Обобщения матриц Паули

В математике и физике , в частности в квантовой информации , термин «обобщенные матрицы Паули» относится к семействам матриц, которые обобщают (линейные алгебраические) свойства матриц Паули . Здесь суммированы несколько классов таких матриц.

Многокубитные матрицы Паули (эрмитовы)

Этот метод обобщения матриц Паули относится к обобщению одной двухуровневой системы ( кубита ) на несколько таких систем. В частности, обобщенные матрицы Паули для группы $N$ Кубиты — это просто набор матриц, порожденных всеми возможными произведениями матриц Паули на любой из кубитов. ^[1]

Векторное пространство одного кубита $V_{1}=\mathbb {C} ^{2}$ и векторное пространство $N$ кубиты это $V_{N}=\left(\mathbb {C} ^{2}\right)^{\otimes N}\cong \mathbb {C} ^{2^{N}}$ . Мы используем обозначение тензорного произведения

\sigma _{a}^{(n)}=I^{(1)}\otimes \dotsm \otimes I^{(n-1)}\otimes \sigma _{a}\otimes I^{(n+1)}\otimes \dotsm \otimes I^{(N)},\qquad a=1,2,3

обратиться к оператору по $V_{N}$ которая действует как матрица Паули на $n$ кубит и идентичность всех остальных кубитов. Мы также можем использовать $a=0$ для тождественности, т. е. для любого $n$ мы используем ${\textstyle \sigma _{0}^{(n)}=\bigotimes _{m=1}^{N}I^{(m)}}$ . Тогда все многокубитные матрицы Паули представляют собой матрицы вида

\sigma _{\,{\vec {a}}}:=\prod _{n=1}^{N}\sigma _{a_{n}}^{(n)}=\sigma _{a_{1}}\otimes \dotsm \otimes \sigma _{a_{N}},\qquad {\vec {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{N})\in \{0,1,2,3\}^{\times N}

,

то есть для ${\vec {a}}$ вектор целых чисел от 0 до 4. Таким образом, существуют $4^{N}$ такие обобщенные матрицы Паули, если мы добавим тождество ${\textstyle I=\bigotimes _{m=1}^{N}I^{(m)}}$ и $4^{N}-1$ если мы этого не сделаем.

Обозначения

В квантовых вычислениях матрицы Паули принято обозначать одиночными заглавными буквами.

I\equiv \sigma _{0},\qquad X\equiv \sigma _{1},\qquad Y\equiv \sigma _{2},\qquad Z\equiv \sigma _{3}.

Это позволяет индексам в матрицах Паули указывать индекс кубита. Например, в системе с 3 кубитами

X_{1}\equiv X\otimes I\otimes I,\qquad Z_{2}\equiv I\otimes Z\otimes I.

Многокубитные матрицы Паули можно записать как произведения однокубитных матриц Паули на непересекающиеся кубиты. Альтернативно, если это ясно из контекста, символ тензорного произведения $\otimes$ можно опустить, т.е. матрицы Паули без индексов, записанные последовательно, представляют собой тензорное произведение, а не матричное произведение. Например:

XZI\equiv X_{1}Z_{2}=X\otimes Z\otimes I.

Матрицы высшего спина (эрмитовые)

Традиционные матрицы Паули представляют собой матричное представление ${\mathfrak {su}}(2)$ Генераторы алгебры Ли $J_{x}$ , $J_{y}$ , и $J_{z}$ в двумерном неприводимом представлении SU(2) , соответствующем частице со спином 1/2. Они порождают группу Ли SU(2) .

Для обычной частицы спина $s=0,1/2,1,3/2,2,\ldots$ , вместо этого используется $2s+1$ -мерное неприводимое представление.

Обобщенные матрицы Гелл-Манна (эрмитовы)

Этот метод обобщения матриц Паули относится к обобщению двухуровневых систем (матрицы Паули, действующие на кубиты ) до трехуровневых систем ( матрицы Гелла-Манна, действующие на кутриты ) и общих $d$ -системы уровня (обобщенные матрицы Гелл-Манна, действующие на кудиты ).

