Норма поля

В математике норма (поля) — это особое отображение, определенное в теории поля , которое отображает элементы большего поля в подполе.

Формальное определение

Пусть K — поле , а L расширение — конечное ( и, следовательно, алгебраическое расширение ) K. поля

Поле L тогда является конечномерным векторным пространством над K .

Умножение на α , элемент L ,

$m_{\alpha }\colon L\to L$

$m_{\alpha }(x)=\alpha x$,

является K - линейным преобразованием этого векторного пространства в себя.

Норма этого ) N _{L / K} ( α определяется как определитель линейного преобразования .

Если L / K является расширением Галуа , можно вычислить норму α ∈ L как произведение всех Галуа, сопряженных к α :

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),$

где Gal( L / K ) обозначает Галуа группу L / K . (Обратите внимание, что в условиях продукта могут быть повторения.)

Для общего расширения поля L / K и ненулевого α в L пусть σ1 _{(корни ,} ( α ), ..., σn ₍ α ) — корни минимального многочлена от α над K перечисленные с кратностью и лежащие в некоторое поле расширения L ); затем

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{[L:K(\alpha )]}$.

Если L / K сепарабельна ) , то каждый корень появляется в произведении только один раз (хотя показатель степени, степень [ L : K ( α ], все равно может быть больше 1).

Примеры

Расширения квадратичных полей

Один из основных примеров норм происходит из квадратичных расширений полей. $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q}$ где $a$ — целое число без квадратов.

Тогда карта умножения на ${\sqrt {a}}$ на элементе $x+y\cdot {\sqrt {a}}$ является

${\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.$

Элемент $x+y\cdot {\sqrt {a}}$ может быть представлен вектором

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$

поскольку существует разложение в прямую сумму $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}$ как $\mathbb {Q}$-векторное пространство.

Матрица ​ ​ $m_{\sqrt {a}}$ тогда

$m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}$

и это норма $N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a$, так как это определитель этой матрицы .

Норма Q(√2)

Рассмотрим числовое поле $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$.

Группа Галуа ​ $K$ над $\mathbb {Q}$ имеет порядок $d=2$ и генерируется элементом, который отправляет ${\sqrt {2}}$ к $-{\sqrt {2}}$. Так что норма $1+{\sqrt {2}}$ является:

$(1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.$

Норму поля можно получить и без группы Галуа .

Исправить $\mathbb {Q}$-основа $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, сказать:

$\{1,{\sqrt {2}}\}$.

Затем умножение на число $1+{\sqrt {2}}$ отправляет

от 1 до $1+{\sqrt {2}}$ и

${\sqrt {2}}$ к $2+{\sqrt {2}}$.

Поэтому определитель «умножения на $1+{\sqrt {2}}$" — определитель матрицы , которая отправляет вектор

${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ (соответствующий первому базисному элементу, т. е. 1) до ${\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$,

${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ (соответствует второму базисному элементу, т.е. ${\sqrt {2}}$) к ${\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}$,

а именно:

${\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.$

Определитель равен этой матрицы −1.

p расширения корневого поля

Другой простой класс примеров — расширения полей формы $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q}$ где простая факторизация $a\in \mathbb {Q}$ не содержит $p$-й силы, для $p$ фиксированное нечетное простое число.

Карта умножения на ${\sqrt[{p}]{a}}$ элемента

${\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}$

давая матрицу

${\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

Определитель норму дает

$N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.$

Комплексные числа над действительными

Норма поля от комплексных чисел к действительным числам отправляет

х + яу

к

х ² + и ² ,

потому что Галуа группа $\mathbb {C}$ над $\mathbb {R}$ имеет два элемента,

• идентификационный элемент и
• комплексное сопряжение,

и взятие продукта дает ( x + iy )( x − iy ) = x ² + и ² .

Конечные поля

Пусть L = GF( q ^н ) — конечное расширение конечного поля K = GF( q ).

Так как L / K является расширением Галуа , то если α находится в L , то норма α является произведением всех Галуа, сопряженных с α , т.е.

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.$

В этом параметре у нас есть дополнительные свойства,

• $\forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )$
• $\forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.$

Свойства нормы

Некоторые свойства нормальной функции справедливы для любого конечного расширения.

Групповой гомоморфизм

Норма N _{L / K} : L * → K * — это групповой гомоморфизм мультипликативной группы L в мультипликативную группу K , то есть

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.$

Более того, если a в K :

$\operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.$

Если a ∈ K , то $\operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.$

Композиция с расширениями полей

Кроме того, норма хорошо себя ведет в башнях полей :

если M — конечное расширение L , то норма из M в K — это просто композиция нормы из M в L с нормой из L в K , т.е.

$\operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.$

Снижение нормы

Норму элемента в произвольном расширении поля можно свести к более простому вычислению, если степень расширения поля уже известна. Это

$N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}$

Например, для $\alpha ={\sqrt {2}}$ в расширении поля $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q}$, норма $\alpha$ является

${\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}$

поскольку степень расширения поля $L/K(\alpha )$ является $2$.

Обнаружение юнитов

Для ${\mathcal {O}}_{K}$ кольцо целых чисел поля алгебраических чисел $K$, элемент $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K}$ является единицей тогда и только тогда, когда $N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1$.

Например

$N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1$

где

$\zeta _{3}^{3}=1$.

Таким образом, любое числовое поле $K$ чьё кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{K}$ содержит $\zeta _{3}$ имеет его как единицу.

Дополнительные свойства

Норма целого алгебраического числа снова является целым числом, поскольку она равна (с точностью до знака) постоянному члену характеристического многочлена.

В алгебраической теории чисел определяются также нормы идеалов . Это делается таким образом, что если I ненулевой идеал OK _— , кольцо целых чисел числового поля K , N ( I ) — это число классов вычетов в $O_{K}/I$ – т.е. мощность этого конечного кольца . Следовательно, эта идеальная норма всегда является положительным целым числом.

Когда I — главный идеал αO _K, тогда N ( I ) равно абсолютному значению нормы Q для α , причем α — целое алгебраическое число .

См. также

• Трассировка поля
• Идеальная норма
• Форма нормы

Ссылки

• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997) [1983], Конечные поля , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 20 (второе изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-39231-4 , Збл   0866.11069
• Маллен, Гэри Л.; Панарио, Дэниел (2013), Справочник по конечным полям , CRC Press, ISBN  978-1-4398-7378-6
• Роман, Стивен (2006), Теория поля , Тексты для аспирантов по математике , том. 158 (второе изд.), Springer, глава 8, ISBN.  978-0-387-27677-9 , Збл   1172.12001
• Ротман, Джозеф Дж. (2002), Продвинутая современная алгебра , Прентис Холл, ISBN  978-0-13-087868-7