Симметричный конус

В математике , симметричные конусы , иногда называемые областями положительности представляют собой открытые выпуклые самодвойственные конусы в евклидовом пространстве, которые имеют транзитивную группу симметрий, то есть обратимые операторы, переводящие конус в себя. По теореме Кехера-Винберга они соответствуют конусу квадратов в конечномерных вещественных евклидовых йордановых алгебрах , первоначально изученных и классифицированных Джорданом, фон Нейманом и Вигнером (1934) . Трубчатая область , связанная с симметричным конусом, представляет собой некомпактное эрмитово симметрическое пространство трубчатого типа . Все алгебраические и геометрические структуры, связанные с симметрическим пространством, естественным образом выражаются через йордановую алгебру. Остальные неприводимые эрмитовы симметрические пространства некомпактного типа соответствуют областям Зигеля второго рода. Их можно описать с помощью более сложных структур, называемых системами троек Йордана , которые обобщают йордановые алгебры без единицы. ^{[ 1 ]}

Определения

Выпуклый конус C в конечномерном скалярным произведением вещественном пространстве V со представляет собой выпуклое множество, инвариантное относительно умножения на положительные скаляры. Оно охватывает подпространство C – C , и самое большое содержащееся в нем подпространство — это C ∩ (− C ). Он охватывает все пространство тогда и только тогда, когда содержит базис. Поскольку выпуклая оболочка базиса представляет собой многогранник с непустой внутренностью, это происходит тогда и только тогда, когда C имеет непустую внутренность. Внутренняя часть в этом случае также представляет собой выпуклый конус. При этом открытый выпуклый конус совпадает с внутренностью своего замыкания, поскольку любая внутренняя точка замыкания должна лежать внутри некоторого многогранника исходного конуса. Выпуклый конус называется собственным, если его замыкание, также являющееся конусом, не содержит подпространств.

Пусть C — открытый выпуклый конус. Его двойник определяется как

\displaystyle {C^{*}=\{X:(X,Y)>0\,\,\mathrm {for} \,\,Y\in {\overline {C}}\}.}

Это также открытый выпуклый конус и ** = C. C ^{[ 2 ]} Открытый выпуклый конус C называется самодвойственным, C * = C. если Это обязательно правильно, поскольку он не содержит 0, поэтому не может содержать одновременно X и − X .

Группа автоморфизмов открытого выпуклого конуса определяется формулой

\displaystyle {\mathrm {Aut} \,C=\{g\in \mathrm {GL} (V)|gC=C\}.}

Очевидно, g лежит в Aut C тогда и только тогда, когда g переводит замыкание C на себя. Итак, Aut C — замкнутая подгруппа в GL( V ) и, следовательно, группа Ли . При этом Aut C * = (Aut C )*, где g * — сопряженный элемент g . C называется однородным, если Aut C действует транзитивно на C .

Открытый выпуклый конус C называется симметричным, если он самодвойственный и однородный.

Теоретико-групповые свойства

Если C — симметричный конус, то Aut C замкнут относительно сопряженных.
Компонент единицы Aut ₀ C действует транзитивно на C .
Стабилизаторами точек являются максимальные компактные подгруппы , все они сопряжены и исчерпывают максимальные компактные подгруппы C. Aut
В Aut ₀ C стабилизаторами точек являются максимальные компактные подгруппы , все они сопряжены и исчерпывают максимальные компактные подгруппы Aut ₀ C .
Максимальные компактные подгруппы группы Aut ₀ C связны.
Группа компонент Aut C изоморфна группе компонентов максимальной компактной подгруппы и, следовательно, конечна.
Aut C ∩ O(V) и Aut ₀ C ∩ O(V) — максимальные компактные подгруппы в Aut C и Aut ₀ C .
C, , является римановым симметрическим пространством, изоморфным G / K , где G = Aut ₀ C. естественно Инволюция Картана определяется формулой σ( g )=( g *) ⁻¹, так что K = G ∩ O(V).

Спектральное разложение в евклидовой йордановой алгебре

В своей классической статье Йордан, фон Нейман и Вигнер (1934) изучили и полностью классифицировали класс конечномерных йордановых алгебр, которые теперь называются либо евклидовыми йордановыми алгебрами , либо формально вещественными йордановыми алгебрами .

Определение

Пусть E — конечномерное вещественное векторное пространство с симметричной билинейной операцией произведения

\displaystyle {E\times E\rightarrow E,\,\,\,a,b\mapsto ab=ba,}

с единичным элементом 1 таким, что a 1 = a для a в A , и вещественным скалярным произведением ( a , b ), для которого операторы умножения L ( a ), определенные формулой L ( a ) b = ab на E, являются самосопряженными и удовлетворять соотношению Джордана

\displaystyle {L(a)L(a^{2})=L(a^{2})L(a).}

Как выяснится ниже, условие на сопряженные можно заменить эквивалентным условием, что форма следа Tr L ( ab ) определяет скалярный продукт. Форма следа имеет то преимущество, что она явно инвариантна относительно автоморфизмов йордановой алгебры, которая, таким образом, является замкнутой подгруппой O( E ) и, следовательно, компактной группой Ли. Однако в практических примерах часто легче создать внутренний продукт, для которого L ( a ) самосопряжены, чем напрямую проверить положительную определенность формы следа. (Эквивалентное исходное условие Джордана, фон Неймана и Вигнера заключалось в том, что если сумма квадратов элементов обращается в нуль, то каждый из этих элементов должен исчезнуть. ^{[ 3 ]})

Силовая ассоциативность

Из условия Жордана следует, что йордановая алгебра степенно ассоциативна , т. е. йордановая подалгебра, порожденная любым единственным элементом a в E, фактически является ассоциативной коммутативной алгеброй. Таким образом, определяя ^н индуктивно с помощью ^н = а ( а ^{п -1}), имеет место следующее соотношение ассоциативности:

\displaystyle {a^{m}a^{n}=a^{m+n},}

поэтому подалгебру можно отождествить с R [ a ], полиномами от a . Фактически поляризация жорданового соотношения — замена a на a + tb и взятие коэффициента при t — дает

\displaystyle {2L(ab)L(a)+L(a^{2})L(b)=2L(a)L(b)L(a)+L(a^{2}b).}

Из этого тождества следует, что L ( a ^м) является полиномом от L ( a ) и L ( a ²) для всех m . Фактически, предполагая результат для показателей степени ниже m ,

\displaystyle {a^{2}a^{m-1}=a^{m-1}(a^{2})=L(a^{m-1})L(a)a=L(a)L(a^{m-1})a=L(a)a^{m}=a^{m+1}.}

Установка b = а ^{м – 1} в поляризованном жордановом тождестве дает:

\displaystyle {L(a^{m+1})=2L(a^{m})L(a)+L(a^{2})L(a^{m-1})-2L(a)^{2}L(a^{m-1}),}

рекуррентное соотношение, показывающее индуктивно, что L ( a ^{м + 1}) является полиномом от L ( a ) и L ( a ²).

Следовательно, если степенная ассоциативность справедлива, когда первый показатель степени ≤ m , то она справедлива и для m +1, поскольку

\displaystyle {L(a^{m+1})a^{n}=2L(a)L(a^{m})a^{n}+L(a^{2})L(a^{m-1})a^{n}-2L(a)^{2}L(a^{m-1})a^{n}=a^{m+n+1}.}

Идемпотенты и ранг

Элемент e из E называется идемпотентом, если e ² = е . Два идемпотента называются ортогональными, если ef = 0. Это эквивалентно ортогональности относительно скалярного произведения, поскольку ( ef , ef ) = ( e , f ). В этом случае g = e + f также является идемпотентом. Идемпотент g называется примитивным или минимальным, если его нельзя записать в виде суммы ненулевых ортогональных идемпотентов. Если e ₁ , ..., em _- является идемпотентом, и порождаемая ими алгебра состоит из всех линейных комбинаций ei _{попарно ортогональные идемпотенты, то их сумма также} . Это ассоциативная алгебра. Если e — идемпотент, то 1 — e — ортогональный идемпотент. Ортогональный набор идемпотентов с суммой 1 называется полным набором или разбиением 1 . Если каждый идемпотент в множестве минимален, он называется жордановым шкалом . Поскольку количество элементов в любом ортогональном наборе идемпотентов ограничено dim E , жордановые рамки существуют. Максимальное количество элементов в жордановой рамке называется рангом r группы E .

Спектральное разложение

Спектральная теорема утверждает, что любой элемент a можно однозначно записать как

\displaystyle {a=\sum \lambda _{i}e_{i},}

где идемпотенты e _i являются разбиением 1, а λ _i , значения собственные a , вещественны и различны. Действительно, пусть = _E0 R [ a] и пусть — ограничение L ( a ) на E0 _T . T самосопряженный и имеет 1 как циклический вектор. Таким образом, состоит из коммутант T полиномов от T (или a ). По спектральной теореме для самосопряженных операторов

\displaystyle {T=\sum \lambda _{i}P_{i}}

где Pi _— ортогональные проекции на E ₀ с суммой I , а λ _i — отдельные действительные собственные значения T . Поскольку Pi _{коммутируют} с T и самосопряжены, они задаются элементами умножения ei _fi из R , таким образом, образуют разбиение 1. Отсюда следует уникальность, потому что, если является _{[a] и} разбиением 1 и a = Σ µ _я ж _я , тогда с п ( т ) = Π ( т - µ _j ) и п _я знак равно п / ( т - µ _я ), ж _я знак равно п _я ( а )/ п _я ( мкм _я ). Таким образом, f _i являются полиномами от a , и единственность следует из уникальности спектрального разложения T .

Спектральная теорема подразумевает, что ранг не зависит от жордановой рамки. Для жордановой рамки с k минимальными идемпотентами можно использовать для построения элемента a с k различными собственными значениями. Как и выше, минимальный многочлен p от a имеет степень k , а R [ a ] имеет размерность k . Его размерность также равна наибольшему k, такому что F _k ( a ) ≠ 0, где F _k ( a ) — определитель матрицы Грама :

\displaystyle {F_{k}(a)=\det _{0\leq m,n<k}(a^{m},a^{n}).}

Таким образом, ранг r — это наибольшее целое число k, для которого F _k не равен тождественному нулю на E . В этом случае, как ненулевой многочлен, F _r отличен от нуля на открытом плотном подмножестве E . обычные элементы . Любое другое a является пределом регулярных элементов a ^{( н )}. Поскольку операторная норма L ( x ) дает эквивалентную норму на E , стандартный аргумент компактности показывает, что при переходе к подпоследовательности, если необходимо, спектральные идемпотенты a ^{( н )} и их соответствующие собственные значения сходятся. Предел жордановых фреймов является йордановым фреймом, поскольку предел ненулевых идемпотентов дает ненулевой идемпотент по непрерывности операторной нормы. Отсюда следует, что каждая жорданова шкала состоит из r минимальных идемпотентов.

Если e и f — ортогональные идемпотенты, спектральная теорема показывает, что e и f — многочлены от a = e - f , так что L ( e ) и L ( f ) коммутируют. Это можно увидеть непосредственно из поляризованного тождества Жордана, из которого следует L ( e ) L ( f ) = 2 L ( e ) L ( f ) L ( e ). Коммутативность следует за взятием сопряженных.

Спектральное разложение для идемпотента

Если e ненулевой идемпотент, то собственные значения L ( e ) могут быть только 0, 1/2 и 1, поскольку взятие a = b = e в поляризованном жордановом тождестве дает

\displaystyle {2L(e)^{3}-3L(e)^{2}+L(e)=0.}

В частности, операторная норма L ( e ) равна 1, и ее след строго положителен.

Существует соответствующее ортогональное разложение по собственным пространствам E

\displaystyle {E=E_{0}(e)\oplus E_{1/2}(e)\oplus E_{1}(e),}

где для a в E L E _λ ( a ) обозначает λ-собственное пространство ( a ) . В этом разложении E ₁ ( e ) и E ₀ ( e ) являются йордановыми алгебрами с единицами e и 1 − e . Их сумма E ₁ ( e ) ⊕ E ₀ ( e ) является прямой суммой йордановых алгебр в том смысле, что любое произведение между ними равно нулю. Это централизаторная подалгебра e , состоящая из всех a таких, что L ( a ) коммутирует с L ( e ). Подпространство E1 _/2 ( e ) является модулем для централизатора e , модуля централизатора , и произведение любых двух элементов в нем лежит в подалгебре централизатора. С другой стороны, если

\displaystyle {U=8L(e)^{2}-8L(e)+I,}

тогда U самосопряженный, равный 1 на алгебре централизатора и −1 на модуле централизатора. Итак, ты ² = I и приведенные выше свойства показывают, что

\displaystyle {\sigma (x)=Ux}

определяет инволютивный автоморфизм йордановой алгебры σ группы E .

Фактически свойства йордановой алгебры и модуля следуют из замены a и b в поляризованном жордановом тождестве на e и a . Если ea = 0, это дает L ( e ) L ( a ) = 2 L ( e ) L ( a ) L ( e ). Если взять сопряженные, то L ( a ) коммутирует с L ( e ). Аналогично, если (1 - e ) a = 0, L ( a ) коммутирует с I - L ( e ) и, следовательно, L ( e ). Отсюда следуют свойства йордановой алгебры и модуля. Чтобы проверить, что произведение элементов модуля лежит в алгебре, достаточно проверить это для квадратов: но если L ( e ) a = ⁠ 1/2 еа ⁠ а то = , ⁠ 1 / 2 ⁠ а , поэтому L ( а ) ² + Л ( а ²) L ( е ) знак равно 2 L ( а ) L ( е ) L ( а ) + L ( а ²е ). Если взять сопряженные, то L ( a ²) коммутирует с L ( e ), откуда следует свойство квадратов.

