Трубка над A , обозначаемая T _A , является подмножеством C ^н состоящий из всех элементов, действительные части которых лежат в A :

$T_{A}=\{z=x+iy\in \mathbb {C} ^{n}\mid x\in A\}.$

Трубки как области голоморфности

Основная статья: Теорема о трубке Бохнера

Предположим, что A — связное открытое множество. Тогда любая комплексная функция, голоморфная в трубке T _A, однозначно продолжается до голоморфной функции на выпуклой оболочке трубки ch T _A , который тоже является трубкой, и по сути

$\operatorname {ch} \,T_{A}=T_{\operatorname {ch} \,A}.$

Поскольку любое выпуклое открытое множество является областью голоморфности ( голоморфно выпуклой ), выпуклая трубка также является областью голоморфности. Итак, голоморфная оболочка любой трубки равна ее выпуклой оболочке.

Выносливые пространства

Пусть A — открытое множество в R ^н . Пространство Харди H  ^п ( T _A ) — множество всех голоморфных функций F из T _A таких, что

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}|F(x+iy)|^{p}\,dy<\infty$

для x в A. всех

В частном случае p = 2 функции из H ² ( T _A ) можно охарактеризовать следующим образом. Пусть ƒ — комплексная функция на R ^н удовлетворяющий

$\sup _{x\in A}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(t)|^{2}e^{-4\pi x\cdot t}\,dt<\infty .$

Преобразование Фурье-Лапласа ƒ определяется формулой

$F(x+iy)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi z\cdot t}f(t)\,dt.$

Тогда F корректно определен и принадлежит H ² ( Т _А ). И наоборот, каждый элемент H ² ( T _A ) имеет такой вид.

Следствием этой характеристики является то, что H ² ( T _A ) содержит ненулевую функцию тогда и только тогда, когда A не содержит прямой линии.

Трубки над конусами

Пусть A — открытый выпуклый конус в R ^н . Это означает, что A — открытое выпуклое множество, такое, что всякий раз, когда x лежит в A , то же самое делает и весь луч от начала координат до x . Символически,

$x\in A\implies tx\in A\ \ \ {\text{for all}}\ t>0.$

Если A — конус, то элементы H ₂ ( T _A ) имеют L ² граничные пределы в том смысле, что

$\lim _{y\to 0}F(x+iy)$

существует в L ² ( Б ). Аналогичный результат имеется для H ^п ( T _A ), но требует дополнительной регулярности конуса (а именно, двойственный конус A * должен иметь непустую внутренность).

См. также

• Домен Рейнхардта
• Печать домена

Источники

• Чирка, Е.М. (2001) [Впервые опубликовано в 1994 г.], «Трубная область» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Гиббонс, GW (2000), «Голография и трубка будущего», Classical and Quantum Gravity , 17 (5): 1071–1079, arXiv : hep-th/9911027 , Bibcode : 2000CQGra..17.1071G , doi : 10.1088/0264 -9381/17/5/316 , S2CID   14045117 .
• Хёрмандер, Ларс (1990), Введение в комплексный анализ нескольких переменных , Нью-Йорк: Северная Голландия, ISBN.  0-444-88446-7 .
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9 – через Интернет-архив .
• Карминьяни, Роберт (1973). «Огибающие голоморфности и голоморфной выпуклости». Труды Американского математического общества . 179 : 415–431. дои : 10.1090/S0002-9947-1973-0316748-1 . hdl : 1911/14576 . JSTOR   1996512 . .