Матрицы Паули

Вольфганг Паули (1900–1958), ок. 1924. Паули получил Нобелевскую премию по физике в 1945 году, выдвинутую Альбертом Эйнштейном , за принцип исключения Паули .

В математической физике и математике матрицы Паули представляют собой набор из трёх размера 2×2, комплексных матриц которые являются бесследовыми, эрмитовыми , инволютивными и унитарными . Обычно обозначаются греческой буквой сигма ( σ ), иногда обозначаются тау ( τ ), когда используются в связи с изоспина симметрией . $${\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\\\end{aligned}}$$

Эти матрицы названы в честь физика Вольфганга Паули . В квантовой механике они встречаются в уравнении Паули , учитывающем взаимодействие спина частицы с внешним электромагнитным полем . Они также представляют состояния взаимодействия двух поляризационных фильтров для горизонтальной/вертикальной поляризации, 45-градусной поляризации (правая/левая) и круговой поляризации (правая/левая).

Каждая матрица Паули является эрмитовой , и вместе с единичной матрицей I (иногда рассматриваемой как нулевая матрица Паули σ ₀ ), матрицы Паули образуют основу для реального векторного пространства эрмитовых матриц размера 2 × 2 . Это означает, что любую размера 2 × 2 эрмитову матрицу можно единственным образом записать как линейную комбинацию матриц Паули, где все коэффициенты являются действительными числами.

Эрмитовы операторы представляют наблюдаемые в квантовой механике, поэтому матрицы Паули охватывают пространство наблюдаемых комплексного двумерного гильбертова пространства . В контексте работы Паули σ _k представляет собой наблюдаемую, соответствующую вращению вдоль k -й координатной оси в трехмерном евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{3}.$

Матрицы Паули (после умножения на i, чтобы сделать их антиэрмитовыми ) также порождают преобразования в смысле алгебр Ли : матрицы iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ образуют основу реальной алгебры Ли. ${\mathfrak {su}}(2)$, который возводит в степень специальную унитарную группу SU(2) . Алгебра , тремя σ1 _​ , σ2 _, , σ3 _​ изоморфна алгебре Клиффорда матрицами порожденная $\mathbb {R} ^{3},$ и (унитальная) ассоциативная алгебра, порожденная iσ ₁ , iσ ₂ , iσ _3, функционирует тождественно ( изоморфна ) алгебре кватернионов ( $\mathbb {H}$).

Алгебраические свойства

Стол Кэли ; запись показывает значение строки, умноженное на столбец.

×	$\sigma _{x}$	$\sigma _{y}$	$\sigma _{z}$
$\sigma _{x}$	$I$	$i\sigma _{z}$	$-i\sigma _{y}$
$\sigma _{y}$	$-i\sigma _{z}$	$I$	$i\sigma _{x}$
$\sigma _{z}$	$i\sigma _{y}$	$-i\sigma _{x}$	$I$

Все три матрицы Паули можно сжать в одно выражение:

$\sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\,\delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\,\delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}},$

где решение я ² = −1 — это « мнимая единица », а δ _jk — это дельта Кронекера , которая равна +1 , если j = k, и 0 в противном случае. Это выражение полезно для численного «выбора» любой из матриц путем замены значений j = 1, 2, 3, что, в свою очередь, полезно, когда любая из матриц (но не конкретная) должна использоваться в алгебраических манипуляциях.

Матрицы инволютивны :

$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\,\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I,$

где I — единичная матрица .

Определители вид и следы матриц Паули имеют

${\begin{aligned}\det \sigma _{j}&=-1,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&=0,\end{aligned}}$

откуда мы можем сделать вывод, что каждая матрица σ _j имеет собственные значения +1 и −1.

С включением единичной матрицы I (иногда обозначаемой σ ₀ ), матрицы Паули образуют ортогональный базис (в смысле Гильберта–Шмидта ) гильбертова пространства. ${\mathcal {H}}_{2}$ эрмитовых матриц размера 2 × 2 над $\mathbb {R}$, и гильбертово пространство ${\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )$ всех комплексных матриц 2 × 2 над $\mathbb {C}$.