Форма трассировки

Форма следа определяется

\displaystyle {\tau (a,b)=\mathrm {Tr} \,L(ab).}

Это скалярный продукт, поскольку для ненулевого a = Σ λ _i e _i ,

\displaystyle {\tau (a,a)=\sum \lambda _{i}^{2}\mathrm {Tr} \,L(e_{i})>0.}

Поляризованное тождество Жордана можно снова поляризовать, заменив a на a + tc и взяв коэффициент при t . Дальнейшая асимметризация по a и c дает:

\displaystyle {L(a(bc)-(ab)c)=[[L(a),L(b)],L(c)].}

Нанесение трассировки на обе стороны

\displaystyle {\tau (a,bc)=\tau (ba,c),}

так что L ( b ) самосопряжена для формы следа.

Простые евклидовы йордановые алгебры

Классификация простых евклидовых йордановых алгебр была выполнена Джорданом, фон Нейманом и Вигнером (1934) , а подробности об одной исключительной алгебре представлены в статье, следующей сразу за статьей Альберта (1934) . Используя разложение Пирса , они свели проблему к алгебраической задаче, включающей мультипликативные квадратичные формы, уже решенные Гурвицем . Представление здесь, в соответствии с Фараутом и Кораньи (1994) , с использованием композиционных алгебр или евклидовых алгебр Гурвица, представляет собой более короткую версию исходного вывода.

Центральное разложение

Если E — евклидова йорданова алгебра, то идеал F в E линейное подпространство, замкнутое относительно умножения на элементы из E , т. е. F инвариантно относительно операторов L ( a ) для a в E. — Если P — ортогональный проектор на F, он коммутирует с операторами L ( a ), в частности F ^⊥ = ( I − P ) E также идеал и E = F ⊕ F ^⊥. Более того, если e = P (1), то P = L ( e ). Фактически для a в E

\displaystyle {ea=ae=L(a)P(1)=P(L(a)1)=P(a),}

так что ea = a для a в F и 0 для a в F ^⊥. В частности, e и 1 − e являются ортогональными идемпотентами с L ( e ) = P и L (1 − e ) = I − P . e и 1 − e — тождества в евклидовых йордановых алгебрах F и F ^⊥. Идемпотент e является центральным в E , где центр E таких определяется как множество всех z , что L ( z ) коммутирует с L ( a ) для всех a . Он образует коммутативную ассоциативную подалгебру.

Продолжая таким же образом, E можно записать как прямую сумму минимальных идеалов

\displaystyle {E=\oplus E_{i}.}

Если P _i — проекция на E _i и e _i = P _i (1), то P _i = L ( e _i ). e i _в ортогональны сумме 1 и являются тождествами E _i . Минимальность вынуждает E _i быть простым , т. е. не иметь нетривиальных идеалов. Поскольку L ( ei ₎ коммутирует со всеми L ( a ), любой F ⊂ Ei _идеал будет инвариантным относительно E, поскольку F = e _i F . Такое разложение в прямую сумму простых евклидовых алгебр единственно. Если E = ⊕ F _j — другое разложение, то F _j = ⊕ e _i F _j . По минимальности только один из членов здесь ненулевой, поэтому равен F _j . По минимальности соответствующий E _i равен F _j , что доказывает единственность.

Тем самым классификация евклидовых йордановых алгебр сводится к классификации простых. Для простой алгебры E все скалярные произведения, для которых операторы L ( a ) самосопряжены, пропорциональны. Действительно, любое другое произведение имеет вид ( Ta , b ) для некоторого положительного самосопряженного оператора, коммутирующего с L ( a ). Любое ненулевое собственное пространство T является идеалом в A , и поэтому по простоте T должно действовать на всем E как положительный скаляр.

Список всех простых евклидовых йордановых алгебр

Пусть H _n ( R ) будет пространством вещественных симметричных n на n матриц со скалярным произведением ( a , b ) = Tr ab и жордановым произведением a ∘ b = ⁠ 1/2 + ⁠ ( ab ba ) . Тогда H _n ( R ) — простая евклидова йорданова алгебра ранга n при n ≥ 3.
Пусть H _n ( C ) — пространство комплексных самосопряженных n на n матриц со скалярным произведением ( a , b ) = Re Tr ab * и жордановым произведением a ∘ b = ⁠ 1/2 + ⁠ ( ab ba ) . Тогда Hn _C ( n ) — простая евклидова йорданова алгебра ранга . при n ≥ 3
Пусть H _n ( H ) — пространство самосопряженных n на n матриц с элементами в кватернионах , скалярное произведение ( a , b ) = Re Tr ab * и жорданово произведение a ∘ b = ⁠ 1/2 + ⁠ ( ab ba ) . Тогда H _n ( H ) — простая евклидова йорданова алгебра ранга n при n ≥ 3.
Пусть V — конечномерное действительное пространство внутреннего произведения и множество E = V ⊕ R со скалярным произведением ( u ⊕ λ, v ⊕μ) = ( u , v ) + λμ и произведением (u⊕λ)∘(v⊕μ) =( µ ты + λ v ) ⊕ [( ты , v ) + λµ]. Это евклидова йорданова алгебра ранга 2, называемая спин-фактором .
Приведенные выше примеры фактически дают все простые евклидовы йордановые алгебры, за исключением одного исключительного случая H ₃ ( O ), самосопряженные матрицы над октонионами или числами Кэли , еще одну простую евклидову йорданову алгебру ранга 3 размерности 27 (см. ниже) .

Йордановы алгебры H ₂ ( R ), H ₂ ( C ), H ₂ ( H ) и H ₂ ( O ) изоморфны спиновым факторам V ⊕ R , где V имеет размерность 2, 3, 5 и 9 соответственно: то есть , на единицу больше, чем размерность соответствующей алгебры с делением.

Разложение Пирса

Пусть E — простая евклидова йорданова алгебра со скалярным произведением, заданным формой следа τ( a )= Tr L ( a ). Доказательство того, что E имеет указанную выше форму, основано на построении аналога матричных единиц для жордановой шкалы в E . справедливы следующие свойства идемпотентов В E .

Идемпотент e минимален в E тогда и только тогда, когда E ₁ ( e ) имеет размерность единица (поэтому равен R e ). Более того, E _1/2 ( e ) ≠ (0). Фактически спектральные проекции любого элемента E ₁ ( e ) лежат в E, поэтому, если ненулевое значение должно равняться e . Если бы собственное пространство 1/2 исчезло, то E ₁ ( e ) = Re . было бы идеалом
Если e и f неортогональные минимальные идемпотенты, то существует автоморфизм σ периода 2 группы E такой, что σ e = f , так что e и f имеют один и тот же след.
Если e и f — ортогональные минимальные идемпотенты, то E _1/2 ( e ) ∩ E _1/2 ( f ) ≠ (0). Более того, существует автоморфизм σ периода 2 группы E такой, что σe = f , так что e и f имеют один и тот же след, и для любого a в этом пересечении a ² = ⁠ 1 / 2 ⁠ τ( е ) | а | ² ( е + ж ).
Все минимальные идемпотенты в E находятся в одной и той же орбите группы автоморфизмов, поэтому имеют один и тот же след τ ₀ .
Если e , f , g — три минимальных ортогональных идемпотента, то для a в E _1/2 ( e ) ∩ E _1/2 ( f ) и b в E _1/2 ( f ) ∩ E _1/2 ( g ), Л ( а ) ² б = ⁠ 1 / 8 ⁠ т ₀ | а | ² б и | аб | ² = ⁠ 1 / 8 ⁠ т ₀ | а | ²| б | ². Более того, E _1/2 ( e ) ∩ E _1/2 ( f ) ∩ E _1/2 ( g ) = (0).
Если e ₁ , ..., e _r и f ₁ , ..., f _r жордановые фреймы в E , то существует автоморфизм α такой, что α e _i = fi _. —
Если ( e _i ) — жордановая шкала и E _ii = E ₁ ( e _i ) и E _ij = E _1/2 ( e _i ) ∩ E _1/2 ( e _j ), то E — ортогональная прямая сумма E _ii и E _ij . Поскольку E простое, E _ii одномерны, а подпространства E _ij ненулевые для i ≠ j .
Если a = Σ α _i e _i для некоторой жордановой рамки ( e _i ), то L ( a ) действует как α _i на E _ii и (α _i + α _i )/2 на E _ij .

Редукция к евклидовым алгебрам Гурвица

Пусть E — простая евклидова йорданова алгебра. Из свойств разложения Пирса следует, что:

Если E имеет ранг 2, то он имеет вид V ⊕ R для некоторого внутреннего пространства V с жордановым произведением, как описано выше.
Если E имеет ранг r > 2, то существует неассоциативная алгебра с единицей A , ассоциативная, если r > 3, снабженная скалярным произведением, удовлетворяющим (ab,ab)= (a,a)(b,b), и такая, что E знак равно ЧАС _р ( А ). (Сопряжение в A определяется формулой a * = −a + 2(a,1)1.)

Такая алгебра A называется евклидовой алгеброй Гурвица . В A, если λ( a ) b = ab и ρ( a ) b = ba , то:

инволюция является антиавтоморфизмом, т.е. $(a b)*= b * a *$
$а а * = ‖ а ‖ 2 1 = а * а$
$λ(a *) = λ(a)*$ , $ρ(a *) = ρ(a)*$ , так что инволюция на алгебре соответствует взятию сопряженных
$Re(a b) = Re(b a)$ , если $Re x = (x + x *)/2 = (x, 1)1$
$Re(а б) c знак равно Re а (б c)$
$л(а 2) = λ(а) 2$ , $р(а 2) = ρ(а) 2$ , так что $A$ является альтернативной алгеброй .

По Гурвица A должен быть изоморфен R , C , H или O. теореме Первые три являются ассоциативными алгебрами с делением. Октонионы не образуют ассоциативную алгебру, поэтому H _r ( O ) может дать йордановую алгебру только для r = 3. Поскольку A ассоциативна, когда A = R , C или H , сразу же становится ясно, что H _r ( A ) является Йордановая алгебра для r ≥ 3. Отдельный аргумент, первоначально приведенный Альбертом (1934) , требуется, чтобы показать, что H ₃ ( O ) с жордановым произведением a ∘ b = ⁠ 1/2 L ( ⁠ ( ab + ba удовлетворяет тождеству Жордана [ ( , a ) L a ) ²)] = 0. Существует более позднее более прямое доказательство с использованием теоремы Фрейденталя о диагонализации, принадлежащей Фрейденталю (1951) : он доказал, что для любой матрицы в алгебре H _r ( A ) существует автоморфизм алгебры, переносящий матрицу на диагональную матрицу. с реальными записями; тогда несложно проверить, что [ L ( a ), L ( b )] = 0 для действительных диагональных матриц. ^{[ 4 ]}

Исключительные и специальные евклидовы йордановые алгебры

Исключительная евклидова йорданова алгебра E = H3 ₍ O ) называется алгеброй Альберта . Теорема Кона-Ширшова подразумевает, что он не может быть порожден двумя элементами (и единицей). Это можно увидеть непосредственно. Ибо по теореме Фрейденталя о диагонализации один элемент X можно считать диагональной матрицей с вещественными элементами, а другой Y ортогональным йордановой подалгебре, порожденной X . Если все диагональные элементы X различны, йордановая подалгебра, порожденная X и Y, порождается диагональными матрицами и тремя элементами

\displaystyle {Y_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&y_{1}\\0&y_{1}^{*}&0\end{pmatrix}},\,\,\,Y_{2}={\begin{pmatrix}0&0&y_{2}^{*}\\0&0&0\\y_{2}&0&0\end{pmatrix}},\,\,\,Y_{3}={\begin{pmatrix}0&y_{3}&0\\y_{3}^{*}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}

Непосредственно проверяется, что вещественная линейная оболочка диагональных матриц, эти матрицы и подобные им матрицы с вещественными элементами образуют единую йорданову подалгебру. Если диагональные элементы X не различны, X можно считать примитивным идемпотентом e ₁ с диагональными элементами 1, 0 и 0. Анализ, проведенный в Springer & Veldkamp (2000) , показывает, что единая йорданова подалгебра, порожденная X и Y правильный. Действительно, если 1 − e ₁ — сумма двух примитивных идемпотентов в подалгебре, то после применения при необходимости автоморфизма E подалгебра будет порождена диагональными матрицами и матрицей, ортогональной диагональным матрицам. Судя по предыдущему аргументу, это будет правильно. 1 — e1 _Если то подалгебра должна быть собственной по свойствам ранга в E. — примитивный идемпотент ,

Евклидова алгебра называется специальной , если ее центральное разложение не содержит копий алгебры Альберта. Поскольку алгебра Альберта не может быть порождена двумя элементами, отсюда следует, что евклидова йорданова алгебра, порожденная двумя элементами, является специальной. Это теорема Ширшова–Кона для евклидовых йордановых алгебр. ^{[ 5 ]}

Классификация показывает, что каждая неисключительная простая евклидова йорданова алгебра является подалгеброй некоторого H _n ( R ). Следовательно, то же самое верно и для любой специальной алгебры.

