Композиционная алгебра

В математике композиционная алгебра $A$ над полем $K$ является не обязательно ассоциативной алгеброй над $K$ вместе с невырожденной квадратичной формой $N$ , которая удовлетворяет условию

N(xy)=N(x)N(y)

для всех $x$ и $y$ в $A$ .

Композиционная алгебра включает в себя инволюцию , называемую сопряжением : $x\mapsto x^{*}.$ Квадратичная форма $N(x)=xx^{*}$ называется нормой алгебры.

Композиционная алгебра ( A , *, N ) является либо алгеброй с делением , либо расщепляемой алгеброй , в зависимости от существования ненулевого v в A такого, что N ( v ) = 0, называемого нулевым вектором . ^[1] Когда x является не нулевым вектором, обратный x мультипликативный равен ${\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$ . Когда существует ненулевой нулевой вектор, N является изотропной квадратичной формой и «алгебра распадается».

Структурная теорема

Любая алгебра с единицей над полем $K$ может быть получена повторным применением конструкции Кэли–Диксона , начиная с $K$ (если характеристика K $композиционная$ отличается от $2$ ) или двумерной композиционной подалгебры (если $char(K) = 2$ ). . Возможные размерности композиционной алгебры — $1$ , $2$ , $4$ и $8$ . ^[2]^[3]^[4]

Одномерные композиционные алгебры существуют только тогда, когда $char(K) \neq 2$ .
Композиционные алгебры размерностей 1 и 2 коммутативны и ассоциативны.
Композиционные алгебры размерности 2 являются либо квадратичными расширениями поля K $,$ либо изоморфны $K \oplus K$ .
Композиционные алгебры размерности 4 называются алгебрами кватернионов . Они ассоциативны, но не коммутативны.
Композиционные алгебры размерности 8 называются алгебрами октонионов . Они не являются ни ассоциативными, ни коммутативными.

Для единообразия в терминологии алгебры размерности 1 называются унарионами , а алгебры размерности 2 - бинарионами . ^[5]

Каждая композиционная алгебра является альтернативной алгеброй . ^[3]

Используя удвоенную форму ( _ : _ ): A × A → K по $(a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b),$ тогда след a определяется как ( a :1) и сопряженный с ним a * = ( a :1)e – a , где e — базовый элемент для 1. Ряд упражнений доказывает, что композиционная алгебра всегда является альтернативой. алгебра. ^[6]

Экземпляры и использование

Если в качестве поля $K$ взять комплексные числа $C$ и квадратичную форму $z 2$ , то четырьмя композиционными алгебрами над $C$ являются $C сама$ , бикомплексные числа , бикватернионы (изоморфные кольцу 2 × 2 комплексных матриц $M(2, C)$ ) и биооктонионы $C \otimes O$ , которые также называются комплексными октонионами.

Кольцо матриц $M(2, C)$ уже давно является объектом интереса, в первую очередь как бикватернионы . Гамильтон (1853), позже в изоморфной матричной форме, и особенно как алгебра Паули .

Функция возведения в квадрат $N (x) = x 2$ в поле действительных чисел образует первичную композиционную алгебру.Если поле $K$ принять за вещественные числа $R$ , то останется всего шесть других вещественных композиционных алгебр. ^[3]^: 166 В двух, четырех и восьми измерениях существуют как алгебра с делением , так и расщепленная алгебра :

бинарионы: комплексные числа квадратичной формы

x 2 + и 2

и расщепленные комплексные числа квадратичной формы

x 2 - и 2

,

кватернионы и разделенные кватернионы ,

октонионы и сплит-октонионы .

Каждая композиционная алгебра имеет ассоциированную билинейную форму B( x,y ), построенную с нормой N и поляризационным тождеством :

B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.

^[7]

История

Состав сумм квадратов был отмечен несколькими ранними авторами. Диофант знал о тождестве, включающем сумму двух квадратов, которое теперь называется тождеством Брахмагупты-Фибоначчи , которое также формулируется как свойство евклидовых норм комплексных чисел при умножении. Леонард Эйлер обсудил тождество четырех квадратов в 1748 году, и это побудило В. Р. Гамильтона построить свою четырехмерную алгебру кватернионов . ^[5]^: 62 В 1848 году были описаны тессарины, впервые пролившие свет на бикомплексные числа.

Около 1818 года датский ученый Фердинанд Деген продемонстрировал восьмиквадратную идентичность Дегена , которая позже была связана с нормами элементов алгебры октонионов :

Исторически первая неассоциативная алгебра, числа Кэли ... возникла в контексте теоретико-числовой проблемы квадратичных форм, допускающих композицию... этот теоретико-числовой вопрос может быть преобразован в вопрос, касающийся некоторых алгебраических систем, композиционных алгебр. .. ^[5]^: 61

В 1919 году Леонард Диксон продвинул исследование проблемы Гурвица , проведя обзор усилий на тот момент и продемонстрировав метод удвоения кватернионов для получения чисел Кэли . Он ввел новую мнимую единицу $e$ , а для кватернионов $q$ и $Q$ записывает число Кэли $q + Q e$ . Обозначая кватернион, сопряженный через $q,$ произведение двух чисел Кэли равно ^[8]

(q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.

Сопряженным числом Кэли является $q' - Q e$ , а квадратичная форма равна $qq' + QQ'$ , полученная путем умножения числа на сопряженное ему число. Метод удвоения получил название конструкции Кэли-Диксона .

