Теорема Гурвица (композиция алгебры)

В математике наделенной теорема Хервица является теоремой Адольфа Хервица (1859–1919), опубликованной посмертно в 1923 году, решая проблему Hurwitz для конечно-разнообразной неассоцирующей однократной алгебры, неразрешимой положительного дефекции квадратичной формой . Теорема утверждает, что если квадратичная форма определяет гомоморфизм в положительные реальные числа на ненулевой части алгебры, то алгебра должна быть изоморфной для реальных чисел , комплексных чисел , кватернионов или вокотонинов , и что это Нет других возможностей. Такие алгебры, иногда называемые алгебрами Hurwitz , являются примерами композиционных алгебр .

Теория композиции алгебры впоследствии была обобщена до произвольных квадратичных форм и произвольных полей . Теорема Гервица подразумевает, что мультипликативные формулы для сумм квадратов могут происходить только в измерениях 1, 2, 4 и 8, что изначально доказано Гервицем в 1898 году. Это особый случай проблемы Hurwitz , решаемый также в Radon (1922) . Последующие доказательства ограничений на измерение были даны Экманном (1943) с использованием теории конечных групп представления и Ли (1948) и Chevalley (1954) с использованием алгебр Клиффорда . Теорема Гервица была применена в алгебраической топологии к проблемам на векторных областях на сферах и гомотопии классических групп и в квантовой механике к классификации простых алгебр Джордана .

Евклидовые алгебры Hurwitz

Определение

Алгебра Hurwitz или алгебра композиции является конечной измерной, не обязательно ассоциативной алгеброй A с идентичностью, наделенной негнутированной квадратичной формой Q, такой, что Q ( a b ) = q ( a ) q ( b ) . Если базовое поле коэффициента является реальным, а Q является положительным дефицитом, так что ( a , b ) = ⁠ 1/2 a ⁠ ( [ q ( a + b ) -q ( ) -q ) внутренним b ] является продуктом , затем a называется евклидовой алгеброй Hurwitz или (конечной измерной) нормной алгебры .

Если a - евклидовая алгебра Hurwitz, а A это - , определите инволюцию и правое и левое операторы умножения

$a^{*}=-a+2(a,1)1,\quad L(a)b=ab,\quad R(a)b=ba.$

Очевидно, инволюция имеет второй период и сохраняет внутренний продукт и норму. Эти операторы обладают следующими свойствами:

• Инволюция является антиавтоморфизмом , то есть ( ab ) * = b * a *
• A * = ‖ a ‖ ² 1 = a * a
• L ( a *) = l ( a ) * , r ( a *) = r ( a ) * , так что инволюция на алгебре соответствует прилеганию
• Re ( ab ) = re ( ba ) , если re x = ( x + x *)/2 = ( x , 1) 1
• Re ( ab ) c = re a ( bc )
• L ( а ² ) = L ( a ) ² , R ( ​ ² ) = R ( a ) ² , чтобы A была альтернативной алгеброй .

Эти свойства доказаны, начиная с поляризованной версии Identity ( AB , AB ) = ( A , A ) ( B , B ) :

$\displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}$

Настройка b = 1 или d = 1 дает L ( a *) = l ( a ) * и r ( c *) = r ( c ) * .

Следовательно, re ( ab ) = ( ab , 1) 1 = ( a , b *) 1 = ( ba , 1) 1 = re ( ba ) .

Аналогично re ( ab ) c = (( ab ) c , 1) 1 = ( ab , c *) 1 = ( b , a * c *) 1 = ( bc , a *) 1 = ( a ( bc ), 1 ) 1 = re a ( bc ) .

Следовательно (( ab ) *, c) = ( ab , c *) = ( b , a * c *) = (1, b *( a * c *)) = (1, ( b * a *) c * ) = ( b * a *, c ) , так что ( ab ) * = b * a * .

Поляризованной идентичностью ‖ a ‖ ² ( c , d ) = ( ac , ad ) = ( a * ( ac ), d ) so l ( a *) l ( a ) = l (‖ a ‖ ² ) ​Применяется к 1, это дает a * = ‖ a ‖ ² 1 ​Замена на * личность . дает другую

Заменить формулу на * ( в l ( a *) l a ) = l ( a * a ) дает L ( a ) ² = L ( а ² ) ​Формула R ( ​ ² ) = R ( a ) ² доказано аналогично.