Коммутационные и антикоммутационные отношения.

Коммутационные отношения

Матрицы Паули подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

$[\sigma _{j},\sigma _{k}]=2i\varepsilon _{jkl}\,\sigma _{l},$

где структурная константа ε _jkl представляет собой символ Леви-Чивита и обозначения суммирования Эйнштейна используются .

Эти коммутационные соотношения делают матрицы Паули генераторами представления алгебры Ли. $(\mathbb {R} ^{3},\times )\cong {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {so}}(3).$

Антикоммутационные отношения

Они также удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

$\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}=2\delta _{jk}\,I,$

где $\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}$ определяется как $\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j},$ δ . _jk — Кронекера дельта I обозначает единичную матрицу 2 × 2 .

Эти антикоммутационные отношения делают матрицы Паули генераторами представления алгебры Клиффорда для $\mathbb {R} ^{3},$ обозначенный $\mathrm {Cl} _{3}(\mathbb {R} ).$

Обычная конструкция генераторов $\sigma _{jk}={\tfrac {1}{4}}[\sigma _{j},\sigma _{k}]$ из ${\mathfrak {so}}(3)$ использование алгебры Клиффорда восстанавливает приведенные выше коммутационные соотношения с точностью до неважных числовых коэффициентов.

Ниже в качестве примеров приведены несколько явных коммутаторов и антикоммутаторов:

Коммутаторы	Антикоммутаторы
${\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0\\\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3}\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1}\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{2},\sigma _{3}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{3},\sigma _{1}\right\}&=0\end{aligned}}$

Собственные векторы и собственные значения

Каждая из ( эрмитовых ) матриц Паули имеет два собственных значения : +1 и −1 . Соответствующие нормированные собственные векторы :

${\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\\\psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}},\\\psi _{z+}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Векторы Паули

Вектор Паули определяется формулой $${\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}_{1}+\sigma _{2}{\hat {x}}_{2}+\sigma _{3}{\hat {x}}_{3},$$где ${\hat {x}}_{1}$, ${\hat {x}}_{2}$, и ${\hat {x}}_{3}$ являются эквивалентными обозначениями для более знакомых ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, и ${\hat {z}}$.

Вектор Паули обеспечивает механизм отображения векторного базиса в матричный базис Паули. следующее: $${\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a_{k}\,{\hat {x}}_{k})\cdot (\sigma _{\ell }\,{\hat {x}}_{\ell })=a_{k}\,\sigma _{\ell }\,{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\&=a_{k}\,\sigma _{\ell }\,\delta _{k\ell }=a_{k}\,\sigma _{k}\\&=a_{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+a_{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+a_{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$$используя соглашение Эйнштейна о суммировании .

Более формально это определяет карту из $\mathbb {R} ^{3}$ в векторное пространство бесследового эрмитова $2\times 2$ матрицы. Эта карта кодирует структуры $\mathbb {R} ^{3}$ как нормированное векторное пространство и как алгебра Ли (с векторным произведением в качестве скобки Ли) через функции матриц, что делает отображение изоморфизмом алгебр Ли. Это делает матрицы Паули переплетающимися с точки зрения теории представлений.

Другой способ рассматривать вектор Паули — это $2\times 2$ Эрмитовский бесследовый двойственный матричный вектор, то есть элемент ${\text{Mat}}_{2\times 2}(\mathbb {C} )\otimes (\mathbb {R} ^{3})^{*}$ это отображает ${\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}.$

Отношение полноты

Каждый компонент ${\vec {a}}$ можно восстановить из матрицы (см. соотношение полноты ниже) $${\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}{\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\vec {a}}.$$Это представляет собой обратную карту ${\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}$, давая понять, что отображение является биекцией.