Строительство

Позволять $E_{jk}$ быть матрицей с 1 в $jk$ -й записи и 0 в других местах. Рассмотрим пространство $d\times d$ сложные матрицы, $\mathbb {C} ^{d\times d}$ , для фиксированного $d$ .

Определите следующие матрицы,

f_{k,j}^{\,\,\,\,\,d}={\begin{cases}E_{kj}+E_{jk}&{\text{for }}k<j,\\-i(E_{jk}-E_{kj})&{\text{for }}k>j.\end{cases}}

и

h_{k}^{\,\,\,d}={\begin{cases}I_{d}&{\text{for }}k=1,\\h_{k}^{\,\,\,d-1}\oplus 0&{\text{for }}1<k<d,\\{\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(h_{1}^{d-1}\oplus (1-d)\right)={\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(I_{d-1}\oplus (1-d)\right)&{\text{for }}k=d\end{cases}}

Набор матриц, определенный выше без единичной матрицы, называется обобщенными матрицами Гелл-Мана в размерности $d$ . ^[2]^[3] Символ ⊕ (используемый в подалгебре Картана выше) означает прямую сумму матрицы .

Обобщенные матрицы Гелл-Манна являются эрмитовыми и бесследовыми по построению, как и матрицы Паули. Можно также проверить, что они ортогональны в Гильберта – Шмидта скалярном произведении на $\mathbb {C} ^{d\times d}$ . По подсчету измерений видно, что они охватывают векторное пространство $d\times d$ сложные матрицы, ${\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )$ . Затем они обеспечивают основу генератора алгебры Ли, действующую на фундаментальном представлении ${\mathfrak {su}}(d)$ .

По размерам $d$ = 2 и 3, приведенная выше конструкция восстанавливает матрицы Паули и Гелл-Манна соответственно.

Обобщенные матрицы Паули Сильвестра (неэрмитовые)

Особенно примечательное обобщение матриц Паули было построено Джеймсом Джозефом Сильвестром в 1882 году. ^[4] Они известны как «матрицы Вейля – Гейзенберга», а также «обобщенные матрицы Паули». ^[5]^[6]

Обрамление

Матрицы Паули $\sigma _{1}$ и $\sigma _{3}$ удовлетворить следующее:

\sigma _{1}^{2}=\sigma _{3}^{2}=I,\quad \sigma _{1}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{1}=e^{\pi i}\sigma _{3}\sigma _{1}.

Так называемая матрица сопряжения Уолша – Адамара имеет вид

W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.

Подобно матрицам Паули, $W$ является одновременно эрмитовым и унитарным . $\sigma _{1},\;\sigma _{3}$ и $W$ удовлетворить отношение

\;\sigma _{1}=W\sigma _{3}W^{*}.

Теперь цель состоит в том, чтобы распространить вышеизложенное на более высокие измерения. $d$ .

Конструкция: матрицы часов и сдвигов.

Исправить размер $d$ как раньше. Позволять $\omega =\exp(2\pi i/d)$ , корень единства. С $\omega ^{d}=1$ и $\omega \neq 1$ , сумма всех корней аннулируется:

1+\omega +\cdots +\omega ^{d-1}=0.

Целочисленные индексы могут затем циклически идентифицироваться по модулю $d$ .

Теперь определим вместе с Сильвестром матрицу сдвига

\Sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\\end{bmatrix}}

и матрица часов ,

\Sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.

Эти матрицы обобщают $\sigma _{1}$ и $\sigma _{3}$ , соответственно.

Заметим, что сохраняется унитарность и бесследность двух матриц Паули, но не эрмитичность в размерностях больше двух. Поскольку матрицы Паули описывают кватернионы , Сильвестр назвал аналоги более высокой размерности «нонионами», «седенионами» и т. д.

Эти две матрицы также являются краеугольным камнем квантово-механической динамики в конечномерных векторных пространствах. ^[7]^[8]^[9] как сформулировано Германом Вейлем , и они находят повседневное применение во многих областях математической физики. ^[10] Матрица часов представляет собой экспоненту положения в «часах» $d$ часов, а матрица сдвига — это просто оператор перевода в этом циклическом векторном пространстве, то есть экспонента импульса. Они являются (конечномерными) представлениями соответствующих элементов группы Вейля-Гейзенберга на $d$ -мерное гильбертово пространство.