Классификация

Регулярно проверять, что реальные числа R , комплексные числа C и кватернионы H являются примерами ассоциативных евклидовых алгебр Hurwitz с их стандартными нормами и вовлечениями. Кроме того, есть естественные включения r ⊂ c ⊂ h .

Анализ такого включения приводит к строительству Cayley -Dickson , формализованной AA Albert . Пусть A - евклидовая алгебра Hurwitz, а B - правильная единая субальгебра, так что евклидовая алгебра Hurwitz сам по себе. Выберите единицу вектора j в ортогональном до б . Поскольку ( j , 1) = 0 , следует, что J * = - J и, следовательно, j ² = −1 . Пусть C сгенерированной B и J. будет субальгеброй , Это однозначно и снова является евклидовой алгеброй Hurwitz. Он удовлетворяет следующие законы о умножении Кейли -Диксона :

$\displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}$

B и BJ являются ортогональными, так как J является ортогональным для b . Если A находится в B , то j a = a * j , поскольку по ортогональному 0 = 2 ( j , a *) = ja - a * j . Формула для инволюции следует. Чтобы показать, что B ⊕ B J закрыт при умножении BJ = JB . Поскольку BJ является ортогональным до 1, ( bj )* = - bj .

• b ( cj ) = ( cb ) j Поскольку ( b , j ) = 0 , так что для x in a , ( b ( cj ), x ) = ( b ( jx ), j ( cj )) = - ( b ( jx ), c *) = - ( cb , ( jx ) *) = - (( cb ) j , x *) = (( cb ) j , x ) .
• ( JC ) b = j ( bc ), принимая прилегающие выше.
• ( bj ) ( cj ) = - c * b Поскольку ( b , cj ) = 0, так что для x in a , (( bj ) ( cj ), x ) = - (( cj ) x *, bj ) = ( bx *, ( cj ) j ) = - ( c * b , x ) .

Навязывание мультипликативности нормы на C для A + BJ и C + DJ дает:

$\displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}$

что приводит к

$\displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}$

Следовательно, d ( ac ) = ( da ) c , так что B должен быть ассоциативным .

к включению R в C и C в H. Этот анализ относится Принятие O = H ⊕ H с продуктом и внутренним продуктом выше дает некоммутативную неассоциативную алгебру, генерируемую J = (0, 1) . Это восстанавливает обычное определение чисел Octonions или Cayley . Если А является евклидовой алгеброй, она должна содержать r . Если он строго больше, чем r , приведенный выше аргумент показывает, что он содержит c . Если он больше, чем , он содержит H. C Если он еще больше, он должен содержать o . Но там процесс должен остановиться, потому что O не ассоциативно. На самом деле H не коммутативен, а ( BJ ) = ( ba ) j ≠ ( ab ) j в o .

Теорема. Единственные евклидовые алгебры Hurwitz - это реальные числа, сложные числа, кватернионы и октоны.

Другие доказательства

Доказательства Ли (1948) и Шевалли (1954) используют Алгебры Клиффорда , чтобы показать, что измерение n a a of a должно быть 1, 2, 4 или 8. Фактически, операторы L ( a ) с ( a , 1) = 0 удовлетворяют L ( а ) ² = - ‖ a ‖ ² И так сформируйте настоящую алгебру Клиффорда. Если a -это единый вектор, то L ( A ) -склонность к квадрату - i . Таким образом, n должен быть равномерным или 1 (в этом случае A не содержит единичных векторов ортогональными до 1). Настоящая алгебра Клиффорда и ее комплексификация акт комплексификации A , n -мерного сложного пространства. Если n ровно, n - 1 нечетное , поэтому алгебра Клиффорда имеет ровно два сложных неприводимых представления измерения 2 ^{N /2 - 1} Полем Так что эта сила 2 должна разделить n . Легко увидеть, что это означает, что N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Доказательство Экманна (1943) использует теорию представления конечных групп или теорию проективного представления элементарных 2-групп абельских 2-групп , известных как эквивалентные теории представления реальных алгебр Клиффорда. Действительно, принятие ортонормальной основы e _i ортогонального комплемента 1 приводит к операторам u _i = l ( e _i ) удовлетворительный

