Дифференциал Кэлера

В математике дифференциалы Кэлера обеспечивают адаптацию дифференциальных форм к произвольным коммутативным кольцам или схемам . Это понятие было введено Эрихом Кэлером в 1930-х годах. Он был принят в качестве стандарта в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии несколько позже, когда возникла необходимость адаптировать методы исчисления и геометрии комплексных чисел к контекстам, где такие методы недоступны.

Определение

Пусть R и S — коммутативные кольца и φ : R → S — гомоморфизм колец . Важным примером является R поле , а S — с единицей алгебра над R (например, координатное кольцо аффинного многообразия ). Дифференциалы Кэлера формализуют наблюдение о том, что производные многочленов снова полиномиальны. В этом смысле дифференцирование — это понятие, которое можно выразить чисто алгебраическими терминами. Это наблюдение можно превратить в определение модуля

$\Omega _{S/R}$

дифференциалов разными, но эквивалентными способами.

Определение с использованием выводов

R - линейное дифференцирование на S — это R - модульный гомоморфизм. $d:S\to M$ к S -модулю M, удовлетворяющему правилу Лейбница $d(fg)=f\,dg+g\,df$ (из этого определения автоматически следует, что образ R находится в ядре d ). Модуль -модуль келеровых дифференциалов определяется S как $\Omega _{S/R}$ для которого существует универсальный вывод $d:S\to \Omega _{S/R}$. Как и в случае с другими универсальными свойствами , это означает, что d является наилучшим возможным выводом в том смысле, что любой другой вывод может быть получен из него композицией с гомоморфизмом S -модуля. Другими словами, композиция с d обеспечивает для каждого S -модуля M . изоморфизм S -модуля

$\operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).$

Одно из построений Ω _{S / R} и d происходит путем построения свободного S -модуля с одним формальным генератором ds для каждого s в S и наложения соотношений

• др = 0 ,
• d ( s + t ) = ds + dt ,
• d ( st ) знак равно s dt + t ds ,

для всех r в R всех s и t в S. и Универсальный вывод отправляет s в ds . Из соотношений следует, что универсальное дифференцирование является гомоморфизмом R -модулей.

Определение с использованием идеала увеличения

Другая конструкция предполагает, что I является идеалом в тензорном произведении. $S\otimes _{R}S$ определяется как ядро ​​карты умножения

${\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}$

Тогда модуль кэлеровых дифференциалов группы S можно эквивалентно определить формулой

$\Omega _{S/R}=I/I^{2},$

а универсальный вывод — это гомоморфизм d, определенный формулой

$ds=1\otimes s-s\otimes 1.$

Эта конструкция эквивалентна предыдущей, поскольку I — ядро ​​проекции

${\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}$

Таким образом мы имеем:

$S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.$

Затем $S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R$ может быть отождествлено с I по отображению, индуцированному дополнительной проекцией

$\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.$

Это отождествляет I с S -модулем, порожденным формальными генераторами ds для s в S , при условии, что d является гомоморфизмом R -модулей, который переводит каждый элемент R в ноль. Принимая частное от I ² точно навязывает правило Лейбница.

Примеры и основные факты

Для любого коммутативного кольца R дифференциалы Кэлера кольца многочленов $S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]$ являются свободным S -модулем ранга n, порожденным дифференциалами переменных:

$\Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\dots t_{n}]\,dt_{i}.$

Дифференциалы Кэлера совместимы с расширением скаляров в том смысле, что для второй R -алгебры R ′ и для $S'=R'\otimes _{R}S$, существует изоморфизм

$\Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.$

В качестве частного случая дифференциалы Кэлера совместимы с локализациями , а это означает, что если W — мультипликативное множество в S , то существует изоморфизм

$W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.$

Учитывая два кольцевых гомоморфизма $R\to S\to T$, существует короткая точная -модулей T последовательность

$\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.$

Если $T=S/I$ для некоторого идеального Я термин $\Omega _{T/S}$ исчезает, и последовательность можно продолжить слева следующим образом:

$I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to 0.$

Обобщением этих двух коротких точных последовательностей является кокасательный комплекс .

