Идеальная норма

В коммутативной алгебре норма идеала является обобщением нормы элемента расширения поля . Это особенно важно в теории чисел , поскольку оно измеряет размер идеала сложного числового кольца через идеал в менее сложном кольце . Когда менее сложное числовое кольцо принимается за кольцо целых чисел Z , то норма ненулевого идеала I числового кольца R равна просто размеру конечного факторкольца R / I .

Относительная норма

Пусть A — дедекиндова область полем частных K и целым замыканием B L в конечном сепарабельном расширении области K. с (это означает, что B также является дедекиндовой областью.) Пусть ${\mathcal {I}}_{A}$ и ${\mathcal {I}}_{B}$ — идеальные группы A Жаном и B соответственно (т. е. множества ненулевых дробных идеалов ). Следуя технике, разработанной -Пьером Серром , отображение нормы

$N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}$

— единственный групповой гомоморфизм , который удовлетворяет условию

$N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}$

для всех ненулевых простых идеалов ${\mathfrak {q}}$ из B , где ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A$ является основным идеалом A , лежащим ниже ${\mathfrak {q}}$.

Альтернативно, для любого ${\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}$ можно эквивалентно определить $N_{B/A}({\mathfrak {b}})$ быть дробным идеалом A , порожденным множеством $\{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}$ полевых норм элементов B .

Для ${\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}$, у одного есть $N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}$, где $n=[L:K]$.

Таким образом, идеальная норма главного идеала совместима с полевой нормой элемента:

$N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.$

Позволять $L/K$ быть расширением Галуа числовых полей с кольцами целых чисел ${\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}$.

Тогда предыдущее применимо с $A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}$, и для любого ${\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}$ у нас есть

$N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})=K\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),$

который является элементом ${\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}$.

Обозначения $N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}$ иногда сокращается до $N_{L/K}$, злоупотребление обозначениями , совместимое также с написанием $N_{L/K}$ для нормы поля, как отмечалось выше.

В случае $K=\mathbb {Q}$ разумно использовать положительные рациональные числа . в качестве диапазона значений $N_{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\,$ с $\mathbb {Z}$ имеет тривиальную идеальную группу классов и единичную группу $\{\pm 1\}$, таким образом, каждый ненулевой дробный идеал $\mathbb {Z}$ порождается однозначно определенным положительным рациональным числом .Согласно этой конвенции относительная норма от $L$ вплоть до $K=\mathbb {Q}$ совпадает с абсолютной нормой, определенной ниже.

Абсолютная норма

Позволять $L$ быть числовым полем с кольцом целых чисел ${\mathcal {O}}_{L}$, и ${\mathfrak {a}}$ ненулевой (целый идеал ) ${\mathcal {O}}_{L}$.

Абсолютная норма ${\mathfrak {a}}$ является

$N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,$

По соглашению норма нулевого идеала принимается равной нулю.

Если ${\mathfrak {a}}=(a)$ является главным идеалом , то

$N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|$.

Норма вполне мультипликативна : если ${\mathfrak {a}}$ и ${\mathfrak {b}}$ являются идеалами ${\mathcal {O}}_{L}$, затем

$N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})$.

Таким образом, абсолютная норма однозначно продолжается до группового гомоморфизма

$N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^{\times },$

определено для всех ненулевых дробных идеалов ${\mathcal {O}}_{L}$.

Норма идеала ${\mathfrak {a}}$ может использоваться для определения верхней границы нормы поля наименьшего ненулевого элемента, который оно содержит:

всегда существует ненулевое значение $a\in {\mathfrak {a}}$ для чего

$\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),$

где

• $\Delta _{L}$ является дискриминантом ​ $L$ и
• $s$ недействительных) комплексных вложений L в — это количество пар ( $\mathbb {C}$ (количество комплексных мест L ).

См. также

• Норма поля
• Дзета-функция Дедекинда