Конус Монжа

В математической теории уравнений в частных производных (УЧП) конус Монжа представляет собой геометрический объект, связанный с уравнением первого порядка. Он назван в честь Гаспара Монжа . Пусть в двух измерениях

$F(x,y,u,u_{x},u_{y})=0\qquad \qquad (1)$

быть УЧП для неизвестной действительной функции u от двух переменных x и y . Предположим, что это УЧП невырождено в том смысле, что $F_{u_{x}}$ и $F_{u_{y}}$ оба не равны нулю в области определения. Зафиксируйте точку ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) и рассмотрим функции решения u , которые имеют

$z_{0}=u(x_{0},y_{0}).\qquad \qquad (2)$

Каждое решение (1), удовлетворяющее (2), определяет касательную плоскость к графику

$z=u(x,y)\,$

через точку $x_{0},y_{0},z_{0}$. Поскольку пара ( u _x , u _y ), решающая (1), меняется, касательные плоскости охватывают конус в R ³ с вершиной в $x_{0},y_{0},z_{0}$, называемый конусом Монжа . Когда F квазилинейно осью , конус Монжа вырождается в одну линию, называемую Монжа . В противном случае конус Монжа является собственным конусом, поскольку нетривиальное и некоаксиальное однопараметрическое семейство плоскостей, проходящих через неподвижную точку, охватывает конус. Явно, исходное уравнение в частных производных порождает скалярную функцию на расслоении R кокасательном ³ , определенный в точке ( x , y , z ) формулой

$a\,dx+b\,dy+c\,dz\mapsto F(x,y,z,-a/c,-b/c).$

Исчезновение F определяет кривую на проективной плоскости с однородными координатами ( a : b : c ). Двойственная кривая — это кривая в проективном касательном пространстве в точке, а аффинный конус над этой кривой — это конус Монжа. Конус может иметь несколько ветвей, каждая из которых представляет собой аффинный конус над простой замкнутой кривой в проективном касательном пространстве.

В качестве базовой точки $x_{0},y_{0},z_{0}$ меняется, конус тоже меняется. Таким образом, конус Монжа является конусным полем на R ³ . Таким образом, нахождение решения уравнения (1) можно интерпретировать как нахождение поверхности, которая всюду касается конуса Монжа в этой точке. Это метод характеристик .

Этот метод обобщается на скалярные уравнения в частных производных первого порядка с n пространственными переменными; а именно,

$F\left(x_{1},\dots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)=0.$

Через каждую точку $(x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0},z^{0})$, конус Монжа (или ось в квазилинейном случае) представляет собой огибающую решений УЧП с $u(x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})=z^{0}$.

Примеры

Уравнение Эйконала

Простейшим полностью нелинейным уравнением является уравнение эйконала . Это имеет форму

$|\nabla u|^{2}=1,$

так что функция F имеет вид

$F(x,y,u,u_{x},u_{y})=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}-1.$

Двойственный конус состоит из 1-форм a dx + b dy + c dz, удовлетворяющих

$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.$

Если взять проективно, это определяет круг. Двойственная кривая также является окружностью, поэтому конус Монжа в каждой точке является собственным конусом.

См. также

• Касательный конус

Ссылки

• Дэвид Гилберт и Ричард Курант (1989). Методы математической физики, Том 2 . Уайли Интерсайенс.
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Конус Монжа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Монж, Г. (1850). Применение анализа к геометрии (на французском языке). Холостяк.