Последняя последовательность и приведенное выше вычисление для кольца полиномов позволяют вычислить кэлеровы дифференциалы конечно порожденных R -алгебр. $T=R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})$. Короче говоря, они генерируются дифференциалами переменных и имеют отношения, вытекающие из дифференциалов уравнений. Например, для одного полинома от одной переменной:

$\Omega _{(R[t]/(f))/R}\cong (R[t]\,dt\otimes R[t]/(f))/(df)\cong R[t]/(f,df/dt)\,dt.$

Дифференциалы Кэлера для схем

Поскольку дифференциалы Кэлера совместимы с локализацией, их можно построить по общей схеме, выполнив любое из двух приведенных выше определений над аффинными открытыми подсхемами и склейкой. Однако второе определение имеет геометрическую интерпретацию, которая сразу глобализируется. В этой интерпретации я представляю идеал, определяющий диагональ в произведении расслоенном Spec( S ) с самим собой над Spec( S ) → Spec( R ) . Таким образом, эта конструкция имеет более геометрический оттенок в том смысле, что понятие первой бесконечно малой окрестности диагонали таким образом фиксируется через функции, исчезающие по модулю функций, исчезающих по крайней мере до второго порядка ( в котангенс пространстве связанные понятия см. ). Более того, оно распространяется на общий морфизм схем $f:X\to Y$ установив ${\mathcal {I}}$ быть идеалом диагонали в волокнистом произведении $X\times _{Y}X$. Котангенс пучок $\Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$, вместе с выводом $d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}$ определяется аналогично предыдущему, является универсальным среди $f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}$-линейные выводы ${\mathcal {O}}_{X}$-модули. Если U — открытая аффинная подсхема X , образ которой в Y содержится в открытой аффинной подсхеме V , то кокасательный пучок ограничивается пучком на U , который также является универсальным. Следовательно, это пучок, ассоциированный с модулем кэлеровых дифференциалов для колец, лежащих в основе U и V .

Как и в случае коммутативной алгебры, существуют точные последовательности, ассоциированные с морфизмами схем. Данные морфизмы $f:X\to Y$ и $g:Y\to Z$ схем имеется точная последовательность пучков на $X$

$f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0$

Кроме того, если $X\subset Y$ является замкнутой подсхемой, заданной идеальным пучком ${\mathcal {I}}$, затем $\Omega _{X/Y}=0$ и существует точная последовательность пучков на $X$

${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \Omega _{Y/Z}|_{X}\to \Omega _{X/Z}\to 0$

Примеры

Конечные сепарабельные расширения полей

Если $K/k$ является конечным расширением поля, то $\Omega _{K/k}^{1}=0$ тогда и только тогда, когда $K/k$ является разделимым. Следовательно, если $K/k$ является конечным сепарабельным расширением поля и $\pi :Y\to \operatorname {Spec} (K)$ — гладкое многообразие (или схема), то относительная котангенс последовательность

$\pi ^{*}\Omega _{K/k}^{1}\to \Omega _{Y/k}^{1}\to \Omega _{Y/K}^{1}\to 0$

доказывает $\Omega _{Y/k}^{1}\cong \Omega _{Y/K}^{1}$.

Котангенсные модули проективного многообразия

Учитывая проективную схему $X\in \operatorname {Sch} /\mathbb {k}$, его кокасательный пучок можно вычислить путем расслоения кокасательного модуля на базовой градуированной алгебре. Например, рассмотрим сложную кривую

$\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)=\operatorname {Proj} (R)$

тогда мы можем вычислить модуль котангенса как

$\Omega _{R/\mathbb {C} }={\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy\oplus R\cdot dz}{nx^{n-1}dx+ny^{n-1}dy-nz^{n-1}dz}}$

Затем,

$\Omega _{X/\mathbb {C} }={\widetilde {\Omega _{R/\mathbb {C} }}}$

Морфизмы схем

Рассмотрим морфизм

$X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)=\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])=Y$

в $\operatorname {Sch} /\mathbb {C}$. Затем, используя первую последовательность, мы видим, что

${\widetilde {R\cdot dt}}\to {\widetilde {\frac {R\cdot dt\oplus R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy-dt}}}\to \Omega _{X/Y}\to 0$

следовательно

$\Omega _{X/Y}={\widetilde {\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy}}}$

Высшие дифференциальные формы и алгебраические когомологии де Рама

комплекса Рам

Как и прежде, исправьте карту $X\to Y$. Дифференциальные формы более высокой степени определяются как внешние степени (над ${\mathcal {O}}_{X}$),

$\Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.$

Вывод ${\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}$ естественным образом продолжается до последовательности отображений

$0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots$

удовлетворяющий $d\circ d=0.$ Это коцепный комплекс, известный как комплекс де Рама .

Комплекс де Рама имеет дополнительную мультипликативную структуру — клиновое произведение

$\Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.$

Это превращает комплекс де Рама в коммутативную дифференциально-градуированную алгебру . Она также имеет структуру коалгебры, унаследованную от структуры внешней алгебры .

когомологии де Рама

Гиперкогомологии алгебраическими когомологиями комплекса пучков де Рама называются де Рама над X Y и обозначаются через $H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)$ или просто $H_{\text{dR}}^{n}(X)$ если Y ясно из контекста. (Во многих ситуациях Y представляет собой спектр поля нулевой характеристики .) Алгебраические когомологии де Рама были введены Гротендиком (1966a) . Он тесно связан с кристаллическими когомологиями .

Как известно из когерентных когомологий других квазикогерентных пучков, вычисление когомологий де Рама упрощается, когда X = Spec S и Y = Spec R являются аффинными схемами. В этом случае, поскольку аффинные схемы не имеют высших когомологий, $H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)$ можно вычислить как когомологии комплекса абелевых групп

$0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots$

что в терминальном смысле является глобальными сечениями пучков $\Omega _{X/Y}^{r}$.

Возьмем очень конкретный пример: предположим, что $X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left[x,x^{-1}\right]$ является мультипликативной группой над $\mathbb {Q} .$ Поскольку это аффинная схема, гиперкогомологии сводятся к обычным когомологиям. Алгебраический комплекс де Рама — это

$\mathbb {Q} [x,x^{-1}]{\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} [x,x^{-1}]\,dx.$

Дифференциал d подчиняется обычным правилам исчисления, что означает $d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.$ Ядро и коядро вычисляют алгебраические когомологии де Рама, поэтому

${\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}$

и все остальные алгебраические группы когомологий де Рама равны нулю. Для сравнения: алгебраические группы когомологий де Рама $Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left[x,x^{-1}\right]$ гораздо больше, а именно:

${\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}$

Поскольку числа Бетти этих групп когомологий не соответствуют ожиданиям, кристаллическая когомология для решения этой проблемы была разработана ; он определяет теорию когомологий Вейля над конечными полями.

Теорема сравнения Гротендика

Если X — гладкое комплексное алгебраическое многообразие , то существует естественное отображение сравнения комплексов пучков.

$\Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})$

между алгебраическим комплексом де Рама и гладким комплексом де Рама, определенным в терминах (комплекснозначных) дифференциальных форм на $X^{\text{an}}$, комплексное многообразие, ассоциированное с X . Здесь, ${\textstyle (-)^{\text{an}}}$ обозначает комплексный функтор анализа. Это отображение далеко не изоморфизм. Тем не менее Гротендик (1966а) показал, что карта сравнения индуцирует изоморфизм

$H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})$

к гладким от алгебраических когомологий де Рама (и, следовательно, к сингулярным когомологиям ${\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}$ по теореме де Рама ). В частности, если X — гладкое аффинное алгебраическое многообразие, вложенное в ${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$, то включение подкомплекса алгебраических дифференциальных форм в комплекс всех гладких форм на X является квазиизоморфизмом . Например, если

$X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}$,

тогда, как показано выше, вычисление алгебраических когомологий де Рама дает явные генераторы ${\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}$ для $H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )$ и $H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )$соответственно, а все остальные группы когомологий обращаются в нуль. Поскольку X гомотопически эквивалентен кругу . , это предсказывает теорема Гротендика

Контрпримеры в сингулярном случае можно найти с особенностями, не являющимися дюбуа, такими как градуированное кольцо $k[x,y]/(y^{2}-x^{3})$ с $y$ где $\deg(y)=3$ и $\deg(x)=2$. Другие контрпримеры можно найти в алгебраических плоских кривых с изолированными особенностями, у которых числа Милнора и Тюриной не равны.

Доказательство теоремы Гротендика с использованием концепции смешанной теории когомологий Вейля было дано Цисински и Деглисом (2013) .

Приложения

Канонический делитель

Если X — гладкое многообразие над полем k , затем $\Omega _{X/k}$ является векторным расслоением (т. е. локально свободным ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль) ранга, размерности X равного . Это подразумевает, в частности, что

$\omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}$

является линейным расслоением или, что то же самое, делителем . Его называют каноническим делителем . Канонический дивизор, как выясняется, является дуализирующим комплексом и поэтому появляется в различных важных теоремах алгебраической геометрии, таких как двойственность Серра или двойственность Вердье .

Классификация алгебраических кривых

Геометрический род гладкого алгебраического многообразия X размерности d k над полем размерность определяется как

$g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).$

Для кривых это чисто алгебраическое определение согласуется с топологическим определением (для $k=\mathbb {C}$) как «число ручек» римановой поверхности, связанной с X . Существует довольно резкая трихотомия геометрических и арифметических свойств в зависимости от рода кривой, при этом g равно 0 ( рациональные кривые ), 1 ( эллиптические кривые ) и больше 1 (гиперболические римановы поверхности, включая гиперэллиптические кривые ) соответственно.

Касательное расслоение и теорема Римана – Роха

Касательное расслоение гладкого многообразия X по определению есть двойственное кокасательному пучку $\Omega _{X/k}$. Теорема Римана-Роха и ее далеко идущее обобщение, теорема Гротендика-Римана-Роха , содержат в качестве решающего ингредиента класс Тодда касательного расслоения.

Неразветвленные и гладкие морфизмы

Пучок дифференциалов связан с различными алгебро-геометрическими понятиями. Морфизм $f:X\to Y$ схем неразветвлено тогда и только тогда, когда $\Omega _{X/Y}$ равен нулю. Частным случаем этого утверждения является то, что для k поля $K:=k[t]/f$ отделим тогда и только над k тогда, когда $\Omega _{K/k}=0$, что также можно считать из приведенных выше вычислений.

Морфизм f конечного типа называется гладким морфизмом , если он плоский и если $\Omega _{X/Y}$ является локально бесплатным ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль соответствующего ранга. Вычисление $\Omega _{R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/R}$ выше показывает, что проекция из аффинного пространства $\mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)$ гладкий.

Периоды

Периоды , вообще говоря, представляют собой интегралы некоторых арифметически определенных дифференциальных форм. Самый простой пример периода: $2\pi i$, который возникает как

$\int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.$

Алгебраические когомологии де Рама используются для построения периодов следующим образом: Для алгебраического многообразия X, определенного над $\mathbb {Q} ,$ вышеупомянутая совместимость с заменой базы дает естественный изоморфизм

$H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).$

С другой стороны, правая группа когомологий изоморфна когомологиям де Рама комплексного многообразия $X^{\text{an}}$ связанный с X , обозначенный здесь $H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).$ Еще один классический результат, теорема де Рама , утверждает изоморфизм последней группы когомологий с сингулярными когомологиями (или пучковыми когомологиями) с комплексными коэффициентами: $H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )$, который по теореме об универсальных коэффициентах , в свою очередь, изоморфен $H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .$ Составление этих изоморфизмов дает два рациональных векторных пространства, которые после тензорирования с помощью $\mathbb {C}$ стать изоморфными. Выбирая базы этих рациональных подпространств (также называемых решетками), определитель матрицы замены базы представляет собой комплексное число, четко определенное с точностью до умножения на рациональное число. Такие числа являются периодами .