Определитель

Норма задается определителем (с точностью до знака минус) $$\det {\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-|{\vec {a}}|^{2}.$$Тогда, учитывая действие сопряжения ${\text{SU}}(2)$ матрица $U$ на этом пространстве матриц,

$U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}:=U\,{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\,U^{-1},$

мы находим $\det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=\det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}),$ и это $U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}$ является эрмитовым и бесследным. Тогда имеет смысл определить $U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }},$ где ${\vec {a}}'$ имеет ту же норму, что и ${\vec {a}},$ и поэтому интерпретировать $U$ как вращение трехмерного пространства. Фактически оказывается, что специальное ограничение на $U$ означает, что вращение сохраняет ориентацию. Это позволяет определить карту $R:\mathrm {SU} (2)\to \mathrm {SO} (3)$ данный

$U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}=:(R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }},$

где $R(U)\in \mathrm {SO} (3).$ Эта карта является конкретной реализацией двойной обложки $\mathrm {SO} (3)$ к $\mathrm {SU} (2),$ и, следовательно, показывает, что ${\text{SU}}(2)\cong \mathrm {Spin} (3).$ Компоненты $R(U)$ можно восстановить, используя описанный выше процесс трассировки:

$R(U)_{ij}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\right).$

перекрестное произведение

Векторное произведение определяется матричным коммутатором (с точностью до коэффициента $2i$) $$[{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}]=2i\,({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}.$$Действительно, существование нормы следует из того, что $\mathbb {R} ^{3}$ является алгеброй Ли (см. форму Киллинга ).

Это векторное произведение можно использовать для доказательства свойства сохранения ориентации карты выше.

Собственные значения и собственные векторы

Собственные значения $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\$ являются $\ \pm |{\vec {a}}|.$ Это следует непосредственно из бесследности и явного вычисления определителя.

Более абстрактно, без вычисления определителя, что требует явных свойств матриц Паули, это следует из $\ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,$ поскольку это можно разложить на множители $\ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0.$ Стандартный результат линейной алгебры (линейное отображение, удовлетворяющее полиномиальному уравнению, записанному с различными линейными множителями, является диагональным) означает, что из этого следует $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\$ диагональна с возможными собственными значениями $\ \pm |{\vec {a}}|.$ Бесследность $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\$ означает, что он имеет ровно одно из каждого собственного значения.

Его нормированные собственные векторы равны $$\psi _{+}={\frac {1}{{\sqrt {2\left|{\vec {a}}\right|\ (a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|)\ }}\ }}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}};\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.$$Эти выражения становятся единственными для $a_{3}\to -\left|{\vec {a}}\right|$. Их можно спасти, позволив ${\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|(\epsilon ,0,-(1-\epsilon ^{2}/2))$ и берем предел $\epsilon \to 0$, что дает правильные собственные векторы (0,1) и (1,0) $\sigma _{z}$.

Альтернативно можно использовать сферические координаты ${\vec {a}}=a(\sin \vartheta \cos \varphi ,\sin \vartheta \sin \varphi ,\cos \vartheta )$ чтобы получить собственные векторы $\psi _{+}=(\cos(\vartheta /2),\sin(\vartheta /2)\exp(i\varphi ))$ и $\psi _{-}=(-\sin(\vartheta /2)\exp(-i\varphi ),\cos(\vartheta /2))$.

Паули 4-векторный

4-вектор Паули, используемый в теории спиноров, записывается $\ \sigma ^{\mu }\$ с компонентами

$\sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }}).$

Это определяет карту из $\mathbb {R} ^{1,3}$ векторному пространству эрмитовых матриц,

$x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,$

который также кодирует метрику Минковского (в основном с минусовым соглашением) в своем определителе:

$\det(x_{\mu }\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).$

Этот 4-вектор также имеет отношение полноты. Удобно определить второй 4-вектор Паули

${\bar {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }}).$

и разрешить подъем и опускание с помощью метрического тензора Минковского. Тогда соотношение можно записать $$x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}{\Bigr )}.$$

Аналогично случаю 3-вектора Паули, мы можем найти группу матриц, которая действует как изометрия на $\ \mathbb {R} ^{1,3}\ ;$ в этом случае матричная группа $\ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,$ и это показывает $\ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\cong \mathrm {Spin} (1,3).$ Как и выше, это можно явно реализовать для $\ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\$ с компонентами