Следующие соотношения повторяют и обобщают соотношения матриц Паули:

\Sigma _{1}^{d}=\Sigma _{3}^{d}=I

и отношение переплетения,

\Sigma _{3}\Sigma _{1}=\omega \Sigma _{1}\Sigma _{3}=e^{2\pi i/d}\Sigma _{1}\Sigma _{3},

формулировку Вейля CCR и может быть переписана как

\Sigma _{3}\Sigma _{1}\Sigma _{3}^{d-1}\Sigma _{1}^{d-1}=\omega ~.

С другой стороны, чтобы обобщить матрицу Уолша–Адамара $W$ , примечание

W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{2-1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.

Определите, снова вместе с Сильвестром, следующую аналоговую матрицу: ^[11] все еще обозначается $W$ в небольшом злоупотреблении обозначениями,

W={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega ^{d-1}&\omega ^{2(d-1)}&\cdots &\omega ^{(d-1)^{2}}\\1&\omega ^{d-2}&\omega ^{2(d-2)}&\cdots &\omega ^{(d-1)(d-2)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}~.

Очевидно, что $W$ уже не эрмитово, но все еще унитарно. Прямой расчет доходности

\Sigma _{1}=W\Sigma _{3}W^{*}~,

что и является желаемым аналоговым результатом. Таким образом, $W$ , матрица Вандермонда , представляет собой массив собственных векторов $\Sigma _{1}$ , который имеет те же собственные значения, что и $\Sigma _{3}$ .

Когда $d=2^{k}$ , $W^{*}$ это в точности матрица дискретного преобразования Фурье , преобразующая координаты положения в координаты импульса и наоборот.

Определение

Полная семья $d^{2}$ унитарные (но неэрмитовые) независимые матрицы $\{\sigma _{k,j}\}_{k,j=1}^{d}$ определяется следующим образом:

$\sigma _{k,j}:=\left(\Sigma _{1}\right)^{k}\left(\Sigma _{3}\right)^{j}=\sum _{m=0}^{d-1}|m+k\rangle \omega ^{jm}\langle m|.$

Это обеспечивает известный след-ортогональный базис Сильвестра для ${\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )$ , известные как «нонионы» ${\mathfrak {gl}}(3,\mathbb {C} )$ , "седенионы" ${\mathfrak {gl}}(4,\mathbb {C} )$ , и т. д... ^[12]^[13]

Этот базис можно систематически связать с указанным выше эрмитовым базисом. ^[14] (Например, полномочия $\Sigma _{3}$ , подалгебра Картана , отображать линейные комбинации $h_{k}^{\,\,\,d}$ матрицы.) В дальнейшем его можно использовать для идентификации ${\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )$ , как $d\to \infty$ , с алгеброй скобок Пуассона .

Характеристики

Что касается внутреннего произведения Гильберта – Шмидта на операторах, $\langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)$ , обобщенные операторы Паули Сильвестра ортогональны и нормированы на ${\sqrt {d}}$ :

\langle \sigma _{k,j},\sigma _{k',j'}\rangle _{\text{HS}}=\delta _{kk'}\delta _{jj'}\|\sigma _{k,j}\|_{\text{HS}}^{2}=d\delta _{kk'}\delta _{jj'}

.

Это можно проверить непосредственно из приведенного выше определения $\sigma _{k,j}$ .