другой стороны, как показал Альберт (1934) , алгебра Альберта H3 _С ( O ) не может быть реализована как подалгебра в Hn _{) ни} ( R при каком n . ^{[ 6 ]}

Действительно, пусть π — вещественно-линейное отображение E = H ₃ ( O ) в самосопряженные операторы на V = R ^н с π( ab ) = ⁠ 1/2 б ) ⁠ (π( а )π( б ) + π( ) π( а ) и π(1) = I . Если e ₁ , e ₂ , e ₃ — диагональные минимальные идемпотенты, то Pi _{с 1 в} = π( e _i — взаимно ортогональные проекции на V на ортогональные подпространства Vi _. Если i ≠ j , элементы e _ij из E ( i , j ) и ( j , i ) записи и 0 в других местах удовлетворяют e _ij² = и _я + и j , это _Более jk _того = ⁠ 1/2 , , ⁠ e _ik если i j и k . различны Операторы T _ij равны нулю на V _k ( k ≠ i , j ) и ограничиваются инволюциями на V _i ⊕ V _j, меняя Vi _{местами} и V _j . Полагая P _ij = P _i T _ij P _j и полагая P _ii = P _i , ( P _ij ) образуют систему матричных единиц на V , т.е. P _ij * = P _ji , Σ P _ii = I и P _ij P _km знак равно δ _jk п _им . Пусть E _i и E _ij — подпространства разложения Пирса E . Для x в O положите π _ij = P _ij π(x e _ij ), рассматриваемый как оператор на V _i . Это не зависит от j и для x , y в O

\displaystyle {\pi _{ij}(xy)=\pi _{ij}(x)\pi _{ij}(y),\,\,\,\pi _{ij}(1)=I.}

Поскольку каждый x в O имеет правый обратный y с xy = 1, отображение π _ij инъективно. С другой стороны, это гомоморфизм алгебр неассоциативной алгебры O в ассоциативную алгебру End , _VI противоречие. ^{[ 7 ]}

Положительный конус в евклидовой йордановой алгебре

Определение

Когда ( e _i ) является разбиением 1 в евклидовой йордановой алгебре E , самосопряженные операторы L ( e _i ) коммутируют и происходит разложение на одновременные собственные пространства. Если a = Σ λ _i e _i, собственные значения L ( a ) имеют вид Σ ε _i λ _i равно 0, 1/2 или 1. Сами e _i дают собственные значения λ _i . В частности, элемент a имеет неотрицательный спектр тогда и только тогда, когда L ( a ) имеет неотрицательный спектр. Более того, a имеет положительный спектр тогда и только тогда, когда L ( a ) имеет положительный спектр. Ведь если a имеет положительный спектр, то a - ε1 имеет неотрицательный спектр для некоторого ε > 0.

Положительный конус C в E определяется как набор элементов a таких, что a имеет положительный спектр. Это условие эквивалентно тому, что оператор ( a ) является положительным самосопряженным оператором на E. L

C — выпуклый конус в E, поскольку положительность самосопряженного оператора T — свойство, согласно которому его собственные значения строго положительны, — эквивалентно ( Tv , v ) > 0 для всех v ≠ 0.
C является открытым, поскольку положительные матрицы открыты в самосопряженных матрицах, а L является непрерывным отображением: фактически, если наименьшее собственное значение T равно ε > 0, то T + S положителен всякий раз, когда || С || < е.
Замыкание C состоит из всех a таких, что L ( a ) неотрицательно или, что то же самое, a имеет неотрицательный спектр. Из элементарных свойств выпуклых конусов следует, что C является внутренней частью его замыкания и является собственным конусом. Элементы замыкания C — это в точности квадрат E. элементов
C самодвойственен. На самом деле элементы замыкания C представляют собой просто набор всех квадратов x ² в E двойственный конус задается всеми a такими, что ( a , x ²) > 0. С другой стороны, ( a , x ²) = ( L ( a ) x , x ), так что это эквивалентно положительности L ( a ). ^{[ 8 ]}

Квадратичное представление

Чтобы показать, что положительный конус C обобщение квадратичного действия самосопряженных матриц на самих себя, заданное формулой X ↦ YXY однороден, т. е. имеет транзитивную группу автоморфизмов, необходимо определить . Если Y обратимо и самосопряжено, это отображение обратимо и переносит положительные операторы на положительные операторы.

Для a в E определите эндоморфизм E , называемый квадратичным представлением , по формуле ^{[ 9 ]}

\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L\left(a^{2}\right).}

Заметим, что для самосопряженных матриц L ( X ) Y = ⁠ 1/2 + = ⁠ ( XY Q YX что ) ( X XYX Y , так ) .

Элемент a в E называется обратимым , если он обратим в R [ a ]. Если b обозначает обратное, то спектральное разложение a показывает, что L ( a ) и L ( b ) коммутируют.

Фактически a обратима тогда и только тогда, когда Q ( a ) обратима. В этом случае

$\displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},\,\,\,Q\left(a^{-1}\right)=Q(a)^{-1}.}$

Действительно, если Q ( a ) обратима, то она переносит R [ a ] на себя. С другой стороны, Q ( a )1 = a ², так

\displaystyle {\left(Q(a)^{-1}a\right)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^{2}=1.}

Взяв б = а ⁻¹ в поляризованном жордановом тождестве дает

\displaystyle {Q(a)L\left(a^{-1}\right)=L(a).}

Заменяя a на обратное, соотношение получается, если L ( a ) и L ( a ⁻¹) обратимы. В противном случае оно справедливо для a + ε1 с сколь угодно малым ε и, следовательно, также в пределе.

Если a и b обратимы, то обратим и Q ( a ) b , и он удовлетворяет обратному тождеству:
$\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q\left(a^{-1}\right)b^{-1}.}$

Квадратичное представление удовлетворяет следующему фундаментальному тождеству:
$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a).}$

В частности, если считать b неотрицательными степенями a , то по индукции следует, что
$\displaystyle {Q\left(a^{m}\right)=Q(a)^{m}.}$

Эти тождества легко доказать в конечномерной (евклидовой) йордановой алгебре (см. ниже) или в специальной йордановой алгебре , т. е. йордановой алгебре, определенной ассоциативной алгеброй с единицей. ^{[ 10 ]} Они справедливы в любой йордановой алгебре. Это было высказано Джейкобсоном и доказано Макдональдом (1960) : Макдональд показал, что если полиномиальное тождество от трех переменных, линейное по третьей, справедливо в любой специальной йордановой алгебре, то оно справедливо и во всех йордановых алгебрах. ^{[ 11 ]}

Фактически, для c в A и F ( a ) функции на A со значениями в End A , пусть D _c F ( a ) — производная в точке t = 0 от F ( a + tc ). Затем

\displaystyle {c=D_{c}\left(Q(a)a^{-1}\right)=2\left[(L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac))a^{-1}\right]+Q(a)D_{c}\left(a^{-1}\right)=2c+Q(a)D_{c}\left(a^{-1}\right).}

Выражение в квадратных скобках упрощается до c, поскольку L ( a ) коммутирует с L ( a ⁻¹).

Таким образом

$\displaystyle {D_{c}\left(a^{-1}\right)=-Q(a)^{-1}c.}$

Применяя D _c к L ( a ⁻¹) Q ( a ) = L ( a ) и действуя на b = c ⁻¹ урожайность

\displaystyle {(Q(a)b)\left(Q\left(a^{-1}\right)b^{-1}\right)=1.}

С другой стороны, L ( Q ( a ) b ) обратимо на открытом плотном множестве, где Q ( a ) b также должно быть обратимо с

\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q\left(a^{-1}\right)b^{-1}.}

Взяв производную D _c по переменной b в приведенном выше выражении, получим

\displaystyle {-Q(Q(a)b)^{-1}Q(a)c=-Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}c.}

Это дает фундаментальное тождество для плотного набора обратимых элементов, поэтому оно, вообще говоря, следует из непрерывности. Фундаментальное тождество подразумевает, что c = Q ( a ) b обратимо, если a и b обратимы, и дает формулу для обратного значения Q ( c ). Применение его к c дает обратное тождество в полной общности.

Наконец, из определений можно непосредственно проверить, что если u = 1 − 2 e для некоторого идемпотента e , то Q ( u ) является автоморфизмом периода 2, построенным выше для централизаторной алгебры и модуля e .

Однородность положительного конуса

Если a — обратимый оператор и b находится в положительном конусе C , то и Q ( a ) b тоже .

Доказательство этого основано на элементарных свойствах непрерывности собственных значений самосопряженных операторов. ^{[ 12 ]}

Пусть T ( t ) (α ≤ t ≤ β) — непрерывное семейство самосопряженных операторов на E с T (α) положительным и T (β) имеющим отрицательное собственное значение. Установите S ( t ) = – T ( t ) + M с M > 0, выбранным настолько большим, что S ( t ) положительна для всех t . Операторная норма || С ( т )|| является непрерывным. Оно меньше M при t = α и больше M при t = β. Итак, для некоторого α < s < β || С ( с )|| = M и существует вектор v ≠ 0 такой, что S ( s ) v = Mv . В частности, T ( s ) v = 0, так что T ( s ) не является обратимым.

Предположим, что = Q ( a ) b не лежит в C. x Пусть b ( t ) = (1 − t ) + tb при 0 ⩽ t ⩽ 1. По выпуклости b ( t ) лежит в C . Пусть x ( t ) = Q ( a ) b ( t ) и X ( t ) = L ( x ( t )). Если X ( t ) обратимо для всех t с 0 ≤ t ≤ 1, аргумент собственного значения дает противоречие, поскольку он положителен при t = 0 и имеет отрицательные собственные значения при t = 1. Таким образом, X ( s ) имеет нулевое собственное значение для некоторые s с 0 < s ≤ 1: X ( s ) w = 0 с w ≠ 0. По свойствам квадратичного представления x ( t ) обратимо для всех t . Пусть Y ( т ) = L ( Икс ( т ) ²). Это положительный оператор, поскольку x ( t ) ² в С. лежит Пусть T ( t ) = Q ( x ( t )), обратимый самосопряженный оператор в силу обратимости x ( t ). С другой стороны, Т ( т ) = 2 X ( т ) ² - Й ( т ). Итак ( T ( s ) w , w ) < 0, поскольку Y ( s ) положительно и X ( s ) w = 0. В частности, T ( s ) имеет некоторые отрицательные собственные значения. С другой стороны, оператор T (0) = Q ( a ²) = Q ( а ) ² является положительным. По аргументу собственного значения T ( t ) имеет собственное значение 0 для некоторого t с 0 < t < s , противоречие.

Отсюда следует, что линейные операторы Q ( a ) с обратимым и их обратные переводят конус C на себя. Действительно, инверсия Q ( a ) — это просто Q ( a ⁻¹). Поскольку Q ( a )1 = a ², таким образом, существует транзитивная группа симметрий:

C — симметричный конус.

Евклидова йорданова алгебра симметричного конуса

Строительство

Пусть C симметричный конус в евклидовом пространстве E. — Как и выше, Aut C обозначает замкнутую подгруппу GL( E ), переводящую C (или, что то же самое, его замыкание) на себя. Пусть G = Aut ₀ C — его единичная компонента. К = G ∩ О( Е ). Это максимальная компактная подгруппа группы G и стабилизатор точки e в C . Это связано. Группа G инвариантна относительно сопряжений. Пусть σ г =( г *) ⁻¹, автоморфизм периода 2. Таким образом, K — подгруппа неподвижных точек группы σ. Позволять ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли группы G . Таким образом, σ индуцирует инволюцию ${\mathfrak {g}}$ и, следовательно, разложение в собственном пространстве ±1

\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}

где ${\mathfrak {k}}$ , +1 собственное пространство, является алгеброй Ли K и ${\mathfrak {p}}$ является собственным пространством −1. Таким образом ${\mathfrak {p}}$ ⋅ e — аффинное подпространство размерности dim ${\mathfrak {p}}$ . Поскольку C = G / K — открытое подпространство в E , отсюда следует, что dim E = dim ${\mathfrak {p}}$ и, следовательно, ${\mathfrak {p}}$ ⋅ е знак равно Е . Для a в E пусть L ( a ) будет единственным элементом ${\mathfrak {p}}$ такой, что L ( а ) е знак равно а . Определять а ∘ б знак равно L ( а ) б . Тогда E со своей евклидовой структурой и это билинейное произведение является евклидовой йордановой алгеброй с тождеством 1 = e . Выпуклый конус C совпадает с положительным конусом E . ^{[ 13 ]}

Поскольку элементы ${\mathfrak {p}}$ самосопряжены, L ( a )* = L ( a ). Произведение коммутативно, так как [ ${\mathfrak {p}}$ , ${\mathfrak {p}}$ ] ⊆ ${\mathfrak {k}}$ уничтожает e , так что ab знак равно L ( a ) L ( b ) e знак равно L ( b ) L ( a ) e = ba . Осталось проверить тождество Жордана [ L ( a ), L ( a ²)] = 0.

Ассоциатор ) задается как [ a , b , c ] = [ L ( a , L ( c )] b . Поскольку [ L ( a ), L ( c )] лежит в ${\mathfrak {k}}$ отсюда следует, что [[ L ( a ), L ( c )], L ( b )] = L ([ a , b , c ]). Заставить обе стороны действовать по c дает результат

\displaystyle {[a,b^{2},c]=2[a,b,c]b.}

С другой стороны,

\displaystyle {([b^{2},a,b],c)=(b^{2}(ba)-b(b^{2}a),c)=-(b^{2},[a,b,c])}

и аналогично

\displaystyle {([b^{2},a,b],c)=(b,[a,b^{2},c]).}

Объединение этих выражений дает

\displaystyle {([b^{2},a,b],c)=0,}

откуда следует тождество Джордана.

Наконец, положительный конус E совпадает с C . Это зависит от того, что в любой евклидовой йордановой алгебре E

\displaystyle {Q(e^{a})=e^{2L(a)}.}

В действительности Q ( e ^а) — положительный оператор, Q ( е ^{лицом к лицу}) является однопараметрической группой положительных операторов: это следует из непрерывности для рационального t , где это является следствием поведения степеней. Итак, она имеет форму exp tX для некоторого самосопряженного оператора X . Взяв производную в точке 0, получим X = 2 L ( a ).