$U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).$

Это проективное представление прямого продукта N -1 группы порядка 2. ( N предполагается, что он превышает 1.) Операторы U _I по строительству являются симметричными и ортогональными. На самом деле Экманн построил операторов этого типа немного другим, но эквивалентным образом. На самом деле это метод, изначально следовал в Гурвице (1923) . Предположим, что существует закон о композиции для двух форм

$\displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}$

где z _I билинеарно в x и y . Таким образом

$\displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}$

где матрица t ( x ) = ( a _ij ) является линейной по x . Приведенные выше отношения эквивалентны

$\displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}$

Письмо

$\displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}$

Отношения становятся

$\displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}$

Теперь установите v _i = ( t _n ) ^Т T _я . Таким образом, v _n = i и v ₁ , ..., v _{n -1} -склонность к перекосу, ортогональный удовлетворитель точно одинаковых отношений, как и U _i 's:

$\displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}$

Поскольку V _I - ортогональная матрица с квадратом - я на реальном векторном пространстве , n ровно.

Пусть g - конечная группа, сгенерированная элементами V _I, таким, что

$\displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}$

где ε является центральным в порядке. 2. Подгруппа коммутатора [ g , g ] просто образуется из 1 и ε . Если n нечетно, это совпадает с центром , если , в то время как N n , то даже в центре имеет порядок 4 с дополнительными элементами γ = V ₁ ... V _{N - 1} и ε γ . Если g in g не в центре, его класс сопряженности точно g и εg . Таким образом, есть 2 ^{N - 1} + 1 классы сопряженности для n Odd и 2 ^{N - 1} + 2 для n даже. G имеет | G / [ g , g ] | = 2 ^{N - 1} 1-мерные сложные представления. Общее количество неприводимых сложных представлений - это количество классов сопряженности. Так что, поскольку n ровно, существует еще два неприводимых сложных представления. Поскольку сумма квадратов размеров равна | G | и размеры разделяют | G | , два неприводимых языка должны иметь измерение 2 ^{( N - 2)/2} Полем Когда n evell, есть два, и их измерение должно разделить порядок группы, так же как и сила двух, поэтому они должны иметь измерение 2 ^{( N - 2)/2} Полем Пространство, в котором акт V _I может быть комплексифицирован. Он будет иметь сложное измерение n . Он разбивается на некоторые из сложных непонижаемых представлений G , все они имеют измерение 2 ^{( N - 2)/2} Полем В частности, это измерение составляет ≤ n , поэтому n меньше или равно 8. Если n = 6 , измерение 4, что не делится 6. Таким образом, N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Заявки на Иордан Алгебры

Пусть A будет евклидовой алгеброй Hurwitz и пусть M _N ( A ) будет алгеброй N -by -n Matres по ао . Это единая неассоциативная алгебра с инволюцией, данной

$\displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}$

Trace TR ( x ) определяется как сумма диагональных элементов x и реального трассировки Tr _r ( x ) = re tr ( x ) . Реальная трасса удовлетворяет:

$\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).$

Это непосредственные последствия известных идентичностей для n = 1 .

В определении партнера ​ ​

$\displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}$

Это трилинейно и исчезает идентично, если А ассоциативно. Поскольку A является альтернативной алгеброй [ A , A , B ] = 0 и [ B , A , A ] = 0 . Поляризация следует, что ассоциатор является антисимметричным в трех своих записях. Кроме того, если A , B или C лежат в R , то [ A , B , C ] = 0 . Эти факты подразумевают, что m ₃ ( a ) обладает определенными свойствами коммутации. Фактически, если x - матрица в m ₃ ( a ) с реальными записями на диагонале, тогда

$\displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}$

с ​ ​ ​ . На самом деле, если y = [ x , x ² ] , затем

$\displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}$

Поскольку диагональные записи X являются реальными, вне-диагональные записи Y Vanish. Каждый диагональ Вход Y - это сумма двух партнеров, включающих только по диагональным условиям x . Поскольку ассоциированные инварианты находятся под циклическими перестановками , диагональные записи Y все равны.

Пусть H _n ( a ) будет пространством самостоятельных элементов в m _n ( a ) с продуктом x ∘ y = ⁠ 1/2 ) = , ⁠ ( x y + y x ) внутренний продукт ( x и y tr _r ( x y ) .

