Плавная схема
В алгебраической геометрии над гладкая схема полем - это схема , которая хорошо аппроксимируется аффинным пространством вблизи любой точки. Гладкость - это один из способов сделать точный понятие схемы без особых точек. Специальный случай - это понятие плавного разнообразия по полю. Гладкие схемы играют роль в алгебраической геометрии коллекторов в топологии.
Определение
[ редактировать ]Во -первых, пусть x - аффинная схема конечного типа над поле k . Эквивалентно, X имеет закрытое погружение в аффинное пространство не над K для некоторого естественного числа n . Тогда x - это закрытая подразделение, определенная некоторыми уравнениями g 1 = 0, ..., g r = 0, где каждый G I находится в полиномиальном кольце k [ x 1 , ..., x n ]. Аффинная схема x является гладкой измерения m по k, если x имеет размер, по крайней мере, M в районе каждой точки, а матрица производных (∂ g i /∂ x j ) имеет ранг, по крайней мере, n - m повсюду на x . [ 1 ] (Из этого следует, что X имеет измерение, равное М в районе каждой точки.) Гладкость не зависит от выбора погружения X в аффинное пространство.
Условие на матрице производных, как понимается, означает, что закрытое подмножество x , где все ( n - m ) × ( n - m ) несовершеннолетние матрицы производных равны пустым набору. Эквивалентно, идеал в полиномиальном кольце, генерируемом всеми G I и всеми этими несовершеннолетними, является всем полиномиальным кольцом.
В геометрических терминах матрица производных (∂ g i /∂ x j ) в точке p в x дает линейную карту f не → F. ведущий , где F - поле остатка с р . Ядро этой карты называется тангенсовым пространством Zariski of x на с . Гладкость X означает, что размер тангентного пространства Зариски равна размеру x вблизи каждой точки; В единственном месте , касательное пространство Зариски было бы больше.
В более общем плане схема x над поле k гладко по сравнению с k , если каждая точка x имеет открытый район, который является плавной аффинной схемой некоторого измерения по сравнению с k . В частности, гладкая схема над K локально имеет конечный тип .
Существует более общее представление о плавном морфизме схем, которое является примерно морфизмом с гладкими волокнами. В частности, схема x гладкая по поле k, если и только тогда, когда морфизм x → spec k гладкий.
Характеристики
[ редактировать ]Гладкая схема над поле регулярно и, следовательно, нормально . В частности, гладкая схема над полем уменьшается .
Определите разнообразие по поле k, чтобы быть интегральной схемой конечного типа над k . Тогда любая гладкая схема конечного типа по сравнению с K является конечным неразрешающим союзом плавных сортов по сравнению с k .
Для гладкого разнообразия x над сложными числами пространство x ( c ) сложных точек X представляет собой сложный коллектор , используя классическую (евклидовую) топологию. Аналогичным образом, для плавного разнообразия x над реальными числами пространство x ( r ) реальных точек является настоящим коллектором , возможно, пустым.
Для любой схемы x , которая локально имеет конечный тип над поле k , существует когерентный сног ω 1 дифференциалов на х . Схема x гладкая через k, если и только тогда, когда ω 1 это векторный пакет ранга, равный измерению x вблизи каждой точки. [ 2 ] В этом случае ω 1 называется котангентом x . Тангентный пакет гладкой схемы над K может быть определен как двойной пакет, TX = (ω 1 ) * .
Гладкость является геометрическим свойством , что означает, что для любого расширения поля схема x e k гладкая по k , если и только тогда, когда схема x e : = x × spec k spec e гладко по сравнению с e . Для идеального поля k схема x гладкая по сравнению с k и только тогда, когда X локально конечного типа над K и X является регулярной .
Общая плавность
[ редактировать ]Говорят, что схема x является общедоступной измерения n над k, если x содержит открытое плотное подмножество, которое является гладким измерением n над k . Каждое сорт над идеальным полем (в частности, алгебраически закрытое поле) является общедоступным. [ 3 ]
Примеры
[ редактировать ]- Аффинное пространство и проективное пространство - это гладкие схемы по поле k .
- Пример плавной гиперповерхности в проективном пространстве P не над K - гиперповерхность Fermat x 0 дюймовый + ... + x n дюймовый = 0, для любого положительного целого числа D , который неотверждается в k .
- Примером единственной (не гладкой) схемы над поле k является закрытая подразделение x 2 = 0 в аффинной линии a 1 над K.
- Примером единственного (не гладкого) разнообразия над K является кубидная кубическая кривая x 2 = y 3 В аффинной плоскости 2 , что гладко за пределами координат ( x , y ) = (0,0).
- 0-мерное разнообразие x над поле k имеет форму x = спецификация , где E -конечное поле расширения k . Разнообразие x гладко по сравнению с k, если и только тогда, когда E является отдельным расширением k . Таким образом, если E не разделяется по K , то x но не гладко по сравнению с K. является обычной схемой , Например, пусть k - поле рациональных функций f p ( t ) для основного числа P , и пусть e = f p ( t 1/ p ); Тогда спецификация представляет собой разнообразие измерения 0 над K которая является обычной схемой, но не гладкой по K. ,
- Сорта Шуберта в целом не гладкие.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Определение гладкости, используемое в этой статье, эквивалентно определению гладкости Гротеньека по теоремам 30.2 и теореме 30.3 В: Мацумура, Теория коммутативного кольца (1989).
- ^ Теорема 30.3, Мацумура, Теория коммутативного кольца (1989).
- ^ Лемма 1 в разделе 28 и следствие теоремы 30.5, Мацумура, Теория коммутативного кольца (1989).
Ссылки
[ редактировать ]- D. Gaitsgory Примечания о плоскостности и гладкости по адресу http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/schemes_2009/br/smoothmaps.pdf
- Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Texts Texts in Mathematics , Vol. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
- Matsumura, Hideyuki (1989), Теория коммутативных кольцов , Кембриджские исследования по продвинутой математике (2 -е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-36764-6 , MR 1011461