Следовательно, положительный конус задается всеми элементами

\displaystyle {e^{2a}=Q(e^{a})1=e^{2L(a)}1=e^{X}\cdot 1,}

с X в ${\mathfrak {p}}$ . Таким образом, положительный конус E лежит внутри C . Поскольку оба самодвойственны, они должны совпадать.

Группы автоморфизмов и форма следа

Пусть C положительный конус в простой евклидовой йордановой алгебре E. — Aut C — замкнутая подгруппа группы GL( E ), переводящая C (или ее замыкание) на себя. Пусть G = Aut ₀ C — единичный компонент Aut C и пусть K — замкнутая подгруппа группы G, фиксирующая 1. Из теоретико-групповых свойств конусов K является связной компактной подгруппой группы G и равна единичной компоненте компакта Ли Аут Э. группа Позволять ${\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {k}}$ — алгебры Ли групп G и K . G замкнута относительно взятия сопряженных, а K — подгруппа неподвижных точек автоморфизма периода 2 σ( g ) = ( g *) ⁻¹. Таким образом, K = G ∩ SO( E ). Позволять ${\mathfrak {p}}$ — собственное пространство −1 σ.

${\mathfrak {k}}$ состоит из производных E , которые кососопряжены для скалярного произведения, определенного формой следа.
[[ L ( а ), L ( c )], L ( б )] = L ([ а , б , c ]).
Если a и b находятся в E , то D = [ L ( a ), L ( b )] является производным от E , поэтому лежит в ${\mathfrak {k}}$ . Эти выводы охватывают ${\mathfrak {k}}$ .
Если a находится в C , то Q ( a лежит в G. )
C — компонент связности открытого множества обратимых элементов E, содержащий 1. Он состоит из экспонент элементов E а экспоненциальное отображение дает диффеоморфизм E на C. ,
Отображение a ↦ L ( a ) дает изоморфизм E на ${\mathfrak {p}}$ и е ^{Л ( а )} = Q ( е ^{а /2}). Это пространство таких экспонент совпадает с P — самосопряженными элементами из G. положительными
Для g в G и a в E g Q ( g ( a )) = Q ( a ) g * .

Разложение Картана

G = P ⋅ K = K ⋅ P и разложение g = pk соответствует полярному разложению в GL( E ).
Если ( e _i ) — жордановая шкала в E , то подпространство ${\mathfrak {a}}$ из ${\mathfrak {p}}$ натянутый на L ( e _i ), является максимальным абелевым в ${\mathfrak {p}}$ . А = опыт ${\mathfrak {a}}$ — абелева подгруппа операторов Q ( a ), где a Σ λ _i e _i с λ _i > 0. A замкнута в P и, следовательно, G. = Если b = Σ µ _i e _i с µ _i > 0, то Q ( ab ) = Q ( a ) Q ( b ).
${\mathfrak {p}}$ и P — объединение K- транслятов ${\mathfrak {a}}$ и А.

Разложение Ивасавы для конуса

Если E имеет разложение Пирса относительно жордановой системы координат ( e _i )

\displaystyle {E=\bigoplus _{i\leq j}E_{ij},}

затем ${\mathfrak {a}}$ диагонализуется этим разложением, при этом L ( a ) действует как (α _i + α _j )/2 на E _ij , где a = Σ α _i e _i .

Определим замкнутую подгруппу S группы G формулой

\displaystyle {S=\{g\in G|gE_{ij}\subseteq \bigoplus _{(p,q)\geq (i,j)}E_{pq}\},}

где упорядочение пар p ⩽ q является лексикографическим . S группу A , поскольку она действует как скаляр на Eij _{содержит} . Если N — замкнутая подгруппа группы S такая, что nx = x модулю ⊕ _{( p , q ) > ( i , j )} E _pq , то S = AN = NA , — полупрямое произведение с A нормализующим N. по Более того, G имеет следующее разложение Ивасавы :

\displaystyle {G=KAN.}

Для i ≠ j пусть

\displaystyle {{\mathfrak {g}}_{ij}=\{X\in {\mathfrak {g}}:[L(a),X]={1 \over 2}(\alpha _{i}-\alpha _{j})X,\,\,\,\mathrm {for} \,\,\,a=\sum \alpha _{i}e_{i}\}.}

Тогда алгебра Ли группы N равна

\displaystyle {{\mathfrak {n}}=\bigoplus _{i<j}{\mathfrak {g}}_{ij},\,\,\,\,{\mathfrak {g}}_{ij}=\{L(a)+2[L(a),L(e_{i})]:a\in E_{ij}\}.}

Взятие упорядоченных ортонормированных базисов E _ij дает базис E с использованием лексикографического порядка пар ( i , j ). Группа N нижнеунитреугольная, а ее алгебра Ли нижнетреугольная. В частности, экспоненциальное отображение является полиномиальным отображением ${\mathfrak {n}}$ на N с обратным полиномом, заданным логарифмом.

Комплексификация евклидовой йордановой алгебры

Определение комплексификации

Пусть E — евклидова йорданова алгебра. Комплексификация EC _E = a ⊕ iE имеет естественную операцию сопряжения ( a + ib )* = − ib и естественный комплексный скалярный продукт и норму. Жорданово произведение на E билинейно продолжается на EC _- , так что ( a + ib )( c + id = ( ac ) bd ) + i ( ad + bc ). Если умножение определяется формулой L ( a ) b = ab , то аксиома Йордана

\displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0}

по-прежнему выполняется путем аналитического продолжения. Действительно, приведенное выше тождество сохраняется, когда a заменяется на a + tb для t вещественного; и поскольку левая часть тогда представляет собой многочлен со значениями в End E _C, обращающимися в нуль при вещественном t , она также обращается в нуль и в комплексе t . Аналитическое продолжение также показывает, что все формулы, включающие степенную ассоциативность для одного элемента a в E , включая рекурсивные формулы для L ( a ^м), также справедливы EC _в . Поскольку для b в E , L ( b все еще самосопряжен на EC ₎ отношение L ( a *) = L ( a )* выполняется для a в EC _. , сопряженное Аналогично симметричная билинейная форма β( a , b ) = ( a , b *) удовлетворяет условию β( ab , c ) = β( b , ac ). Если скалярный продукт получается из формы следа, то β( a , b ) = Tr L ( ab ).

Для a в EC _Q квадратичное представление определяется, как и прежде, ( a ) =2 L ( a ) ² − L ( а ²). При аналитическом продолжении фундаментальное тождество остается в силе:

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),\,\,\,Q(a^{m})=Q(a)^{m}\,\,(m\geq 0).}

Элемент a в E называется обратимым , если он обратим в C [ a ]. Степенная ассоциативность показывает, что L ( a ) и L ( a ⁻¹) добираться. того, Более ⁻¹ обратим с обратным a .

Как и в E , a обратима тогда и только тогда, когда Q ( a ) обратима. В этом случае

\displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},\,\,\,Q(a^{-1})=Q(a)^{-1}.}

Действительно, что касается E , то если Q ( a ) обратима, то она переносит C [ a ] на себя, а Q ( a )1 = a ², так

\displaystyle {(Q(a)^{-1}a)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^{2}=1,}

поэтому a обратимо. И наоборот, если a обратимо, полагая b = a ⁻² в фундаментальном тождестве показывает, что Q ( a ) обратима. Замена а на а ⁻¹ и b через a тогда показывает, что его обратным является Q ( a ⁻¹). Наконец, если a и b обратимы, то обратим и c = Q ( a ) b , и он удовлетворяет обратному тождеству:

\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}

Обратимость c следует из фундаментальной формулы, которая дает Q ( c ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ). Следовательно

\displaystyle {c^{-1}=Q(c)^{-1}c=Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}b=Q(a)^{-1}b^{-1}.}

Формула

\displaystyle {Q(e^{a})=e^{2L(a)}}

также следует аналитическое продолжение.

Комплексификация группы автоморфизмов

Aut EC _— комплексификация E компактной группы Ли Aut в ( EC _GL ). Это следует из того, что алгебры Ли Aut E _C и Aut E дифференцирований комплексных и вещественных йордановых алгебр EC _{состоят из} и E . При изоморфизме, отождествляющем End с _EC комплексификацией End E , комплексные дифференцирования отождествляются с комплексификацией вещественных дифференцирований. ^{[ 14 ]}

Структурные группы

Жордановский оператор L ( a ) симметричен относительно формы следа, так что L ( a ) ^т знак равно L ( а ) для а в E _C . Группы автоморфизмов E и EC _L состоят из обратимых вещественных и комплексных линейных операторов g таких, что ( ga ) = gL ( a ) g ⁻¹ и g1 = 1. Aut E _C комплексификация Aut E. — Поскольку автоморфизм g сохраняет форму следа, g ⁻¹ = г ^т.

Структурные группы операторов E и EC _g состоят из обратимых вещественных и комплексных линейных операторов что таких,

\displaystyle {Q(ga)=gQ(a)g^{t}.}

Они образуют группы Γ( E ) и Γ( ) _причём Γ( E ) ⊂ Γ( EC _EC ).

Структурная группа замкнута при транспонировании g ↦ g ^т и сопряжено g ↦ g *.
Структурная группа содержит группу автоморфизмов. Группу автоморфизмов можно отождествить со стабилизатором 1 в структурной группе.
Если a обратимо, Q ( a ) принадлежит структурной группе.
Если g находится в структурной группе и a обратимо, ga также обратимо с ( ga ) ⁻¹ = ( г ^т) ⁻¹а ⁻¹.
Если E просто, Γ( E ) = Aut C × {±1}, Γ( E ) ∩ O( E Aut E × {±1} и единичная компонента Γ( E ) действует транзитивно на C. ) =
Γ( EC ₎ является комплексификацией Γ( E ), которая имеет алгебру Ли ${\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ .
Структурная группа Γ( EC _EC на множестве обратимых элементов в _{) действует транзитивно} .
Каждый g в Γ( ECC ₎ имеет вид g = hQ ) , ( a где h автоморфизм и обратимый .

Группа унитарной структуры Γ _u ( EC _EC ) является подгруппой Γ ( ) , _u из унитарных операторов, так что Γ ₍ EC ) _EC = Γ ( ) ₎ ∩ U ( EC _{состоящей} .

Стабилизатором 1 в Γ _u ( EC ₎ является E. Aut
Каждый g в Γ _u ( EC ₎ имеет вид g = h Q ( u ) с h в Aut E и u, в EC _{обратимым} с u * = u ⁻¹.
( ECC ₍ — комплексификация Γu ₎ ECC ) _Γ , которая имеет алгебру Ли ${\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}$ .
Множество S обратимых элементов u таких, что u * = u ⁻¹ могут быть охарактеризованы эквивалентно либо как те u, для которых L ( u ) является нормальным оператором с uu * = 1, либо как те формы exp ia для некоторого a из E. u В частности, S связен.
Единичная компонента Γ _u ( EC ₎ действует транзитивно на S
g в GL( EC _когда ) находится в унитарной структурной группе тогда и только тогда, gS = S
Учитывая жордановую шкалу ( e _i ) и v в EC _в , существует оператор u единичной компоненте Γ _u ( EC ₎ такой, что uv = Σ α _i e _i с α _i ≥ 0. Если v обратим, тогда αi _> 0.

Учитывая фрейм $(e i)$ в евклидовой йордановой алгебре E , ограниченную группу Вейля можно отождествить с группой операторов на $\oplus Re i,$ возникающих из элементов единичной компоненты Γ _u ( EC _{) ,} которые оставляют $\oplus R e я$ инвариант.

Спектральная норма

Пусть E — евклидова йорданова алгебра со скалярным произведением, заданным формой следа. Пусть ( e _i — фиксированная жорданова шкала в E. ) данного a в EC _Для выберите u в Γ _u ( EC _C ) такой, что ua = Σ α _i e _i при α _i ≥ 0. Тогда спектральная норма || а || = max α _i не зависит от любого выбора. Это норма EC _с для

\displaystyle {\|a^{*}\|=\|a\|,\,\,\,\|\{a,a^{*},a\}\|=\|a\|^{3}.}

Кроме того || а || ² задается операторной нормой Q ( a ) пространстве внутреннего произведения EC _. в Из фундаментального тождества квадратичного представления следует, что || Q ( а ) б || ≤ || а || ²|| б ||. Спектральная норма элемента a определяется через C [ a ], поэтому зависит только от a , а не от конкретной евклидовой йордановой алгебры, в которой она вычисляется. ^{[ 15 ]}

Компакт S — это множество крайних точек замкнутого единичного шара || х || ≤ 1. Каждый u в S имеет норму один. Более того, если u = e ^это и v = е ^а, то || уф || ≤ 1. Действительно, по теореме Кона–Ширшова йорданова подалгебра с единицей в E, порожденная a и b, является специальной. Неравенство легко установить в неисключительных простых евклидовых йордановых алгебрах, поскольку каждая такая йорданова алгебра и ее комплексификация могут быть реализованы как подалгебра некоторого H _n ( R ) и ее комплексификации H _n ( C ) ⊂ M _n ( C ) . Спектральная норма в Hn _. ( C ) — это обычная операторная норма В этом случае для унитарных матриц U и V из M _n ( C ), очевидно, || ⁠ 1 / 2 ⁠ ( УФ + ВУ )|| ⩽ 1. Таким образом, неравенство следует в любой специальной евклидовой йордановой алгебре, а значит, и вообще. ^{[ 16 ]}

С другой стороны, по Крейна–Милмана замкнутый единичный шар является (замкнутой) выпуклой оболочкой S теореме . ^{[ 17 ]} Отсюда следует, что || Л ( ты )|| = 1 в операторной норме, соответствующей либо норме скалярного произведения, либо спектральной норме. Следовательно || Л ( а )|| ≤ || а || для всех a , так что спектральная норма удовлетворяет

\displaystyle {\|ab\|\leq \|a\|\cdot \|b\|.}

Отсюда следует, что — _EC жорданова C*-алгебра . ^{[ 18 ]}

Комплексные простые йордановые алгебры

Комплексификация простой евклидовой йордановой алгебры — это простая комплексная йорданова алгебра, которая также является сепарабельной , т. е. ее следовая форма невырождена. И наоборот, используя существование вещественной формы алгебры Ли структурной группы, можно показать, что каждая комплексная сепарабельная простая йорданова алгебра является комплексификацией простой евклидовой йордановой алгебры. ^{[ 19 ]}

Чтобы проверить, что комплексификация простой евклидовой йордановой алгебры E не имеет идеалов, заметим, что если F — идеал в E ^С тоже то и F ^⊥, ортогональное дополнение к норме следа. Как и в реальном случае, J = F ^⊥ ∩ F должно быть равно (0). Ведь свойство ассоциативности формы следа показывает, что F ^⊥ является идеалом и что ab = 0, если a и b лежат в J . Следовательно, J — идеал. Но если z находится в J , L ( z ) переводит в _EC J , а J в (0). Следовательно, Tr L ( z ) = 0. Поскольку J — идеал и форма следа вырождена, это заставляет z = 0. Отсюда следует, EC _что = F ⊕ F ^⊥. Если P — соответствующий проектор на F , он коммутирует с операторами L ( a ) и F ^⊥ знак равно ( я - п ) E _C . также является идеалом и E = F ⊕ F ^⊥. Более того, если e = P (1), то P = L ( e ). Фактически для a в E

\displaystyle {ea=ae=L(a)P(1)=P(L(a)1)=P(a),}

так что ea = a для a в F и 0 для a в F ^⊥. В частности, e и 1 − e являются ортогональными центральными идемпотентами с L ( e ) = P и L (1 − e ) = I − P .