$\Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\bar {\sigma }}_{\nu }S\sigma ^{\mu }S^{\dagger }\right).$

Фактически, свойство детерминанта абстрактно следует из следовых свойств $\ \sigma ^{\mu }.$ Для $\ 2\times 2\$ матриц имеет место тождество:

$\det(A+B)=\det(A)+\det(B)+\operatorname {tr} (A)\operatorname {tr} (B)-\operatorname {tr} (AB).$

То есть «перекрестные члены» можно записать в виде следов. Когда $\ A,B\$ выбраны разными $\ \sigma ^{\mu }\ ,$ перекрестные члены исчезают. Далее следует, теперь явно показывая суммирование: ${\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).}$ Поскольку матрицы $\ 2\times 2\ ,$ это равно ${\textstyle \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}$

Связь со скалярным и векторным произведением

Векторы Паули элегантно отображают эти коммутационные и антикоммутационные отношения в соответствующие векторные произведения. Добавление коммутатора к антикоммутатору дает

${\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}$

так что,

$~~\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }~.~$

Стягивание каждой части уравнения компонентами двух 3 -векторов a _p и b _q (которые коммутируют с матрицами Паули, т. е. a _p σ _q = σ _q a _p ) для каждой матрицы σ _q и векторной компоненты a _p (и аналогично с b _q ) дает

$~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}.~$

Наконец, перевод обозначения индекса для скалярного произведения и векторного произведения приводит к

$~~{\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\Bigr )}\,I+i{\Bigl (}{\vec {a}}\times {\vec {b}}{\Bigr )}\cdot {\vec {\sigma }}~~$

( 1 )

Если i отождествляется с псевдоскаляром σ _x σ _y σ _z, то правая часть становится $a\cdot b+a\wedge b$, что также является определением произведения двух векторов в геометрической алгебре.

Если мы определим оператор вращения как J = ⁠ ħ / 2 ⁠ σ , то J удовлетворяет коммутационному соотношению: $$\mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\hbar \mathbf {J}$$Или, что то же самое, вектор Паули удовлетворяет: $${\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i{\frac {\vec {\sigma }}{2}}$$

Некоторые следовые отношения

Следующие следы можно получить, используя коммутационные и антикоммутационные соотношения.

${\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\delta _{km}+\delta _{jm}\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}$

матрицу σ ₀ = I Если также рассматривать , эти соотношения становятся

$${\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}$$

где греческие индексы α , β , γ и µ принимают значения из {0, x , y , z } и обозначения ${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$ используется для обозначения суммы по циклической перестановке включенных индексов.

Экспонента вектора Паули

Для

${\vec {a}}=a{\hat {n}},\quad |{\hat {n}}|=1,$

для четных степеней имеем 2 p , p = 0, 1, 2, 3,...

$({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I,$

что можно показать сначала для случая p = 1 , используя антикоммутационные соотношения. Для удобства случай p = 0 принимается за I. по соглашению

Для нечетных степеней 2 q + 1, q = 0, 1, 2, 3,...

$\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,.$

Возведение матрицы в степень и использование ряда Тейлора для синуса и косинуса .

${\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}$.

В последней строке первая сумма — это косинус, а вторая сумма — синус; итак, наконец,

$~~e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}~~$

( 2 )

что аналогично формуле Эйлера , распространенной на кватернионы .

Обратите внимание, что

$\det[ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]=a^{2}$,

в то время как определитель самой экспоненты равен всего 1 , что делает его общим групповым элементом SU(2) .