Теорема. H _n ( a ) - евклидова Джорданская алгебра, если A ассоциативна (реальные числа, комплексные числа или кватернионы) и n ≥ 3 или если A не является ассоциативным (Octonions) и n = 3 .

Исключительная H Джорданская алгебра ( ₃ O ) после называется Альберт Алгебра А.А. Альберта .

Чтобы проверить, что H _n ( a ) удовлетворяет аксиомам для евклидовой алгебры Джордана, реальная трасса определяет симметричную билинейную форму с ( x , x ) = σ ‖ x _ij ‖ ² Полем Так что это внутренний продукт. Он удовлетворяет свойству ассоциативности ( z ∘ x , y ) = ( x , z ∘ y ) из -за свойств реального следа. Основная аксиома для проверки - это условие Иордании для операторов L ( x ), определяемое L ( x ) y = x ∘ y :

$\displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}$

Это легко проверить, когда А является ассоциативным, так как m _n ( a ) является ассоциативной алгеброй, поэтому алгебра Джордан с x ∘ y = ⁠ 1/2 ⁠ + ( ) x x y . y Когда a = O и n = 3 требуется специальный аргумент, один из самых коротких из которых изходит Freudenthal (1951) .

Фактически, если t в h ₃ ( o ) с tr t = 0 , то

$\displaystyle {D(X)=TX-XT}$

Определяет вывод с агитацией на склоне H ₃ ( O ) . Действительно,

$\operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,$

так что

$(D(X),X^{2})=0.$

Поляризационная доходность:

$(D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.$

Установка z = 1 показывает, что D является атрибут. Свойство деривации d ( x ∘ y ) = d ( x ) ∘ y + x ∘ d ( y ) следует за этим и свойством ассоциативности внутреннего продукта в приведенной выше идентичности.

С A и N как в утверждении теоремы, пусть K - группа автоордиативных эфиров E , = H _n ( a ), оставляя инвариантный внутренний продукт. Это закрытая подгруппа O ( E ), поэтому компактная группа Lie . Его алгебра Lie состоит из дериваций с подкором. Freudenthal (1951) показал, что в x в E есть автоторфизм k, в k такой что k ( x ) - это диагональная матрица . (По самопристора, диагональные записи будут реальными.) Теорема диагонализации Фрейдунала сразу подразумевает состояние Иордана, поскольку Иорданские продукты по реальным диагональным матрицам проходят по M _N ( a ) для любой неассоцитивной A. алгебры

Чтобы доказать теорему диагонализации, возьмите x в e . Благодаря компактности k может быть выбран в k, минимизируя суммы квадратов норм неатморальных членов k ( x ) . Поскольку K сохраняет суммы всех квадратов, это эквивалентно максимизации сумм квадратов норм диагональных членов k ( x ) . Заменяя x на K x , можно предположить, что максимум достигается при x . Поскольку симметричная группа S _N , действующая путем пересечения координат, лежит в K , если x не является диагональю, можно предположить, что x ₁₂ и его соответствующий x ₂₁ ненулевые. Пусть t- матрица с подкором-подсчетом с (2, 1) запись A , 2) запись - a * и 0 в других местах и ​​пусть D -вывод t ad . (1 , Пусть k _t = exp td в k . Тогда только первые две диагональные записи в x ( t ) = k _t x отличаются от x . Диагональные записи реальны. Производная x ₁₁ ( t ) при t = 0 является (1, 1) координата [ t , x ] , то есть a * x ₂₁ + x ₁₂   a = 2 ( x ₂₁ , a ) . Эта производная не нулевой, если a = x ₂₁ . С другой стороны, группа K _T сохраняет реальную трассу. Поскольку это может только измениться x ₁₁ и x ₂₂ , он сохраняет их сумму. Однако на строке x + y = постоянная, x ² + и ² не имеет локального максимума (только глобальный минимум), противоречия. Следовательно, x должен быть диагональю.

