Метрика Бергмана

В дифференциальной геометрии метрика Бергмана — это эрмитова метрика , которую можно определить на некоторых типах комплексных многообразий . Он назван так потому, что произошел от ядра Бергмана , оба из которых названы в честь Стефана Бергмана .

Определение

Позволять $G\subset {\mathbb {C} }^{n}$ быть доменом и пусть $K(z,w)$ быть ядром Бергмана на Г. ​Определим эрмитову метрику на касательном расслоении $T_{z}{\mathbb {C} }^{n}$ к

$g_{ij}(z):={\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}\log K(z,z),$

для $z\in G$. Тогда длина касательного вектора $\xi \in T_{z}{\mathbb {C} }^{n}$ являетсяданный

$\left\vert \xi \right\vert _{B,z}:={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(z)\xi _{i}{\bar {\xi }}_{j}}}.$

Эта метрика называется метрикой Бергмана на G .

Длина a (кусочно) C ¹ изгиб $\gamma \colon [0,1]\to {\mathbb {C} }^{n}$ являетсязатем вычисляется как

$\ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\left\vert {\frac {\partial \gamma }{\partial t}}(t)\right\vert _{B,\gamma (t)}dt.$

Расстояние $d_{G}(p,q)$ из двух точек $p,q\in G$ затем определяется как

$d_{G}(p,q):=\inf\{\ell (\gamma )\mid {\text{ all piecewise }}C^{1}{\text{ curves }}\gamma {\text{ such that }}\gamma (0)=p{\text{ and }}\gamma (1)=q\}.$

Расстояние dG _. называется Бергмана расстоянием

Метрика Бергмана на самом деле является положительно определенной матрицей в каждой точке, если G — ограниченная область. Что еще более важно, расстояние d _G инвариантно относительно биголоморфные отображения G в другую область $G'$. Это если ф является биголоморфизмом группы G и $G'$, затем $d_{G}(p,q)=d_{G'}(f(p),f(q))$.

Ссылки

• Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.

Эта статья включает в себя материал из метрики Бергмана на PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .