Другой идеал

В теории алгебраических чисел другой идеал (иногда просто другой ) определяется для измерения (возможного) отсутствия двойственности в кольце целых чисел поля алгебраических чисел K по отношению к полю следа . Затем он кодирует данные ветвления для простых идеалов кольца целых чисел. Он был введен Ричардом Дедекиндом в 1882 году.

Определение

Если OK _— кольцо целых чисел K , а tr обозначает след поля от K до поля рациональных чисел Q , то

$x\mapsto \mathrm {tr} ~x^{2}$

является формой на OK _{целой квадратичной} . Его дискриминант как квадратичная форма не обязательно должен быть +1 (на самом деле это происходит только для случая K = Q ). Определите обратное разное или кодифференцное или дополнительный модуль Дедекинда множество I x OK ∈ K что tr( xy ) является целым числом для всех из такое , , _{поскольку} то I является дробным идеалом K , содержащим OK _y . По определению, другой идеал δ _K — это обратный дробный идеал I ⁻¹ идеал ОК _{: это} .

Идеальная норма δK ​ _, равна Z порожденному дискриминантом DK _K. поля полевым идеалу

Разница элемента α из K с минимальным многочленом f определяется как δ(α) = f ′(α), если α порождает поле K (и ноль в противном случае): мы можем написать

$\delta (\alpha )=\prod \left({\alpha -\alpha ^{(i)}}\right)\$

где α ^{( я )} перебрать все корни характеристического многочлена α, кроме самого α. Другой идеал порождается дифференциалами всех целых чисел α OK _из . Это оригинальное определение Дедекинда.

Дифференциал также определен для конечной степени расширения локальных полей . Он играет основную роль в двойственности Понтрягина для p-адических полей .

Относительно разные

Относительная разница δ _{L / K} определяется аналогичным образом для расширения числовых полей L / K . Относительная норма относительной разницы тогда равна относительному дискриминанту Δ _{L / K} . В башне полей L / K / F относительные различия связаны соотношением δ _{L / F} = δ _{L / K} δ _{K / F} .

Относительная разница равна аннулятору относительного Кэлера. дифференциального модуля $\Omega _{O_{L}/O_{K}}^{1}$:

$\delta _{L/K}=\{x\in O_{L}:x\mathrm {d} y=0{\text{ for all }}y\in O_{L}\}.$

Идеальный класс относительного различного δ _{/ K всегда} является квадратом в группе классов OL , _L кольце целых L. чисел Поскольку относительный дискриминант является нормой относительного различия, он представляет собой квадрат класса в группе OK _{классов} : это квадрат класса Стейница для OL _{действительно} как OK _, -модуля.

Разветвление

Относительное различие кодирует данные ветвления расширения поля L / K . Простой идеал p группы K разветвляется в L, если факторизация p в L содержит простое число L в степени выше 1: это происходит тогда и только тогда, когда p делит относительный дискриминант Δ _{L / K} . Точнее, если

р = Р ₁ ^{и (1)} ... П _к ^{е ( к )}

является факторизацией p на простые идеалы L , то Pi _делит относительную разность δ _{L / K} тогда и только тогда, когда Pi _{разветвлен} , то есть тогда и только тогда, когда индекс ветвления e ( i ) больше 1. Точная экспонента, на которую разветвленное простое число P называется дифференциальным показателем P делит δ , и равна e - 1, если P : корректно разветвлено то есть, когда P не делит e . В случае, когда P дифференциальный сильно разветвлен, показатель лежит в диапазоне от e до e + e ν _P (e) − 1. Дифференциальный показатель степени можно вычислить по порядкам высших групп ветвления расширений Галуа: $$\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).$$

Локальные вычисления

Иное может быть определено для расширения локальных полей L / K . В этом случае мы можем считать расширение простым , порожденным примитивным элементом α, который также порождает базис степенного интеграла . Если f — минимальный полином для α, то разность порождается f' (α).

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1994). Элементы истории математики . Перевод Мелдрама, Джона . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-64767-6 . МР   1290116 .
• Дедекинд, Рихард (1882), «О дискриминантах конечных тел» , Трактаты Королевского общества наук в Геттингене , 29 (2): 1–56 . Проверено 5 августа 2009 г.
• Фрелих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1991), Алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 27, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-36664-Х , Збл   0744.11001
• Хекке, Эрих (1981), Лекции по теории алгебраических чисел , Тексты для аспирантов по математике , вып. 77, перевод Джорджа У. Брауэра; Джей Р. Голдман; при содействии Р. Коцена, Нью-Йорк – Гейдельберг – Берлин: Springer-Verlag , ISBN  3-540-90595-2 , Збл   0504.12001
• Наркевич, Владислав (1990), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е, существенно переработанное и расширенное издание), Springer-Verlag ; PWN-Польское научное издательство , ISBN  3-540-51250-0 , Збл   0717.11045
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике , том. 67, перевод Гринберга, Марвина Джея , Springer-Verlag , ISBN  0-387-90424-7 , Збл   0423.12016
• Вайс, Эдвин (1976), Алгебраическая теория чисел (2-е неизмененное издание), Chelsea Publishing , ISBN  0-8284-0293-0 , Збл   0348.12101