что центр EC _{Итак, простота следует из того ,} является комплексификацией центра E .

Группы симметрии ограниченной области и трубчатой области

Согласно «элементарному подходу» к ограниченному симметричному пространству Кехера, ^{[ 20 ]} Эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа может быть реализовано в комплексификации евклидовой йордановой алгебры E либо как открытый единичный шар для спектральной нормы, ограниченная область, либо как область открытой трубки $T = E + iC$ , где C — положительная в E. открытый конус В простейшем случае, когда E = R , комплексификацией E является просто C , ограниченная область соответствует открытому единичному диску, а трубчатая область — верхней полуплоскости. Оба этих пространства имеют транзитивные группы биголоморфизмов, заданные преобразованиями Мёбиуса, соответствующие матрицам из $SU(1,1)$ или $SL(2, R)$ . Оба они лежат в сфере Римана $C \cup {\infty$ }, стандартной одноточечной компактификации C . Более того, все группы симметрии представляют собой частные случаи преобразований Мёбиуса, соответствующие матрицам из $SL(2, C)$ . Эта комплексная группа Ли и ее максимальная компактная подгруппа $SU(2)$ действуют транзитивно на сфере Римана. Группы также являются алгебраическими. Они выделяют порождающие подгруппы и имеют явное описание в терминах образующих и отношений. Более того, преобразование Кэли дает явное преобразование Мёбиуса открытого диска в верхнюю полуплоскость. Все эти особенности распространяются на произвольные евклидовы йордановые алгебры. ^{[ 21 ]} Компактификация и комплексная группа Ли описаны в следующем разделе и соответствуют двойственному эрмитовому симметричному пространству компактного типа. В этом разделе описываются только симметрии между ограниченной областью и трубчатой областью.

Жордановые фреймы предоставляют один из основных йордановых алгебраических методов описания групп симметрии. порождает произведение копий R и C. Каждый жордановый кадр Группы симметрии соответствующих открытых областей и компактификаций — полидисков и полисфер — можно вывести из случая единичного диска, верхней полуплоскости и сферы Римана. Все эти симметрии распространяются на большую йорданову алгебру и ее компактификацию. Анализ также можно свести к этому случаю, поскольку все точки комплексной алгебры (или ее компактификации) лежат в образе полидиска (или полисферы) под унитарной структурной группой.

Определения

Пусть $E$ — евклидова йорданова алгебра с $A = EC комплексификацией = E + iE$ .

Единичный шар или диск D в $A$ — это просто выпуклое ограниченное открытое множество элементов. $такой$ || а || < 1, т.е. единичный шар спектральной нормы.

Трубчатая область в A $—$ это неограниченное выпуклое открытое множество $T = E + iC$ , где C — открытый положительный конус в $E.$ T

Преобразования Мёбиуса

Группа SL(2, ) действует преобразованиями Мёбиуса на сфере Римана C ∪ {∞}, одноточечной компактификации C C . Если g в SL(2, C ) задан матрицей

\displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},}

затем

\displaystyle {g(z)=(\alpha z+\beta )(\gamma z+\delta )^{-1}.}

Аналогично группа SL(2, R ) действует преобразованиями Мёбиуса на окружности R ∪ {∞}, одноточечной компактификации R .

Пусть k = R или C. Тогда SL(2, k порождается тремя подгруппами нижних и верхних унитреугольных матриц L и U' и диагональными матрицами D. ) Он также порождается нижними (или верхними) унитреугольными матрицами, диагональными матрицами и матрицей

\displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}

Матрица J соответствует преобразованию Мёбиуса $j (z) = - z -1$ и можно написать

\displaystyle {J={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}.}

Преобразования Мёбиуса, фиксирующие ∞, представляют собой не что иное, как верхнетреугольные матрицы B = UD = DU . Если g не фиксирует ∞, он отправляет ∞ в конечную точку a . Но тогда g можно составить с верхней унитреугольной матрицей, чтобы отправить a в 0, а затем с J, чтобы отправить 0 в бесконечность. Этот аргумент дает один из простейших примеров разложения Брюа :

\displaystyle {\mathbf {SL} (2,k)=\mathbf {B} \cup \mathbf {B} \cdot J\cdot \mathbf {B} ,}

двойное разложение смежных классов $SL(2, k)$ . На самом деле объединение непересекающееся, и точнее его можно записать как

\displaystyle {\mathbf {SL} (2,k)=\mathbf {B} \cup \mathbf {B} \cdot J\cdot \mathbf {U} ,}

где произведение, входящее во второй член, является прямым.

Теперь позвольте

\displaystyle {T(\beta )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}.}

Затем

\displaystyle {{\begin{pmatrix}\alpha &0\\0&\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}=JT(\alpha ^{-1})JT(\alpha )JT(\alpha ^{-1}).}

Отсюда следует, что $SL(2, k)$ порождается группой операторов $T (β)$ и J при соблюдении следующих соотношений:

$β \mapsto T (β)$ — аддитивный гомоморфизм
$α \mapsto D (α) = JT (α -1) JT (α) JT (α -1)$ является мультипликативным гомоморфизмом
$Д (-1) = Дж$
$Д (а) Т (б) Д (а) -1 = Т (а 2 б)$
$ДД (α) Дж -1 = Д (а) -1$

Последнее соотношение следует из определения $D (α)$ . Генератор и приведенные выше соотношения фактически дают представление $SL(2, k)$ . Действительно, рассмотрим свободную группу Φ, порожденную J и $T (β)$ с J порядка 4 и ее центральным квадратом. В него входят все продукты $Т (β 1) JT (β 2) JT (β 3) J ... T (β m) J$ для $m \geq 0$ . Существует естественный гомоморфизм Φ на $SL(2, k)$ . Его ядро содержит нормальную подгруппу ∆, порожденную приведенными выше соотношениями. Итак, существует естественный гомоморфизм Φ/Δ на $SL(2, k)$ . Чтобы показать, что оно инъективно, достаточно показать, что разложение Брюа имеет место и в $Φ/Δ$ . Достаточно доказать первую версию, поскольку более точная версия следует из коммутационных соотношений между J и $Д (α)$ . Множество $B \cup B J B$ инвариантно относительно обращения, содержит операторы $T (β)$ и J , поэтому достаточно показать его инвариантность относительно умножения. По построению он инвариантен относительно умножения на B . Он инвариантен относительно умножения на J из-за определяющего уравнения для $D (α)$ . ^{[ 22 ]}

В частности, центр $SL(2, k)$ состоит из скалярных матриц $\pm I$ и является единственной нетривиальной нормальной подгруппой $SL(2, k)$ , так что $PSL(2, k) = SL(2, k ))/{\pm I$ } прост . ^{[ 23 ]} Фактически, если $K$ — нормальная подгруппа, то из разложения Брюа следует, что $B$ — максимальная подгруппа, так что либо $K$ содержится в $B$ , либо $КБ = SL(2, k)$ . В первом случае $K$ фиксирует одну точку и, следовательно, каждая точка $k \cup {\infty$ }, следовательно, лежит в центре. Во втором случае подгруппой-коммутантом SL $(2, k)$ является вся группа, поскольку это группа, порожденная нижними и верхними унитреугольными матрицами, а четвертое соотношение показывает, что все такие матрицы являются коммутаторами. поскольку $[T (β), D (α)] = T (β - α 2 β)$ . Записывая $J = kb$ с $k$ в $K$ и $b$ в $B$ , отсюда следует, что $L = k U k -1$ . Поскольку $U$ и $L$ порождают всю группу, $SL(2, k) = KU$ . Но тогда $SL(2,) / K ≅ U / U \cap K.$ k Правая часть здесь абелева, а левая — собственная подгруппа коммутаторов. Следовательно, это должна быть тривиальная группа и $K = SL(2, k)$ .

Учитывая элемент a комплексной йордановой алгебре $A = EC в$ , йордановая подалгебра с единицей $C [a]$ ассоциативна и коммутативна. Умножение на a определяет оператор на $C [a]$ , который имеет спектр, а именно набор комплексных собственных значений. Если $p (t)$ — комплексный многочлен, то $p (a)$ определен в $C [a]$ . Оно обратимо в $A$ тогда и только тогда, когда оно обратимо в $C [a]$ , которые происходят именно тогда, когда $p$ не обращается в нуль в спектре $a$ . Это позволяет рациональные функции всякий $a$ определять $раз, когда функция определена в спектре a$ . Если $F$ и $G$ — рациональные функции с $G$ и $F \circ G,$ определенными на $a$ , то $F$ определен на $G (а)$ и $F (G (а)) знак равно (F \circ G)(а)$ . Это относится, в частности, к комплексным преобразованиям Мёбиуса, которые можно определить формулой $г (а) = (α а + β1)(γ а + δ1) -1$ . Они оставляют $C [a]$ инвариантным, и, если они определены, выполняется закон состава группы. (В следующем разделе комплексные преобразования Мёбиуса будут определены при компактификации $A$ .) ^{[ 24 ]}

Дан примитивный идемпотент $e$ в $E$ с разложением Пирса.

\displaystyle {E=E_{1}(e)\oplus E_{1/2}(e)\oplus E_{0}(e),\,\,\,\,A=A_{1}(e)\oplus A_{1/2}(e)\oplus A_{0}(e).}

действие $SL(2, C)$ преобразованиями Мёбиуса на $E 1 (e) = C e$ можно расширить до действия на A так, что действие оставляет инвариантными компоненты $A i (e)$ и, в частности, действует тривиально на $E 0 (е)$ . ^{[ 25 ]} Если $P 0$ — проекция на $A 0 (e)$ , действие задается формулой

\displaystyle {g(ze\oplus x_{1/2}\oplus x_{0})={\alpha z+\beta  \over \gamma z+\delta }\cdot e\oplus (\gamma z+\delta )^{-1}x_{1/2}\oplus x_{0}-(\gamma z+\delta )^{-1}P_{0}(x_{1/2}^{2}).}

Для жордановой системы примитивных идемпотентов $e 1, ..., em связанные$ действия $SL(2, C),$ с разными $ei,$ коммутируют, таким образом давая действие $SL(2, C) м$ . Диагональная копия $SL(2, C)$ снова дает действие преобразованиями Мёбиуса на $A$ .

Преобразование Кэли

Преобразование Мёбиуса, определяемое формулой

\displaystyle {C(z)=i{1+z \over 1-z}=-i+{2i \over 1-z}}

называется преобразованием Кэли . Его обратное выражение определяется выражением

\displaystyle {P(w)={w-i \over w+i}=1-{2i \over w+i}.}

Обратное преобразование Кэли переносит действительную линию на круг с опущенной точкой 1. Он переносит верхнюю полуплоскость на единичный диск, а нижнюю полуплоскость на дополнение замкнутого единичного диска. В теории операторов отображение $T \mapsto P (T)$ переводит самосопряженные операторы T на унитарные операторы U , не содержащие 1 в своем спектре. Для матриц это следует из того, что унитарные и самосопряженные матрицы могут быть диагонализированы, а их собственные значения лежат на единичной окружности или вещественной прямой. В этой конечномерной ситуации преобразование Кэли и его обратное устанавливают биекцию между матрицами с операторной нормой меньше единицы и операторами, мнимая часть которых является положительным оператором. Это частный случай для $A = M n (C)$ алгебраического результата Жордана, объясненного ниже, который утверждает, что преобразование Кэли и его обратное устанавливают биекцию между ограниченной областью $D$ и трубчатой областью $T$ .