Более абстрактный вариант формулы (2) для общей матрицы 2×2 можно найти в статье о матричных экспонентах . Общий вариант (2) для аналитической (при a и −a ) применением формулы Сильвестра функции обеспечивается

$f(a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}))=I{\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\frac {f(a)-f(-a)}{2}}.$

Закон группового состава SU(2)

Непосредственное применение формулы (2) дает параметризацию закона композиции группы SU(2) . Можно напрямую решить значение c в $${\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib\left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\left(\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b\right)+i\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\cos {c}+i\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sin c\\&=e^{ic\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)},\end{aligned}}$$

которое задает умножение родовой группы, где, очевидно, $$\cos c=\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b~,$$сферический закон косинусов . Учитывая c , тогда $${\hat {k}}={\frac {1}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\sin a\sin b\right).$$

Следовательно, параметры составного вращения в этом групповом элементе (в данном случае замкнутой форме соответствующего разложения БЧХ ) просто равны

$$e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right).$$

(Конечно, когда ${\hat {n}}$ параллельно ${\hat {m}}$, так и есть ${\hat {k}}$и c = a + b .)

См. Также: Формализмы вращения в трех измерениях § Вектор Родригеса и Спинор § Трехмерные измерения.

Сопутствующее действие

Аналогичным образом несложно вычислить сопряженное действие на вектор Паули, а именно поворот на любой угол. $a$ по любой оси ${\hat {n}}$: $$R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.$$

Скалярное произведение любого единичного вектора с приведенной выше формулой генерирует выражение любого оператора одного кубита при любом вращении. Например, можно показать, что ${\textstyle R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{z}}$.

См. Также: формула вращения Родригеса.

Отношение полноты

Альтернативное обозначение, которое обычно используется для матриц Паули, состоит в том, чтобы записать индекс вектора k в верхнем индексе, а индексы матрицы в качестве нижних индексов, так что элемент в строке α и столбце β k - й матрицы Паули равен σ. ^к _ав .

В этих обозначениях соотношение полноты для матриц Паули можно записать

${\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\,\delta _{\gamma \delta }.$

Доказательство

Тот факт, что матрицы Паули вместе с единичной матрицей I образуют ортогональный базис гильбертова пространства всех комплексных эрмитовых матриц размера 2 × 2, означает, что мы можем выразить любую эрмитову матрицу M как $$M=c\,I+\sum _{k}a_{k}\,\sigma ^{k}$$где c — комплексное число, а a — трехкомпонентный комплексный вектор. Используя перечисленные выше свойства, несложно показать, что $$\operatorname {tr} \left(\sigma ^{j}\,\sigma ^{k}\right)=2\,\delta _{jk}$$где « tr » обозначает след , и, следовательно, что $${\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,M\,,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}\,M.\end{aligned}}\\[3pt]\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M~,\end{aligned}}$$которое можно переписать в терминах матричных индексов как $$2\,M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\,M_{\gamma \gamma }+\sum _{k}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}\,M_{\delta \gamma }~,$$где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам γ и δ . Поскольку это верно для любого выбора матрицы M , соотношение полноты следует, как указано выше. КЭД

Как отмечалось выше, единичную матрицу размера 2 × 2 принято обозначать через σ ₀ , поэтому σ ⁰ _αβ знак равно δ _αβ . Отношение полноты альтернативно может быть выражено как $$\sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }~.$$

Тот факт, что любые эрмитовы комплексные матрицы 2 × 2 могут быть выражены через единичную матрицу и матрицы Паули, также приводит к представлению сферы Блоха 2 × 2 матрицы плотности смешанных состояний ( положительные полуопределенные матрицы 2 × 2 с единичным следом В этом можно убедиться, сначала выразив произвольную эрмитову матрицу как вещественную линейную комбинацию { σ ₀ , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ } , как указано выше, а затем наложив условия положительно-полуопределенности и следа 1 .

В чистом состоянии в полярных координатах $${\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},$$ матрица идемпотентная плотности $${\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}$$

действует на собственный вектор состояния ${\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{+i\phi }\,\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}$ с собственным значением +1, следовательно, он действует как оператор проектирования .

Связь с оператором перестановки

Пусть P _jk будет транспозицией (также известной как перестановка) между двумя спинами σ _j и σ _k, живущими в произведений тензорном пространстве ⁠ $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}$⁠ ,

$P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .$

Этот оператор также можно записать более явно как оператор спинового обмена Дирака :

$P_{jk}={\frac {1}{2}}\,\left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.$

Поэтому его собственные значения равны 1 или −1. Таким образом, его можно использовать как член взаимодействия в гамильтониане, разделяя собственные значения энергии его симметричных и антисимметричных собственных состояний.