Алгебраическая теория чисел

В теории алгебраических чисел дифференциалы Кэлера могут использоваться для изучения ветвления в расширении полей алгебраических чисел . Если L / K — конечное расширение с кольцами целых чисел R и S соответственно, то другой идеал δ _{L / K} , который кодирует данные ветвления, является аннулятором R -модуля Ω _{R / S} :

$\delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.$

Связанные понятия

Гомологии Хохшильда — это теория гомологии ассоциативных колец, которая оказывается тесно связанной с дифференциалами Кэлера. Это связано с теоремой Хохшильда-Костанта-Розенберга, которая утверждает, что гомологии Хохшильда $HH_{\bullet }(R)$ алгебры гладкого многообразия изоморфен комплексу де Рама $\Omega _{R/k}^{\bullet }$ для $k$ поле характеристики $0$. Производное расширение этой теоремы утверждает , что гомологии Хохшильда дифференциальной градуированной алгебры изоморфны производному комплексу де-Рама.

Комплекс де Рама–Витта , грубо говоря, представляет собой расширение комплекса де Рама для кольца векторов Витта .

Ссылки

• Цисинский, Дени-Шарль; Деглиз, Фредерик (2013), «Смешанные когомологии Вейля», Успехи в математике , 230 (1): 55–130, arXiv : 0712.3291 , doi : 10.1016/j.aim.2011.10.021

• Гротендик, Александр (1966a), «О когомологиях де Рама алгебраических многообразий» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 29 (29): 95–103, doi : 10.1007/BF02684807 , ISSN   0073-8301 , MR   0199194 , S2CID   1234 34721 (письмо Майклу Атье , 14 октября 1963 г.)

• Гротендик, Александр (1966b), Письмо Джону Тейту (PDF)

• Гротендик, Александр (1968), «Кристаллы и когомологии схем де Рама» (PDF) , в Жиро, Жан; Гротендик, Александр ; Клейман, Стивен Л .; и др. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas , Дополнительные исследования в области чистой математики, том. 3, Амстердам: Северная Голландия, стр. 306–358, MR   0269663.
• Джонсон, Джеймс (1969), «Дифференциалы Кэлера и дифференциальная алгебра», Annals of Mathematics , 89 (1): 92–98, doi : 10.2307/1970810 , JSTOR   1970810 , Zbl   0179.34302
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Мацумура, Хидеюки (1986), Коммутативная теория колец , Издательство Кембриджского университета
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук , том. 322, Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-65399-8 , МР   1697859 , Збл   0956.11021
• Розенлихт, М. (1976), «О теории элементарных функций Лиувилля» (PDF) , Pacific Journal of Mathematics , 65 (2): 485–492, doi : 10.2140/pjm.1976.65.485 , Zbl   0318.12107
• Фу, Гофэн; Халас, Мирослав; Ли, Зиминг (2011), «Некоторые замечания о дифференциалах Кэлера и обычных дифференциалах в нелинейных системах управления», Systems and Control Letters , 60 : 699–703, doi : 10.1016/j.sysconle.2011.05.006

Внешние ссылки

• Заметки о p-адических алгебраических когомологиях де Рама - дает множество вычислений над характеристикой 0 в качестве мотивации.
• Тема , посвященная взаимосвязи алгебраических и аналитических дифференциальных форм.
• Дифференциалы (проект Stacks)