В случае матриц биекция следует из резольвентных формул. ^{[ 26 ]} Фактически, если мнимая часть $T$ положительна, то $T + iI$ обратима, поскольку

\displaystyle {\|(T+iI)x\|^{2}=\|(T-iI)x\|^{2}+4(\mathrm {Im} (T)x,x).}

В частности, полагая $y = (T + iI) x$ ,

\displaystyle {\|y\|^{2}=\|P(T)y\|^{2}+4(\mathrm {Im} (T)x,x).}

Эквивалентно

\displaystyle {I-P(T)^{*}P(T)=4(T^{*}-iI)^{-1}[\mathrm {Im} \,T](T+iI)^{-1}}

— положительный оператор, так что || п ( Т )|| < 1. Обратно, если || У || < 1, тогда $я - U$ обратим и

\displaystyle {\mathrm {Im} \,C(U)=(2i)^{-1}[C(U)-C(U)^{*}]=(1-U^{*})^{-1}[I-U^{*}U](I-U)^{-1}.}

Поскольку преобразование Кэли и его обратное коммутируют с транспонированием, они также устанавливают биекцию для симметричных матриц. Это соответствует йордановой алгебре симметричных комплексных матриц, комплексификации $H n (R)$ .

В $A = EC приведенные$ выше резольвентные тождества принимают следующий вид: ^{[ 27 ]}

\displaystyle {Q(1-u^{*})Q(C(u)+C(u^{*}))Q(1-u)=-4B(u^{*},u)}

и эквивалентно

\displaystyle {4Q(\mathrm {Im} \,a)=Q(a^{*}-i)B(P(a)^{*},P(a))Q(a+i),}

где оператор Бергмана $B (x, y)$ определяется формулой $B (x, y) = I - 2 R (x, y) + Q (x) Q (y)$ с $R (x, y) = [L (x), L (y)] + L (xy)$ . Обратные здесь четко определены. Фактически в одном направлении $1 - u$ обратимо при || ты || < 1: это следует либо из того факта, что норма удовлетворяет || аб || ≤ || а || || б ||; или используя резольвантное тождество и обратимость $B (u *, u)$ (см. ниже). В другом направлении, если мнимая часть $a$ находится в $C,$ то мнимая часть $L (a)$ положительно определена, так что $a$ обратимо. Этот аргумент можно применить к $a + i$ , поэтому он также обратим.

Чтобы установить соответствие, достаточно проверить его, когда $Е$ простое. В этом случае это следует из связности $T$ и $D$ и потому, что:

Для $x$ в $E$ x $Q (x)$ является положительным оператором тогда и только тогда, когда $или$ − $x лежит$ в $C.$

$B (a *, a)$ является положительным оператором тогда и только тогда, когда $a$ или его обратный (если обратимый) лежит в $D$

Первый критерий следует из того факта, что собственные значения $Q (x)$ равны в точности $λ i λ j,$ если собственные значения $x$ равны $λ i$ . Таким образом, $λ i$ либо все положительные, либо все отрицательные. Второй критерий следует из того, что если $a знак равно ты Σ α я е я = ux$ с $α i \geq 0$ и u в $Γ u (E C)$ , то $B (a *, a) = u * Q (1 - x 2) u$ имеет собственные значения $(1 - α i 2)(1 - α j 2)$ . Таким образом, все $либо αi$ все меньше единицы, либо все больше единицы.

Резольвентное тождество является следствием следующего тождества для $a$ и $b$ обратимых

\displaystyle {Q(a)Q(a^{-1}+b^{-1})Q(b)=Q(a+b).}

Фактически в этом случае из соотношений для квадратичной йордановой алгебры следует

\displaystyle {R(a,b)=2Q(a)Q(a^{-1},b)=2Q(a,b^{-1})Q(b)}

так что

\displaystyle {B(a,b)=Q(a)Q(a^{-1}-b)=Q(b^{-1}-a)Q(b).}

Из равенства двух последних слагаемых следует тождество, заменяя $b$ на $- b -1$ .

Теперь установите $a = 1 - x$ и $b = 1 - y$ . Резольвантное тождество является частным случаем более общего тождества:

\displaystyle {Q(1-x)Q(C(x)+C(y))Q(1-y)=-4B(x,y).}

Фактически

\displaystyle {C(x)+C(y)=-2i(1-a^{-1}-b^{-1}),}

поэтому тождество эквивалентно

\displaystyle {Q(a)Q(1-a^{-1}-b^{-1})Q(b)=B(1-a,1-b).}

Используя приведенное выше тождество вместе с $Q (c) L (c -1) = L (c)$ , левая часть равна $Q (а) Q (б) + Q (а + б) - 2 L (а) Q (б) - 2 Q (а) L (б)$ . Правая часть равна $2 L (а) L (б) + 2 L (б) L (а) - 2 L (ab) - 2 L (а) Q (б) - 2 Q (а) L (б) + Q (а) Q (б) + Q (а) + Q (б)$ . Они равны по формуле $⁠ 1 / 2 ⁠ [Q (а + б) - Q (а) - Q (б)] знак равно L (а) L (б) + L (б) L (а) - L (ab)$ .

Группа автоморфизмов ограниченной области

Преобразования Мёбиуса в $SU(1,1)$ переводят ограниченную область $D$ на себя.

Если $a$ лежит в ограниченной области $D$ , то $a - 1$ обратимо. Поскольку $D$ инвариантен относительно умножения на скаляры с модулем ≤ 1, отсюда следует, что $a - λ$ обратима при |λ| ≥ 1. Следовательно, при || а || ≤ 1, $a - λ$ обратима при |λ| > 1. Отсюда следует, что преобразование Мёбиуса $ga$ определено при || а || ≤ 1 и $g$ в $SU(1,1)$ . Там, где оно определено, оно является инъективным. Оно голоморфно на $D$ . Согласно принципу максимума модуля , чтобы показать, что $g$ отображает $D$ на $D,$ достаточно показать, что он отображает $S$ на себя. Ибо в этом случае $g$ и его инверсия сохраняют $D$ , поэтому должны быть сюръективными. Если $и = е ix$ если $x = Σ ξ i e i$ в $E$ , то $gu$ лежит в $\oplus C e i$ . Это коммутативная ассоциативная алгебра, и спектральная норма является супремум-нормой. Поскольку $u = Σ ς i e i$ с |ς _i | = 1, отсюда следует, что $gu = Σ g (ς i) e i$ где | г (ς _я )| = 1. Значит, $gu$ лежит в $S$ .

Унитарная структурная группа $переносит EC$ D $на$ себя.

Это прямое следствие определения спектральной нормы.

Группа преобразований $SU(1,1) м$ соответствующий жордановой рамке, переносит $D$ на себя.

Это уже известно для преобразований Мёбиуса, т.е. диагонали в $SU(1,1) м$ . следует $Для диагональных матриц с фиксированной компонентой в SU(1,1) м$ поскольку они соответствуют преобразованиям в унитарной структурной группе. Сопряжение преобразованием Мёбиуса эквивалентно сопряжению матрицей в этом компоненте. Поскольку единственной нетривиальной нормальной подгруппой $SU(1,1)$ является ее центр, каждая матрица в фиксированной компоненте переносит $D$ на себя.

$D$ — ограниченная симметричная область .

Для данного элемента из $D$ преобразование в единичном компоненте унитарной структурной группы переводит его в элемент из $\oplus C e i$ с супремумной нормой меньше 1. Преобразование в $SU(1,1) м$ переводит его в ноль. Таким образом, существует транзитивная группа биголоморфных преобразований $D$ . Симметрия $z \mapsto - z$ является биголоморфным преобразованием Мёбиуса, фиксирующим только 0.

Биголоморфные отображения $D$ на себя, фиксирующие начало координат, задаются унитарной структурной группой.

Если $f$ — биголоморфное самоотображение $D$ с $f (0) = 0$ и производной $I$ в точке 0, то $f$ должно быть тождественным. ^{[ 28 ]} В противном случае $f$ имеет разложение в ряд Тейлора $f (z) = z + f k + f k + 1 (z) + \cdot\cdot\cdot$ с $f i$ однородным степени $i$ и $f k \neq 0$ . Но тогда $ж н (z) знак равно z + п ж k (z)$ . Пусть $ψ$ — функционал из $A *$ нормы один. Тогда для фиксированного $z$ в $D$ голоморфные функции комплексной переменной $w,$ заданные формулой $h n (w) = ψ(f н (wz))$ должен иметь модуль меньше 1 для | ш | < 1. По неравенству Коши коэффициенты при $w к$ должно быть равномерно ограничено независимо от $n$ , что невозможно, если $f k \neq 0$ .

Если $g$ — биголоморфное отображение $D$ на себя, просто фиксирующее 0, то если $час (z) знак равно е я α z$ отображение $f = g \circ h \circ g -1 \circ час - а$ фиксирует 0 и имеет $производную I.$ там Следовательно, это карта идентичности. Итак, $г (е я α z) = е я α g (z)$ для любого α. Отсюда следует, что g — линейное отображение. Поскольку он отображает $D$ на себя, он отображает замыкание на себя. В частности, он должен отобразить границу Шилова $S$ на себя. Это заставляет $g$ находиться в группе унитарной структуры.

Группа $G D$ биголоморфных автоморфизмов $D$ порождается унитарной структурной группой $K D$ и преобразованиями Мёбиуса, связанными с йордановой шкалой. Если $AD \pm$ обозначает подгруппу таких преобразований Мёбиуса, фиксирующих $1$ , то справедлива формула разложения Картана: $G D = K D A D K D$ .

Орбитой 0 относительно является _AD множество всех точек $Σ α i e i$ с $-1 < α i < 1$ . Орбита этих точек под унитарной структурной группой представляет собой все $D$ . Разложение Картана следует из того, что $K D$ является стабилизатором 0 в $G D$ .

Центр $G D$ тривиален.

зафиксированная (единичным компонентом) K _D в D, равна 0. Единственность подразумевает, что центр G Фактически единственная точка , _D должен фиксировать 0. Отсюда следует, что центр G _D лежит в K _D . Центр K _D изоморфен группе окружностей: поворот на θ соответствует умножению на e ^{я θ} на D так лежит в $SU(1,1)/{\pm1$ }. Поскольку эта группа имеет тривиальный центр, центр G _D тривиален. ^{[ 29 ]}

K _D — максимальная компактная подгруппа в G _D .

На самом деле любая большая компактная подгруппа нетривиально пересекала бы AD _, и у нее нет нетривиальных компактных подгрупп.

Обратите внимание, что G _D является группой Ли (см. ниже), так что три приведенных выше утверждения верны, если G _D и K _D заменены их единичными компонентами, то есть подгруппами, порожденными их однопараметрическими кубгруппами. Единственность максимальной компактной подгруппы с точностью до сопряженности следует из общего рассуждения или может быть выведена для классических областей непосредственно с использованием закона инерции Сильвестра по Сугиуре (1982) . ^{[ 30 ]} На примере эрмитовых матриц над C это сводится к доказательству того, что $U(n) \times U(n)$ с точностью до сопряжения является единственной максимальной компактной подгруппой в $U(n, n)$ . Действительно, если $W = C н \oplus (0)$ , то $U(n) \times U(n)$ — подгруппа группы $U(n, n),$ сохраняющая W . Ограничение эрмитовой формы, заданное скалярным произведением на $W$ минус скалярное произведение на $(0) \oplus C н$ . С другой стороны, если $K$ — компактная подгруппа в $U(n, n)$ , существует $K$ -инвариантное скалярное произведение на $C 2 2н$ получается усреднением любого скалярного произведения по мере Хаара на $K$ . Эрмитова форма соответствует ортогональному разложению на два подпространства размерности $n,$ оба инвариантные относительно $K,$ с положительно определенной формой в одном и отрицательно определенной в другом. По закону инерции Сильвестра, если даны два подпространства размерности $n,$ на которых эрмитова форма положительно определена, одно переносится на другое элементом $U(n, n)$ . Следовательно, существует элемент $g$ из $U(n, n),$ такой, что положительно определенное подпространство задается $gW$ . Итак, $гКг -1$ оставляет $W$ инвариантом и $gKg -1 \subseteq U(п) \times U(п)$ .

Аналогичный аргумент, с кватернионами, заменяющими комплексные числа, показывает уникальность симплектической группы, которая соответствует эрмитовым матрицам над R . Это также можно увидеть более непосредственно, используя сложные структуры . Комплексная структура – это обратимый оператор J с J ² = − I, сохраняющий симплектическую форму B и такой, что − B ( Jx , y ) является действительным скалярным произведением. Симплектическая группа действует транзитивно на комплексных структурах путем сопряжения. Более того, подгруппа, коммутирующая с J , естественным образом отождествляется с унитарной группой соответствующего комплексного пространства скалярного произведения. Единственность достигается, если показать, что любая компактная подгруппа K коммутирует с некоторой комплексной структурой J . Фактически, при усреднении по мере Хаара существует K -инвариантный скалярный продукт в базовом пространстве. Симплектическая форма дает обратимый кососопряженный оператор T , коммутирующий с K . Оператор S = − T ² положителен, поэтому имеет уникальный положительный квадратный корень, который коммутирует с K . Итак, J = S ^−1/2T , фаза T квадрат −I и коммутирует с K. , имеет

Группа автоморфизмов трубчатой области

существует разложение Картана Для G _T , соответствующее действию на трубке T = E + iC :

\displaystyle {G_{T}=K_{T}A_{T}K_{T}.}

K _T — стабилизатор i в iC ⊂ T максимальная компактная подгруппа в G _T. , следовательно , При преобразовании Кэли K _T соответствует K _D , стабилизатору 0 в ограниченной симметричной области, где он действует линейно. Поскольку G _T полупроста, каждая максимальная компактная подгруппа сопряжена с K _T .
Центр G _T или G _D тривиален. Фактически единственная точка, зафиксированная K _D в D , — это 0. Единственность подразумевает, что центр G G _D должен фиксировать 0. Отсюда следует, что центр лежит _D лежит в K _D и, следовательно, центр G _T в K _T . Центр K _D изоморфен группе окружностей: поворот на θ соответствует умножению на e ^{я θ} на Д. В преобразовании Кэли это соответствует преобразованию Мёбиуса z ↦ ( cz + s )(− sz + c ) ⁻¹ где c = cos θ/2 и s = sin θ/2. (В частности, когда θ = π, это дает симметрию j ( z ) = − z ⁻¹.) Действительно, все преобразования Мёбиуса z ↦ (α z + β)(−γ z + δ) ⁻¹ с αδ − βγ = 1 лежат в G _T . Поскольку PSL(2, R ) имеет тривиальный центр, центр G _T тривиален. ^{[ 31 ]}
A _T задается линейными операторами Q ( a ) с a = Σ α _i e _i с α _i > 0.