СУ(2)

Группа SU(2) — это группа Ли матриц унитарных размера 2 × 2 с единичным определителем; ее алгебра Ли представляет собой множество всех 2 × 2 антиэрмитовых матриц размера со следом 0. Непосредственный расчет, как и выше, показывает, что алгебра Ли ${\mathfrak {su}}_{2}$ — трехмерная вещественная алгебра, натянутая на множество { iσ _k } . В компактных обозначениях

${\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma _{2}\,,\;i\,\sigma _{3}\;\}.$

В результате каждый iσ _j можно рассматривать как бесконечно малый генератор SU(2). Элементы SU (2) представляют собой экспоненты линейных комбинаций этих трех генераторов и умножаются, как указано выше при обсуждении вектора Паули. Хотя этого достаточно для генерации SU(2), это не является правильным представлением su(2) , поскольку собственные значения Паули масштабируются нетрадиционным способом. Традиционная нормировка: λ = ⁠ 1/2 ​ ⁠ так , что

${\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\,i\,\sigma _{1}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{2}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{3}\,}{2}}\right\}.$

Поскольку SU(2) — компактная группа, ее разложение Картана тривиально.

ТАК(3)

Алгебра Ли ${\mathfrak {su}}(2)$ изоморфна алгебре Ли ${\mathfrak {so}}(3)$, что соответствует группе Ли 3) , группе вращений SO ( в трехмерном пространстве. Другими словами, можно сказать, что iσ _j являются реализацией (и, по сути, реализацией самой низкой размерности) бесконечно малых вращений в трехмерном пространстве. Однако, хотя ${\mathfrak {su}}(2)$ и ${\mathfrak {so}}(3)$ изоморфны как алгебры Ли, SU(2) и SO(3) не изоморфны как группы Ли. SU(2) на самом деле является двойным покрытием SO (3) , что означает, что существует групповой гомоморфизм два к одному от SU(2) до SO(3) , см. связь между SO(3) и SU(2) .

Кватернионы

Основная статья: Спинор § Три измерения

Действительная линейная оболочка { I , iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ } изоморфна вещественной алгебре кватернионов , $\mathbb {H}$, представленный диапазоном базисных векторов $\left\{\;\mathbf {1} ,\,\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \;\right\}.$ Изоморфизм из $\mathbb {H}$ этому множеству задается следующим отображением (обратите внимание на обратные знаки матриц Паули): $$\mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}.$$

Альтернативно, изоморфизм может быть достигнут с помощью отображения с использованием матриц Паули в обратном порядке:

$\mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.$

Поскольку множество версоров U ⊂ $\mathbb {H}$ образует группу, изоморфную SU(2) , U дает еще один способ описания SU(2) . Гомоморфизм два к одному из SU (2) в SO (3) может быть задан через матрицы Паули в этой формулировке.

Физика

Классическая механика

Основная статья: Кватернионы и пространственное вращение

В классической механике матрицы Паули полезны в контексте параметров Кэли-Клейна. Матрица P, соответствующая позиции ${\vec {x}}$ точки в пространстве определяется с помощью приведенной выше векторной матрицы Паули,

$P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}=x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{z}.$

Следовательно, матрица преобразования Q _θ для вращений вокруг оси x на угол θ может быть записана через матрицы Паули и единичную матрицу как

$Q_{\theta }={\boldsymbol {1}}\,\cos {\frac {\theta }{2}}+i\,\sigma _{x}\sin {\frac {\theta }{2}}.$

Аналогичные выражения следуют для общих вращений вектора Паули, как подробно описано выше.

Квантовая механика

В квантовой механике каждая матрица Паули связана с оператором углового момента , который соответствует наблюдаемой, описывающей вращение спина . По 1/2 частицы в каждом из трёх пространственных направлений. Как непосредственное следствие упомянутого выше разложения Картана, iσ _j являются генераторами проективного представления ( спинового представления ) группы вращения SO(3), действующего на нерелятивистские частицы со спином 1 ⁄ 2 . Состояния частиц представляются в виде двухкомпонентных спиноров . Таким же образом матрицы Паули связаны с оператором изоспина .

