Алгебра путей

В алгебре алгебра Окубо или псевдооктонионная алгебра — это 8-мерная неассоциативная алгебра, подобная той, которую изучал Сусуму Окубо . ^[1] Алгебры Окубо являются композиционными алгебрами , гибкими алгебрами ( A ( BA ) = ( AB ) A ), допустимыми Ли алгебрами и степенными ассоциативными , но не являются ассоциативными, не альтернативными алгебрами и не имеют единичного элемента.

Примером Окубо была алгебра комплексных матриц размером 3х3 со следом и нулем, с произведением X и Y, заданным выражением aXY + bYX – Tr( XY ) I /3, где I – единичная матрица, а a и b удовлетворяют a + b = 3 ab = 1. Эрмитовы элементы образуют 8-мерную вещественную неассоциативную алгебру с делением . Аналогичная конструкция работает для любой кубической альтернативной сепарабельной алгебры над полем, содержащим примитивный кубический корень из единицы. Алгебра Окубо — это алгебра, построенная таким образом из нулевых элементов центральной простой алгебры степени 3 над полем. ^[2]

Построение алгебры Пара-Гурвица

Алгебры с единицей композиции называются алгебрами Гурвица . ^[3]^: 22 Если основное поле $K$ является полем действительных чисел , а $N$ , положительно определено то $A$ называется евклидовой алгеброй Гурвица .

Скалярное произведение

Если $K$ имеет характеристику, не равную 2, то билинейная форма $( a , b ) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / 2 ⁠ [ N ( а + б ) - N ( а ) - N ( б )]$ связан с квадратичной формой $N$ .

Инволюция в алгебрах Гурвица

Предполагая, что $A$ имеет мультипликативную единицу, определим инволюцию и правого и левого умножения операторы формулой

\displaystyle {{\bar {a}}=-a+2(a,1)1,\,\,\,L(a)b=ab,\,\,\,R(a)b=ba.}

Очевидно, является инволюцией и сохраняет квадратичную форму. Надписи подчеркивают тот факт, что комплексное и кватернионное сопряжение являются его частными случаями. Эти операторы обладают следующими свойствами:

Инволюция является антиавтоморфизмом, т. е. $a b = b a$
$а а знак равно N (а) 1 знак равно а а$
$L (a) = L (a)*$ , $R (a) = R (a)*$ , где $*$ обозначает сопряженный оператор относительно вида $( , )$
$Re(a b) = Re(b a)$ где $Re x = (x + x)/2 = (x, 1)$
$Re((а б) с) = Re(а (б с))$
$Л (а 2) = L (а) 2$ , $Р (а 2) = р (а) 2$ , так что $A$ — альтернативная алгебра

Эти свойства доказываются, начиная с поляризованной версии тождества $(a b, a b) = (a, a)(b, b)$ :

\displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}

Установка $b = 1$ или $d = 1$ дает $L (a) = L (a)*$ и $R (c) = R (c)*$ . Следовательно, $Re(a b) = (a b, 1) = (a, b) = (b a, 1) = Re(b a)$ . Аналогично $(а б, c) знак равно (а б, c) знак равно (б, а c) знак равно (1, б (а c)) знак равно (1, (б а) c) = (б а, c)$ . Следовательно, $Re(a b) c = ((a b) c, 1) = (a b, c) = (a, c b) = (a (b c), 1) = Re(a (b c))$ . Поляризованной идентичностью $N (a) (c, d) = (a c, a d) = (a a c, d)$ поэтому $L (a) L (a) = N (a)$ . Применительно к 1 это дает $a a = N (a)$ . Замена $a$ дает другую $идентичность$ . Подстановка формулы для $a$ в $L (a) L (a) = L (a a)$ дает $L (a) 2 = L (а 2)$ .

Алгебра Пара-Гурвица

Другая операция $*$ может быть определена в алгебре Гурвица как

х * y = х y

Алгебра $(A, * )$ — это композиционная алгебра, обычно не унитарная, известная как пара-Гурвицева алгебра . ^[2]^: 484 В измерениях 4 и 8 это паракватернионы. ^[4] и пара-октонионные алгебры. ^[3]^: 40, 41

Пара-Гурвицева алгебра удовлетворяет ^[3]^: 48

(x*y)*x=x*(y*x)=\langle x|x\rangle y\ .

И наоборот, алгебра с невырожденной симметричной билинейной формой, удовлетворяющая этому уравнению, является либо пара-алгеброй Гурвица, либо восьмимерной псевдооктонионной алгеброй . ^[3]^: 49 Аналогично, гибкая алгебра, удовлетворяющая

\langle xy|xy\rangle =\langle x|x\rangle \langle y|y\rangle \

является либо алгеброй Гурвица, либо пара-алгеброй Гурвица, либо восьмимерной псевдооктонионной алгеброй. ^[3]

Ссылки

^ Сусуму Окубо ( 1978 )
^ Jump up to: ^а ^б Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев , Маркус Рост , Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в «Книге инволюций» , стр. 451–511, Публикации коллоквиума, т. 44, Американское математическое общество ISBN 0-8218-0904-0
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. Том. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-47215-6 . МР 1356224 . Збл 0841.17001 .
^ Термин «паракватернионы» иногда применяется к несвязанным алгебрам.

«Окубо_алгебра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Окубо, Сусуму (1978), «Алгебры псевдокватернионов и псевдооктонионов», Hadronic Journal , 1 (4): 1250–1278, MR 0510100
Сусуму Окубо и Дж. Маршалл Осборн (1981) «Алгебры с невырожденными ассоциативными симметричными билинейными формами, допускающими композицию», Communications in Algebra 9 (12): 1233–61, MR 0618901 и 9(20): 2015–73 МР 0640611 .

[1] Сусуму Окубо ( 1978 )

[KMRT-2] Jump up to: ^а ^б Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев , Маркус Рост , Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в «Книге инволюций» , стр. 451–511, Публикации коллоквиума, т. 44, Американское математическое общество ISBN 0-8218-0904-0

[Ok95-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. Том. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-47215-6 . МР 1356224 . Збл 0841.17001 .

[4] Термин «паракватернионы» иногда применяется к несвязанным алгебрам.

[1]

[2]

[3]

[4]