Фактически разложение Картана для $G T$ следует из разложения для $G D$ . Учитывая $z$ в $D$ , существует элемент $u$ в $K D$ , единичный компонент $Γ u (EC C)$ , такой, что $z = u Σ α j e j$ с $α j \geq 0$ . Поскольку || г || < 1, отсюда следует, что $α j < 1$ . Принимая преобразование Кэли для z , отсюда следует, что каждый $в$ T $может$ быть записан $как w = k \circ C Σ α j e j$ , где $C —$ преобразование Кэли, а $k$ в $K T.$ w С $C Σ α i e i = Σ β j e j i$ с $β j знак равно (1 + α j) (1 - α j) -1$ , точка $w$ имеет вид $w = ka (i)$ с $a$ в $A$ . Следовательно, $грамм Т знак равно K Т А Т K Т$ .

3-градуированные алгебры Ли

Разложение Ивасавы

существует разложение Ивасавы, Для G _T соответствующее действию на трубке T = E + iC : ^{[ 32 ]}

\displaystyle {G_{T}=K_{T}A_{T}N_{T}.}

K _T — стабилизатор i в iC ⊂ T .
A _T задается линейными операторами Q ( a ), где a = Σ α _i e _i с α _i > 0.
NT _— нижняя унитреугольная группа EC _на . Это полупрямой продукт унипотентной треугольной группы N, появляющейся в разложении Ивасавы G (группа симметрии C ) и N ₀ = E , группы сдвигов x ↦ x + b .

Группа S = AN действует на E линейно, и сопряжение на N ₀ воспроизводит это действие. Поскольку группа S действует просто транзитивно на C , отсюда следует, что AN _T = S ⋅ N ₀ действует просто транзитивно на T = E + iC . Пусть H _T — группа биголоморфизмов трубки T . что оно изоморфно группе HD _{Преобразование Кэли показывает ,} биголоморфизмов ограниченной области D . Поскольку AN _T действует просто транзитивно на трубке T, а K _T фиксирует ic , они имеют тривиальное пересечение.

Учитывая g в HT _, возьмем s в ANT _что такой, g ⁻¹( я )= с ⁻¹( я ). тогда гс ⁻¹ фиксирует i и, следовательно, лежит в K _T . Следовательно, Т _знак равно K _Т ⋅ А ⋅ NT _ЧАС . Итак, продукт — это группа.

Структура группы Лжи

По результату Анри Картана HD является _, группой Ли. Оригинальное доказательство Картана представлено у Нарасимхана (1971) . Это также можно вывести из того факта, что D является полным для метрики Бергмана , для которой изометрии образуют группу Ли; по теореме Монтеля группа биголоморфизмов является замкнутой подгруппой. ^{[ 33 ]}

что HT _{В этом случае можно непосредственно убедиться в том ,} является группой Ли. На самом деле существует конечномерная 3-градуированная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}_{T}$ векторных полей с инволюцией σ. Форма Киллинга отрицательно определена в собственном пространстве +1 σ и положительно определена в собственном пространстве -1. Как группа H _T нормализует ${\mathfrak {g}}_{T}$ две подгруппы K _T и AN _T.поскольку это делают Собственное пространство +1 соответствует алгебре Ли K _T . Аналогично алгебры Ли линейной группы AN и аффинной группы N ₀ лежат в ${\mathfrak {g}}_{T}$ . Поскольку группа G _T имеет тривиальный центр, отображение в GL( ${\mathfrak {g}}_{T}$ ) инъективен. Поскольку K _T компактен, его образ в GL( ${\mathfrak {g}}_{T}$ ) компактен. Поскольку алгебра Ли ${\mathfrak {g}}_{T}$ совместим с образом образ _, ANT замкнут _ANT . Следовательно, образ произведения замкнут, так как образ K _T компактен. Поскольку это замкнутая подгруппа, отсюда следует, что — _HT группа Ли.

Обобщения

Евклидовы йордановые алгебры можно использовать для построения эрмитовых симметрических пространств трубчатого типа. Остальные эрмитовые симметрические пространства являются областями Зигеля второго рода. Их можно построить с использованием евклидовых йордановых систем троек , обобщения евклидовых йордановых алгебр. Действительно, для евклидовой йордановой алгебры E пусть

\displaystyle {L(a,b)=2([L(a),L(b)]+L(ab)).}

Тогда L ( a , b ) дает билинейное отображение в End E такое, что

\displaystyle {L(a,b)^{*}=L(b,a)},\,\,\,L(a,b)c=L(c,b)a

и

\displaystyle {[L(a,b),L(c,d)]=L(L(a,b)c,d)-L(c,L(b,a)d).}

Любая такая билинейная система называется евклидовой жордановой тройной системой . По определению операторы L ( a , b образуют подалгебру Ли End E. )

Конструкция Кантора –Кехера–Титса дает однозначное соответствие между йордановыми тройными системами и 3-градуированными алгебрами Ли.

\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1},}

удовлетворяющий

\displaystyle {[{\mathfrak {g}}_{p},{\mathfrak {g}}_{q}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{p+q}}

и снабжен инволютивным автоморфизмом σ, обращающим градуировку. В этом случае

\displaystyle {L(a,b)=\mathrm {ad} \,[a,\sigma (b)]}

определяет жордановую систему троек на ${\mathfrak {g}}_{-1}$ . В случае евклидовых йордановых алгебр или тройных систем конструкцию Кантора–Кехера–Титса можно отождествить с алгеброй Ли группы Ли всех гомоморфных автоморфизмов соответствующей ограниченной симметрической области . Алгебра Ли строится путем взятия ${\mathfrak {g}}_{0}$ быть подалгеброй Ли ${\mathfrak {h}}$ конца E, порожденного L( a , b ) и ${\mathfrak {g}}_{\pm 1}$ быть копиями E . Скобка Ли имеет вид

\displaystyle {[(a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2})]=(T_{1}a_{2}-T_{2}a_{1},[T_{1},T_{2}]+L(a_{1},b_{2})-L(a_{2},b_{1}),T_{2}^{*}b_{1}-T_{1}^{*}b_{2})}

и инволюция

\displaystyle {\sigma (a,T,b)=(b,-T^{*},a).}

Форма убийства определяется выражением

\displaystyle {B((a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2}))=(a_{1},b_{2})+(b_{1},a_{2})+\beta (T_{1},T_{2}),}

где β( T ₁ , T ₂ ) — симметричная билинейная форма, определяемая формулой

\displaystyle {\beta (L(a,b),L(c,d))=(L(a,b)c,d)=(L(c,d)a,b).}

Эти формулы, первоначально выведенные для йордановых алгебр, одинаково хорошо работают и для жордановых систем троек. ^{[ 34 ]} В докладе Кехера (1969) развивается теория ограниченных симметричных областей, начиная с точки зрения 3-градуированных алгебр Ли. Для данного конечномерного векторного пространства E Кехер рассматривает конечномерные алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ векторных полей на E с полиномиальными коэффициентами степени ≤ 2. ${\mathfrak {g}}_{-1}$ состоит из постоянных векторных полей ∂ _i и ${\mathfrak {g}}_{0}$ должен содержать оператор Эйлера H = Σ x _i ⋅∂ _i в качестве центрального элемента. Требование существования инволюции σ приводит непосредственно к жордановой тройной структуре на V , как указано выше. Что касается всех жордановых тройных структур, фиксируя c в E , операторы L _c ( a ) = L ( a , c ) задают E структуру йордановой алгебры, определяемую e . Сами операторы L ( a , b ) происходят из структуры йордановой алгебры, как указано выше, тогда и только тогда, когда существуют дополнительные операторы E _± в ${\mathfrak {g}}_{\pm 1}$ так что H , E _± дают копию ${\mathfrak {sl}}_{2}$ . Соответствующий элемент группы Вейля реализует инволюцию σ. Этот случай соответствует случаю евклидовых йордановых алгебр.

Остальные случаи строятся Кехером равномерно с использованием инволюций простых евклидовых йордановых алгебр. ^{[ 35 ]} Пусть E — простая евклидова йорданова алгебра, а τ — автоморфизм йордановой алгебры E периода 2. Таким образом, E = E ₊₁ ⊕ E ₋₁ имеет разложение в собственное пространство для τ с E _{+1 —} йордановой подалгеброй и E ₋₁ — модулем. Более того, произведение двух элементов из E ₋₁ лежит в E ₊₁ . Для a , b , c в E ₋₁ установите

\displaystyle {L_{0}(a,b)c=L(a,b)c}

и ( а , б ) = Tr L ( ab ). Тогда F = E ₋₁ — простая евклидова жорданова система троек, полученная ограничением системы троек на E на F . Кехер непосредственно демонстрирует явные инволюции простых евклидовых йордановых алгебр (см. ниже). Эти системы троек Жордана соответствуют неприводимым эрмитовым симметрическим пространствам, заданным областями Зигеля второго рода. В листинге Картана их компактными двойниками являются SU( p + q )/S(U( p ) × U( q )) с p ≠ q (AIII), SO(2 n )/U( n ) с n нечетным (DIII ) и E ₆ /SO(10) × U(1) (EIII).

Примеры

F — это пространство матриц p на q над R, где p ≠ q . В этом случае L ( a , b ) c = ab ^тс + сб ^тa со внутренним продуктом ( a , b ) = Tr ab ^т. Это конструкция Кехера для инволюции на E = H _{p + q} ( R ), заданной путем сопряжения диагональной матрицей с p двуугольными элементами, равными 1 и q равными -1.
F — пространство вещественных кососимметричных m на m матриц. В этом случае L ( a , b ) c = abc + cba со скалярным произведением ( a , b ) = −Tr ab . После удаления множителя √(-1) это конструкция Кехера, примененная к комплексному сопряжению на E = H _n ( C ).
F — прямая сумма двух копий чисел Кэли, рассматриваемых как матрицы размером 1 на 2. Эта тройная система получается с помощью конструкции Кехера для канонической инволюции, определяемой любым минимальным идемпотентом в E = H ₃ ( O ).

Классификация евклидовых систем троек Жордана была достигнута путем обобщения методов Йордана, фон Неймана и Вигнера, но доказательства более сложны. ^{[ 36 ]} Предыдущие дифференциально-геометрические методы Кобаяши и Нагано (1964) , использующие 3-градуенную алгебру Ли, и Лооса (1971) , Лооса (1985) приводят к более быстрой классификации.

Примечания

^ В этой статье в качестве основных источников используются Джордан, фон Нейман и Вигнер (1934) , Кехер (1999) и Фараут и Кораньи (1994) , заимствуя терминологию и некоторые упрощения из последнего.
^ Фараут и Кораньи 1994 , стр. 2–4
^
Доказательство эквивалентности см.:
- Коехер 1999 , с. 118, Теорема 12
- Фараут и Кораньи 1994 , стр. 42, 153–154
^
См.:
^
См.:
- Фрейденталь 1985 г.
- Джейкобсон 1968 г.
- Zhevlakov et al. 1982
- Ханче-Ольсен и Стермер, 1984 г.
- Springer & Veldkamp 2000 , стр. 117–141.
^
См.:
- Ханче-Ольсен и Стермер, 1984 , стр. 58–59.
- Фараут и Кораньи 1994 , стр. 74–75
- Джейкобсон 1968 г.
- Клерк 1992 , стр. 49–52
^ Клерк 1992 , стр. 49–52
^ Фараут и Кораньи 1994 , стр. 46–49
^ Фараут и Кораньи 1994 , стр. 32–35
^
Видеть:
- Кехер 1999 , стр. 72–76.
- Фараут и Кораньи 1994 , стр. 32–34
^
См.:
- Джейкобсон 1968 , стр. 40–47, 52.
- Ханче-Ольсен и Стермер, 1984 , стр. 36–44.
^
См.:
- Коехер 1999 , с. 111
- Ханче-Ольсен и Стермер 1984 , стр. 83.
- Фараут и Кораньи 1994 , с. 48
^ Фараут и Кораньи 1994 , стр. 49–50
^ Фараут и Кораньи 1994 , стр. 145–146
^ Лоос 1977 , с. 3.15-3.16
^ Райт 1977 , стр. 296–297.
^ См. Фараут и Кораньи (1994 , стр. 73, 202–203) и Рудин (1973 , стр. 270–273). В силу конечномерности каждая точка выпуклой оболочки S представляет собой выпуклую комбинацию n + 1 точек, где n = 2 dim E . Таким образом, выпуклая оболочка S уже компактна и равна замкнутому единичному шару.
^ Райт 1977 , стр. 296–297.
^ Фараут и Кораньи 1994 , стр. 154–158
^
См.:
- Кехер 1999 г.
- Кехер 1969 г.
^
См.:
- Лоос 1977
- Фараут и Кораньи 1994 г.
^ Ланг 1985 , стр. 209–210
^ Бурбаки 1981 , стр. 30–32.
^
См.:
- Кехер 1999 г.
- Фараут и Кораньи 1994 , стр. 150–153
^ Свободный 1977 , стр. 9,4–9,5
^ Фолланд 1989 , стр. 203–204.
^
См.:
- Кехер 1999 г.
- Фараут и Кораньи 1994 , стр. 200–201
^ Фараут и Кораньи 1994 , стр. 204–205
^ Фараут и Кораньи 1994 , с. 208
^ Обратите внимание, что элементарный аргумент Игусы (1972 , стр. 23), цитируемый Фолландом (1989), является неполным.
^ Фараут и Кораньи 1994 , с. 208
^ Фараут и Кораньи 1994 , с. 334
^
См.:
^
См.:
- Кехер 1967 г.
- Кехер 1968 г.
- Кехер 1969 г.
- Фараут и Кораньи 1994 , стр. 218–219
^ Кехер 1969 , с. 85
^
См.:

