Поляризация алгебраической формы

Эта статья о формулах для полиномов более высокой степени. Формулу, связывающую нормы с внутренними продуктами, см. в разделе Поляризационная идентичность .

В математике , в частности в алгебре , поляризация — это метод выражения однородного многочлена более простого путем присоединения большего количества переменных. В частности, для однородного полинома поляризация создает уникальную симметричную полилинейную форму , из которой исходный полином можно восстановить путем оценки по определенной диагонали.

Хотя этот метод обманчиво прост, он находит применение во многих областях абстрактной математики: в частности, в алгебраической геометрии , теории инвариантов и теории представлений . Поляризация и связанные с ней методы составляют основу теории инвариантов Вейля .

Техника

Основные идеи заключаются в следующем. Позволять $f(\mathbf {u} )$ быть полиномом от $n$ переменные $\mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right).$ Предположим, что $f$ является однородным по степени $d,$ это означает, что $$f(t\mathbf {u} )=t^{d}f(\mathbf {u} )\quad {\text{ for all }}t.$$

Позволять $\mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}$ быть совокупностью неопределенных чисел с $\mathbf {u} ^{(i)}=\left(u_{1}^{(i)},u_{2}^{(i)},\ldots ,u_{n}^{(i)}\right),$ так что есть $dn$ переменные вообще. Полярная форма ​ $f$ является полиномом $$F\left(\mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}\right)$$которая линейна отдельно в каждом $\mathbf {u} ^{(i)}$ (то есть, $F$ полилинейна), симметрична относительно $\mathbf {u} ^{(i)},$ и такое, что $$F\left(\mathbf {u} ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {u} \right)=f(\mathbf {u} ).$$

Полярная форма $f$ задается следующей конструкцией $$F\left({\mathbf {u} }^{(1)},\dots ,{\mathbf {u} }^{(d)}\right)={\frac {1}{d!}}{\frac {\partial }{\partial \lambda _{1}}}\dots {\frac {\partial }{\partial \lambda _{d}}}f(\lambda _{1}{\mathbf {u} }^{(1)}+\dots +\lambda _{d}{\mathbf {u} }^{(d)})|_{\lambda =0}.$$Другими словами, $F$ является постоянным кратным коэффициента $\lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{d}$ в расширении $f\left(\lambda _{1}\mathbf {u} ^{(1)}+\cdots +\lambda _{d}\mathbf {u} ^{(d)}\right).$

Примеры

Квадратичный пример. Предположим, что $\mathbf {x} =(x,y)$ и $f(\mathbf {x} )$ квадратичная форма $$f(\mathbf {x} )=x^{2}+3xy+2y^{2}.$$Тогда поляризация $f$ это функция в $\mathbf {x} ^{(1)}=\left(x^{(1)},y^{(1)}\right)$ и $\mathbf {x} ^{(2)}=\left(x^{(2)},y^{(2)}\right)$ предоставлено $$F\left(\mathbf {x} ^{(1)},\mathbf {x} ^{(2)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}+{\frac {3}{2}}x^{(2)}y^{(1)}+{\frac {3}{2}}x^{(1)}y^{(2)}+2y^{(1)}y^{(2)}.$$В более общем смысле, если $f$ — любая квадратичная форма, то поляризация $f$ согласуется с выводом о поляризационном тождестве .

Кубический пример. Позволять $f(x,y)=x^{3}+2xy^{2}.$ Тогда поляризация $f$ дается $$F\left(x^{(1)},y^{(1)},x^{(2)},y^{(2)},x^{(3)},y^{(3)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}x^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(1)}y^{(2)}y^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(3)}y^{(1)}y^{(2)}+{\frac {2}{3}}x^{(2)}y^{(3)}y^{(1)}.$$

Математические детали и последствия

Поляризация однородного полинома степени $d$ справедлива над любым коммутативным кольцом , в котором $d!$ является единицей. В частности, оно справедливо для любого поля или нулевой характеристики характеристики которого строго больше, чем $d.$

Изоморфизм поляризации (по степени)

Для простоты пусть $k$ — поле нулевой характеристики и пусть $A=k[\mathbf {x} ]$ — кольцо полиномов в $n$ переменные над $k.$ Затем $A$ оценивается по что степени , так $$A=\bigoplus _{d}A_{d}.$$Тогда поляризация алгебраических форм индуцирует изоморфизм векторных пространств каждой степени $$A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}k^{n}$$где $\operatorname {Sym} ^{d}$ это $d$-я симметричная степень $n$-мерное пространство $k^{n}.$

Эти изоморфизмы можно выразить независимо от базиса следующим образом. Если $V$ является конечномерным векторным пространством и $A$ это кольцо $k$-значные полиномиальные функции на $V$ градуированный по однородной степени, то поляризация дает изоморфизм $$A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}V^{*}.$$

Алгебраический изоморфизм

Более того, поляризация совместима с алгебраической структурой на $A$, так что $$A\cong \operatorname {Sym} ^{\bullet }V^{*}$$где $\operatorname {Sym} ^{\bullet }V^{*}$ — полная симметрическая алгебра над $V^{*}.$

Примечания

• Для полей положительной характеристики $p,$ предыдущие изоморфизмы применяются, если градуированные алгебры усекаются на степени $p-1.$
• Существуют обобщения, когда $V$ — бесконечномерное топологическое векторное пространство .

См. также

• Гомогенная функция - функция с мультипликативным масштабированием.

Ссылки

• Клаудио Процесси (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представления , Спрингер, ISBN   9780387260402 .