В 1923 случай вещественных алгебр с положительно определенными формами был ограничен теоремой Гурвица (композиционные алгебры) .

В 1931 году Макс Цорн ввел гамму (γ) в правило умножения в конструкции Диксона для создания разделенных октонионов . ^[9] Адриан Альберт также использовал гамму в 1942 году, когда показал, что удвоение Диксона можно применить к любому полю с функцией возведения в квадрат для построения алгебр бинарионов, кватернионов и октонионов с их квадратичными формами. ^[10] Натан Джейкобсон описал автоморфизмы композиционных алгебр в 1958 году. ^[2]

Классические композиционные алгебры над $R$ и $C$ являются алгебрами с единицей . Композиционные алгебры без мультипликативного тождества были найдены Х.П. Петерссоном ( алгебры Петерссона ) и Сусуму Окубо ( алгебры Окубо ) и другими. ^[11]^: 463–81

См. также

Ссылки

^ Спрингер, штат Калифорния ; Ф.Д. Вельдкамп (2000). Октонионы, жордановые алгебры и исключительные группы . Спрингер Верлаг . стр. 18. ISBN 3-540-66337-1 .
^ Jump up to: ^а ^б Джейкобсон, Натан (1958). «Композиционные алгебры и их автоморфизмы». Доклады Палермского математического клуба . 7 :55–80. дои : 10.1007/bf02854388 . Збл 0083.02702 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Гай Роос (2008) «Исключительные симметричные области», §1: Алгебры Кэли, в книге « Симметрии в комплексном анализе» Брюса Гиллигана и Гая Рооса, том 468 журнала «Современная математика» , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4459-5
^ Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Дуврские публикации . стр. 72–75 . ISBN 0-486-68813-5 . Збл 0145.25601 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Кевин МакКриммон (2004) Вкус джордановой алгебры , Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 МР 2014924
^ Алгебра ассоциативной композиции / Трансцендентальная парадигма # Категориальная трактовка в Wikibooks
^ Артур А. Сэгл и Ральф Э. Уолде (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , страницы 194–200, Academic Press
^ Диксон, Л. Е. (1919), «О кватернионах и их обобщениях и истории теоремы восьми квадратов», Annals of Mathematics , Вторая серия, 20 (3), Annals of Mathematics: 155–171, doi : 10.2307/1967865 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1967865
^ Макс Цорн (1931) «Альтернативные поля и квадратичные системы», статьи математического семинара Гамбургского университета 9 (3/4): 395–402.
^ Альберт, Адриан (1942). «Квадратичные формы, допускающие композицию». Анналы математики . 43 (1): 161–177. дои : 10.2307/1968887 . JSTOR 1968887 . Збл 0060.04003 .
^ Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев , Маркус Рост , Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в «Книге инволюций» , стр. 451–511, Публикации коллоквиума, т. 44, Американское математическое общество ISBN 0-8218-0904-0

Дальнейшее чтение

Фаро, Жак; Кораньи, Адам (1994). Анализ на симметричных конусах . Оксфордские математические монографии. Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк. стр. 81–86. ISBN 0-19-853477-9 . МР 1446489 .
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2 . Збл 1068.11023 .
Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Перспективы в математике. Том. 9. Сан-Диего: Академик Пресс . ISBN 0-12-329650-1 . Збл 0694.53002 .

[1] Спрингер, штат Калифорния ; Ф.Д. Вельдкамп (2000). Октонионы, жордановые алгебры и исключительные группы . Спрингер Верлаг . стр. 18. ISBN 3-540-66337-1 .

[NJ-2] Jump up to: ^а ^б Джейкобсон, Натан (1958). «Композиционные алгебры и их автоморфизмы». Доклады Палермского математического клуба . 7 :55–80. дои : 10.1007/bf02854388 . Збл 0083.02702 .

[GR08-3] Jump up to: ^а ^б ^с Гай Роос (2008) «Исключительные симметричные области», §1: Алгебры Кэли, в книге « Симметрии в комплексном анализе» Брюса Гиллигана и Гая Рооса, том 468 журнала «Современная математика» , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4459-5

[4] Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Дуврские публикации . стр. 72–75 . ISBN 0-486-68813-5 . Збл 0145.25601 .

[KMC-5] Jump up to: ^а ^б ^с Кевин МакКриммон (2004) Вкус джордановой алгебры , Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 МР 2014924

[6] Алгебра ассоциативной композиции / Трансцендентальная парадигма # Категориальная трактовка в Wikibooks

[7] Артур А. Сэгл и Ральф Э. Уолде (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , страницы 194–200, Academic Press

[8] Диксон, Л. Е. (1919), «О кватернионах и их обобщениях и истории теоремы восьми квадратов», Annals of Mathematics , Вторая серия, 20 (3), Annals of Mathematics: 155–171, doi : 10.2307/1967865 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1967865

[9] Макс Цорн (1931) «Альтернативные поля и квадратичные системы», статьи математического семинара Гамбургского университета 9 (3/4): 395–402.

[10] Альберт, Адриан (1942). «Квадратичные формы, допускающие композицию». Анналы математики . 43 (1): 161–177. дои : 10.2307/1968887 . JSTOR 1968887 . Збл 0060.04003 .

[KMRT-11] Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев , Маркус Рост , Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в «Книге инволюций» , стр. 451–511, Публикации коллоквиума, т. 44, Американское математическое общество ISBN 0-8218-0904-0

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]