Ссылки

Альберт, А.А. (1934), «О некоторой алгебре квантовой механики», Annals of Mathematics , 35 (1): 65–73, doi : 10.2307/1968118 , JSTOR 1968118
Бурбаки, Н. (1981), Группы Ли и алгебры (главы 4,5 и 6) , Элементы математики, Массон, ISBN 978-2225760761
Картан, Анри (1935), О группах аналитических преобразований , Научные и промышленные новости, Германн
Клерк, Дж. (1992), «Представление йордановой алгебры, инвариантные полиномы и гармоники Стифеля» , Дж. Рейн Ангью. Математика. , 1992 (423): 47–71, номер документа : 10.1515/crll.1992.423.47 , S2CID 117144267 .
Фараут, Дж.; Кораньи, А. (1994), Анализ симметричных конусов , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN 978-0198534778
Фолланд, ГБ (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Анналы математических исследований, том. 122, Издательство Принстонского университета, ISBN 9780691085289
Фрейденталь, Ганс (1951), Октавы, группы исключений и геометрия октав , Математический институт Рейксуниверситета в Утрехте
Фрейденталь, Ганс (1985), «Октавы, группы исключений и геометрия октав», Geom. Dedicata , 19 : 7–63, doi : 10.1007/bf00233101 , S2CID 121496094 (перепечатка статьи 1951 года)
Ханче-Ольсен, Харальд; Стермер, Эрлинг (1984), Жордановые операторные алгебры , Монографии и исследования по математике, том 21, Питман, ISBN. 978-0273086192
Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, Нью-Йорк, ISBN 978-0-12-338460-7
Игуса, Дж. (1972), Тета-функции , Основные положения математических наук, том. 194, Шпрингер Верлаг
Джейкобсон, Н. (1968), Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 39, Американское математическое общество
Джордан, П.; фон Нейман, Дж.; Вигнер, Э. (1934), «Об алгебраическом обобщении квантовомеханического формализма», Annals of Mathematics , 35 (1): 29–64, doi : 10.2307/1968117 , JSTOR 1968117
Кобаяши, Сошичи, Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии, Том I , Wiley Interscience, ISBN. 978-0-470-49648-0
Кобаяши, Шошичи; Нагано, Тадаши (1964), «О фильтрованных алгебрах Ли и геометрических структурах. I.», J. Math. Мех. , 13 : 875–907
Кечер, М. (1967), «Вложение йордановых алгебр в алгебры Ли. I», Amer. Дж. Математика. , 89 (3): 787–816, номер документа : 10.2307/2373242 , JSTOR 2373242.
Кечер, М. (1968), «Вложение йордановых алгебр в алгебры Ли. II», Amer. Дж. Математика. , 90 (2): 476–510, номер документа : 10.2307/2373540 , JSTOR 2373540.
Кечер, М. (1969), Элементарный подход к ограниченным симметричным областям , Конспект лекций, Университет Райса.
Кечер, М. (1999), Миннесотские заметки по йордановым алгебрам и их приложениям , Конспекты лекций по математике, том. 1710, Спрингер, ISBN 978-3540663607
Кехер, М. (1971), «Жорданские алгебры и дифференциальная геометрия» (PDF) , Труды Международного конгресса математиков (Ницца, 1970), Том I , Готье-Виллар, стр. 279–283
Ланг, С. (1985), SL ₂ (R) , Тексты для выпускников по математике, том. 105, Шпрингер-Верлаг, ISBN 978-0-387-96198-9
Лоос, Оттмар (1975), Джорданские пары , Конспекты лекций по математике, том. 460, Шпрингер-Верлаг
Лоос, Оттмар (1971), «Структурная теория йордановых пар», Bull. амер. Математика. Соц. , 80 : 67–71, doi : 10.1090/s0002-9904-1974-13355-0
Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметричные области и жордановые пары (PDF) , Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, заархивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г.
Лоос, Оттмар (1985), «Характеризация симметричных R-пространств с помощью их единичных решеток», Math. Z. , 189 (2): 211–226, doi : 10.1007/bf01175045 , S2CID 123075866 .
Макдональд, И.Г. (1960), «Алгебры Джордана с тремя образующими» , Proc. Лондонская математика. Соц. , 10 : 395–408, doi : 10.1112/plms/s3-10.1.395
Нарасимхан, Рагхаван (1971), Несколько комплексных переменных , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-56817-1
Неер, Эрхард (1979), «Инволюции Картана полупростых вещественных тройных жордановых систем», Math. Z. , 169 (3): 271–292, doi : 10.1007/bf01214841 , S2CID 121110465
Неер, Эрхард (1980), «Классификация простых вещественных специальных тройных жордановых систем», Manuscripta Math. , 31 (1–3): 197–215, doi : 10.1007/bf01303274 , S2CID 120262881.
Неер, Эрхард (1981), «Классификация простых вещественных исключений тройных систем Джордана», Дж. Рейн Ангью. Math. , 1981 (322): 145–169, doi : 10.1515/crll.1981.322.145 , S2CID 116996646 .
Неер, Эрхард (1987), Тройные системы Джордана на основе сеточного подхода , Конспект лекций по математике, том. 1280, Шпрингер-Верлаг, ISBN 978-3540183624
Постников, М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. V семестр , Мир
Рудин, Уолтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259 .
Спрингер, штат Калифорния ; Вельдкамп, Ф.Д. (2000), Октонионы, йордановые алгебры и исключительные группы , Springer-Verlag , ISBN 978-3540663379 , первоначально конспекты лекций из курса, прочитанного в Геттингенском университете в 1962 году.
Сугиура, Мицуо (1982), «Сопряженность максимальных компактных подгрупп для ортогональных, унитарных и унитарных симплектических групп», Sci. Бумажный колледж, генерал-ред. унив. Токио , 32 : 101–108 .
Райт, JDM (1977), «Джордан C∗-алгебры», Michigan Math. Дж. , 24 (3): 291–302, doi : 10.1307/mmj/1029001946.
Жевлаков К.А.; Слинько А.М.; Шестаков, ИП; Ширшов А.И. (1982), Кольца, близкие к ассоциативным , Чистая и прикладная математика, вып. 104, Академическое издательство, ISBN 978-0127798509

[1] В этой статье в качестве основных источников используются Джордан, фон Нейман и Вигнер (1934) , Кехер (1999) и Фараут и Кораньи (1994) , заимствуя терминологию и некоторые упрощения из последнего.

[2] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 2–4

[3] Доказательство эквивалентности см.:
Коехер 1999 , с. 118, Теорема 12

Фараут и Кораньи 1994 , стр. 42, 153–154

[4] Коехер 1999 , с. 118, Теорема 12

[5] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 42, 153–154

[4] См.:
Фрейденталь 1985 г.

Postnikov 1986

Фараут и Кораньи 1994 г.

Спрингер и Вельдкамп 2000 г.

[7] Фрейденталь 1985 г.

[8] Postnikov 1986

[9] Фараут и Кораньи 1994 г.

[10] Спрингер и Вельдкамп 2000 г.

[5] См.:
Фрейденталь 1985 г.

Джейкобсон 1968 г.

Zhevlakov et al. 1982

Ханче-Ольсен и Стермер, 1984 г.

Springer & Veldkamp 2000 , стр. 117–141.

[12] Фрейденталь 1985 г.

[13] Джейкобсон 1968 г.

[14] Zhevlakov et al. 1982

[15] Ханче-Ольсен и Стермер, 1984 г.

[16] Springer & Veldkamp 2000 , стр. 117–141.

[6] См.:
Ханче-Ольсен и Стермер, 1984 , стр. 58–59.

Фараут и Кораньи 1994 , стр. 74–75

Джейкобсон 1968 г.

Клерк 1992 , стр. 49–52

[18] Ханче-Ольсен и Стермер, 1984 , стр. 58–59.

[19] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 74–75

[20] Джейкобсон 1968 г.

[21] Клерк 1992 , стр. 49–52

[7] Клерк 1992 , стр. 49–52

[8] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 46–49

[9] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 32–35

[10] Видеть:
Кехер 1999 , стр. 72–76.

Фараут и Кораньи 1994 , стр. 32–34

[26] Кехер 1999 , стр. 72–76.

[27] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 32–34

[11] См.:
Джейкобсон 1968 , стр. 40–47, 52.

Ханче-Ольсен и Стермер, 1984 , стр. 36–44.

[29] Джейкобсон 1968 , стр. 40–47, 52.

[30] Ханче-Ольсен и Стермер, 1984 , стр. 36–44.

[12] См.:
Коехер 1999 , с. 111

Ханче-Ольсен и Стермер 1984 , стр. 83.

Фараут и Кораньи 1994 , с. 48

[32] Коехер 1999 , с. 111

[33] Ханче-Ольсен и Стермер 1984 , стр. 83.

[34] Фараут и Кораньи 1994 , с. 48

[13] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 49–50

[14] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 145–146

[15] Лоос 1977 , с. 3.15-3.16

[16] Райт 1977 , стр. 296–297.

[17] См. Фараут и Кораньи (1994 , стр. 73, 202–203) и Рудин (1973 , стр. 270–273). В силу конечномерности каждая точка выпуклой оболочки S представляет собой выпуклую комбинацию n + 1 точек, где n = 2 dim E . Таким образом, выпуклая оболочка S уже компактна и равна замкнутому единичному шару.

[18] Райт 1977 , стр. 296–297.

[19] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 154–158

[20] См.:
Кехер 1999 г.

Кехер 1969 г.

[43] Кехер 1999 г.

[44] Кехер 1969 г.

[21] См.:
Лоос 1977

Фараут и Кораньи 1994 г.

[46] Лоос 1977

[47] Фараут и Кораньи 1994 г.

[22] Ланг 1985 , стр. 209–210

[23] Бурбаки 1981 , стр. 30–32.

[24] См.:
Кехер 1999 г.

Фараут и Кораньи 1994 , стр. 150–153

[51] Кехер 1999 г.

[52] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 150–153

[25] Свободный 1977 , стр. 9,4–9,5

[26] Фолланд 1989 , стр. 203–204.

[27] См.:
Кехер 1999 г.

Фараут и Кораньи 1994 , стр. 200–201

[56] Кехер 1999 г.

[57] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 200–201

[28] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 204–205

[29] Фараут и Кораньи 1994 , с. 208

[30] Обратите внимание, что элементарный аргумент Игусы (1972 , стр. 23), цитируемый Фолландом (1989), является неполным.

[31] Фараут и Кораньи 1994 , с. 208

[32] Фараут и Кораньи 1994 , с. 334

[33] См.:
Картман 1935 г.

Хельгасон 1978 г.

Кобаяши и Номидзу, 1963 год.

Фараут и Кораньи 1994 г.

[64] Картман 1935 г.

[65] Хельгасон 1978 г.

[66] Кобаяши и Номидзу, 1963 год.

[67] Фараут и Кораньи 1994 г.

[34] См.:
Кехер 1967 г.

Кехер 1968 г.

Кехер 1969 г.

Фараут и Кораньи 1994 , стр. 218–219

[69] Кехер 1967 г.

[70] Кехер 1968 г.

[71] Кехер 1969 г.

[72] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 218–219

[35] Кехер 1969 , с. 85

[36] См.:
Лоос 1977

Неер 1979 г.

Неер 1980 г.

Неер 1981 г.

Неер 1987 г.

[75] Лоос 1977

[76] Неер 1979 г.

[77] Неер 1980 г.

[78] Неер 1981 г.

[79] Неер 1987 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

Определения

Теоретико-групповые свойства

Спектральное разложение в евклидовой йордановой алгебре

Определение

Силовая ассоциативность

Идемпотенты и ранг

Спектральное разложение

Спектральное разложение для идемпотента

Форма трассировки

Простые евклидовы йордановые алгебры

Центральное разложение

Список всех простых евклидовых йордановых алгебр

Разложение Пирса

Редукция к евклидовым алгебрам Гурвица

Исключительные и специальные евклидовы йордановые алгебры

Положительный конус в евклидовой йордановой алгебре

Определение

Квадратичное представление

Однородность положительного конуса

Евклидова йорданова алгебра симметричного конуса

Строительство

Группы автоморфизмов и форма следа

Разложение Картана

Разложение Ивасавы для конуса

Комплексификация евклидовой йордановой алгебры

Определение комплексификации

Комплексификация группы автоморфизмов

Структурные группы

Спектральная норма

Комплексные простые йордановые алгебры

Группы симметрии ограниченной области и трубчатой ​​области

Определения

Преобразования Мёбиуса

Преобразование Кэли

Группа автоморфизмов ограниченной области

Группа автоморфизмов трубчатой ​​области

3-градуированные алгебры Ли

Разложение Ивасавы

Структура группы Лжи

Обобщения

Примечания

Ссылки

Группы симметрии ограниченной области и трубчатой области

Группа автоморфизмов трубчатой области