Смотрите также

• Мультипликативная квадратичная форма
• Радон - Хурвиц номер
• Фросениус теорема

Ссылки

• Альберт, А.А. (1934), «На определенной алгебре квантовой механики», Ann. математики. , 35 (1): 65–73, doi : 10.2307/1968118 , jstor   1968118
• Chevalley, C. (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебры Клиффорда , издательство Колумбийского университета
• Eckmann, Beno (1943), «Группое -теоретическое доказательство Гервица - предложение Радона о композиции квадратных форм» , комментарий. Математика . ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​  ​
• Eckmann, Beno (1989), "Hurwitz - Radon Matres и Modulo 8" , Enseign. Математика , 35 : 77–91, архивировано с оригинала 2013-06-16
• Eckmann, Beno (1999), «Топология, алгебра, анализ - рецидивы и недостающие звенья» , замечает Amer. Математика Соц , 46 : 520–527
• Faraut, J.; Кораньи А. (1994), Анализ о симметричных конусах , Оксфордские математические монографии, издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0198534778
• Freudenthal, Hans (1951), Октава, исключительные группы и геометрия октавы , математические институты Rijksiniversiteit te utrecht
• и геометрия октавы Geom » , Freudenthal , Hans « . 1985) , Октавен ,   исключительные группы (
• Herstein, в (1968), некоммутативные кольца , Carus Mathematic Monographs, Vol. 15, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0883850152
• Hurwitz, A. (1898), «О композиции квадратных форм любого количества переменных» , Goett. Нахр ​
• Hurwitz, A. (1923), «О композиции квадратных форм» , Math. , 88 (1–2): 1–25, doi : 10.1007/bf01448439 , s2cid   122147399
• Jacobson, N. (1968), Структура и представления Иордании Алгебры , Американское математическое общество публикаций Collequium, Vol. 39, Американское математическое общество
• Джордан, П.; фон Нейман, Дж.; Wigner, E. (1934), «О алгебраическом обобщении квантового механического формализма», Ann. математики. , 35 (1): 29–64, doi : 10.2307/1968117 , jstor   1968117
• Lam, Tsit-yuen (2005), Введение в квадратичные формы по областям , аспирантура по математике , Vol. 67, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1095-8 , MR   2104929 , ZBL   1068.11023
• Lee, HC (1948), «О теореме Гервиц-Радона для композиции квадратичных форм» , как. Математика Хельв , 21 : 261–269, doi : 10.1007/bf02568038 , s2cid   121079375 , архивировано из оригинала 2014-05-03
• Porteous, IR (1969), топологическая геометрия , Ван Ностроренд Рейнхольд, ISBN  978-0-442-06606-2 , Obl   0186.06304
• Постников, М. (1986), Группы лжи и алгебры лей. Лекции в геометрии. Семестр V , Мир
• Radon, J. (1922), «Линейная акула ортогональная матризен» , трактаты из математического семинара в Университете Гамбурга , 1 : 1–14, doi : 10.1007/bf02940576 , s2cid   1205833389
• Rajwade, AR (1993), Squares , Лондонское математическое общество серии Note Note, Vol. 171, издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-42668-8 , ZBL   0785.11022
• Schafer, Richard D. (1995) [1966], Введение в неассоциативные алгебры , публикации Dover , ISBN  978-0-486-68813-8 , ZBL   0145.25601
• Шапиро, Даниэль Б. (2000), Композиции квадратных форм , экспозиции Гриритера в математике, Полет. 33, Уолтер Гритер, ISBN  978-3-11-012629-7 , ZBL   0954.11011

Дальнейшее чтение

• Baez, John C. (2002), «Octonions» , Bull. Амер. Математика Соц , 39 (2): 145–205, arxiv : математика/0105155 , doi : 10.1090/s0273-0979-01-00934-x , s2cid   586512
• Конвей, Джон Х.; Смит, Дерек А. (2003), о кватернионах и октоне: их геометрия, арифметика и симметрия , Ак Петерс, ISBN  978-1568811345
• Кантор, Иллинойс; Солодовников, А.С. (1989), «Нормативные алгебры с идентичностью. Теорема Хервица». , Hypercomplex numbers. Элементарное введение в алгебры , транс. A. Shenitzer (2-е изд.), Springer-Verlag , p. 121 , ISBN  978-0-387-96980-0 , ZBL   0669.17001
• Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) «Алгебры композиции. Теорема Хервица-векторные алгебры», глава 10 чисел Heinz -Dieter Ebbinghaus et al., Springer, ISBN   0-387-97202-1
• Springer, TA ; FD Field Camp (2000), Octonions, Jordan Algebras и Exception Broups , Springer Rolaps , ISBN  978-3-540-66337-9