Интересное свойство спина 1/2 заключается в том , частицы что их необходимо повернуть на угол 4 π , чтобы вернуться в исходную конфигурацию. Это связано с соответствием два к одному между SU(2) и SO(3), упомянутым выше, а также с тем фактом, что, хотя можно визуализировать вращение вверх/вниз как полюс север-юг на 2-сфере S ² , они фактически представлены ортогональными векторами в двумерном комплексном гильбертовом пространстве .

Для вращения 1 ⁄ 2 частицы, оператор спина имеет вид J = ⁠ ħ / 2 ⁠ σ , фундаментальное представление SU (2) . Многократно взяв с собой кронекеровские произведения этого представления, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть результирующие операторы спина для систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях при произвольно большом j могут быть вычислены с использованием этого оператора спина и лестничных операторов . Их можно найти в группе вращений SO(3) § Замечание об алгебрах Ли . Аналогичная формула приведенному выше обобщению формулы Эйлера для матриц Паули, группового элемента в терминах спиновых матриц, понятна, но менее проста.

также полезна в квантовой механике Общая группа Паули G _n многочастичных систем и определяется как состоящая из всех n -кратных тензорных произведений матриц Паули.

Релятивистская квантовая механика

В релятивистской квантовой механике спиноры в четырех измерениях представляют собой матрицы размером 4 × 1 (или 1 × 4). Следовательно, матрицы Паули или матрицы Сигмы, действующие на эти спиноры, должны быть матрицами размера 4 × 4. Они определяются в терминах матриц Паули 2 × 2 как

${\mathsf {\Sigma }}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\end{pmatrix}}.$

Из этого определения следует, что $\ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\$ матрицы обладают теми же алгебраическими свойствами, что и σk _{матрицы} .

Однако релятивистский угловой момент представляет собой не трехвектор, а четырехтензор второго порядка . Следовательно $\ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\$ необходимо заменить на Σ _µν , генератор преобразований Лоренца на спинорах . Из-за антисимметрии углового момента Σ _µν также антисимметричны. Следовательно, независимых матриц всего шесть.

Первые три – это $\ \Sigma _{k\ell }\equiv \epsilon _{jk\ell }{\mathsf {\Sigma }}_{j}.$ Остальные три, $\ -i\ \Sigma _{0k}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{k}\ ,$ где Дирака α _k матрицы определяются как

${\mathsf {\alpha }}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\\{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\end{pmatrix}}.$

Релятивистские спиновые матрицы Σ _µν записываются в компактной форме через коммутатор гамма-матриц как

$\Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl [}\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }{\bigr ]}.$

Квантовая информация

В квантовой информации однокубитные представляют квантовые вентили размером 2 × 2 собой унитарные матрицы . Матрицы Паули являются одними из наиболее важных операций с одним кубитом. В этом контексте приведенное выше разложение Картана называется «Z-Y-разложением однокубитного вентиля». Выбор другой пары Картана дает аналогичное «X–Y- разложение однокубитного вентиля » .

См. также

• Алгебра физического пространства
• Спиноры в трех измерениях
• Гамма-матрицы
  • § Базис Дирака
• Угловой момент
• Матрицы Гелл-Манна
• Группа Пуанкаре
• Обобщения матриц Паули
• сфера Блоха
• Четырехквадратное тождество Эйлера
• Обобщения матриц Паули с более высокими спинами см. в разделе « Спин (физика) § Высшие спины».
• Матрица обмена (первая матрица Паули является матрицей обмена второго порядка)
• Сплит-кватернион

Ссылки

• Спиновые матрицы Паули - Фейнмановские лекции по физике
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-8053-8714-5 .
• Шифф, Леонард И. (1968). Квантовая механика . МакГроу-Хилл. ISBN  978-0070552876 .
• Леонхардт, Ульф (2010). Основная квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-14505-3 .