См. также

Примечания

^ Браун, Адам Р.; Сасскинд, Леонард (25 апреля 2018 г.). «Второй закон квантовой сложности». Физический обзор D . 97 (8): 086015. arXiv : 1701.01107 . Бибкод : 2018PhRvD..97h6015B . дои : 10.1103/PhysRevD.97.086015 . S2CID 119199949 .
^ Кимура, Г. (2003). «Вектор Блоха для систем N-уровня». Буквы по физике А. 314 (5–6): 339–349. arXiv : Quant-ph/0301152 . Бибкод : 2003PhLA..314..339K . дои : 10.1016/S0375-9601(03)00941-1 . S2CID 119063531 .
^ Бертльманн, Райнхольд А.; Филипп Краммер (13 июня 2008 г.). «Векторы Блоха для кудитов». Физический журнал A: Математический и теоретический . 41 (23): 235303. arXiv : 0806.1174 . Бибкод : 2008JPhA...41w5303B . дои : 10.1088/1751-8113/41/23/235303 . ISSN 1751-8121 . S2CID 118603188 .
^ Сильвестр, Джей-Джей (1882), Проспекты Университета Джонса Хопкинса I : 241-242; там же II (1883) 46;там же III (1884) 7–9. Краткое изложение в «Сборнике статей по математике Джеймса Джозефа Сильвестра» (издательство Кембриджского университета, 1909 г.), т. III . онлайн и дальше .
^ Эпплби, DM (май 2005 г.). «Симметричные информационно полно-положительные операторнозначные меры и расширенная группа Клиффорда» . Журнал математической физики . 46 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0412001 . Бибкод : 2005JMP....46e2107A . дои : 10.1063/1.1896384 . ISSN 0022-2488 .
^ Ховард, Марк; Вала, Иржи (15 августа 2012 г.). «Кудит-версии вентиля кубита π/8» . Физический обзор А. 86 (2): 022316. arXiv : 1206.1598 . Бибкод : 2012PhRvA..86b2316H . дои : 10.1103/PhysRevA.86.022316 . ISSN 1050-2947 . S2CID 56324846 .
^ Вейль, Х. , «Квантовая механика и теория групп», Journal of Physics , 46 (1927), стр. 1–46, дои : 10.1007/BF02055756 .
^ Вейль, Х., Теория групп и квантовая механика (Дувр, Нью-Йорк, 1931)
^ Сантанам, ТС; Текумалла, Арканзас (1976). «Квантовая механика в конечных измерениях». Основы физики . 6 (5): 583. Бибкод : 1976FoPh....6..583S . дои : 10.1007/BF00715110 . S2CID 119936801 .
^ Полезный обзор см. Вурдас А. (2004), «Квантовые системы с конечным гильбертовым пространством», Rep. Prog. Физ. 67 267. два : 10.1088/0034-4885/67/3/R03 .
^ Сильвестр, Джей-Джей (1867). «Мысли об обратных ортогональных матрицах, одновременной последовательности знаков и мозаичных тротуарах двух или более цветов с применением к правилу Ньютона, декоративной плитке и теории чисел». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 34 (232): 461–475. дои : 10.1080/14786446708639914 .
^ Патера, Дж.; Зассенхаус, Х. (1988). «Матрицы Паули в n измерениях и тончайшие градуировки простых алгебр Ли типа An−1». Журнал математической физики . 29 (3): 665. Бибкод : 1988JMP....29..665P . дои : 10.1063/1.528006 .
^ Поскольку все индексы определяются циклически по модулю $d$ , $\mathrm {tr} \Sigma _{1}^{j}\Sigma _{3}^{k}\Sigma _{1}^{m}\Sigma _{3}^{n}=\omega ^{km}d~\delta _{j+m,0}\delta _{k+n,0}$ .
^ Фэрли, Д.Б.; Флетчер, П.; Захос, СК (1990). «Бесконечномерные алгебры и тригонометрический базис классических алгебр Ли». Журнал математической физики . 31 (5): 1088. Бибкод : 1990JMP....31.1088F . дои : 10.1063/1.528788 .

[1] Браун, Адам Р.; Сасскинд, Леонард (25 апреля 2018 г.). «Второй закон квантовой сложности». Физический обзор D . 97 (8): 086015. arXiv : 1701.01107 . Бибкод : 2018PhRvD..97h6015B . дои : 10.1103/PhysRevD.97.086015 . S2CID 119199949 .

[2] Кимура, Г. (2003). «Вектор Блоха для систем N-уровня». Буквы по физике А. 314 (5–6): 339–349. arXiv : Quant-ph/0301152 . Бибкод : 2003PhLA..314..339K . дои : 10.1016/S0375-9601(03)00941-1 . S2CID 119063531 .

[3] Бертльманн, Райнхольд А.; Филипп Краммер (13 июня 2008 г.). «Векторы Блоха для кудитов». Физический журнал A: Математический и теоретический . 41 (23): 235303. arXiv : 0806.1174 . Бибкод : 2008JPhA...41w5303B . дои : 10.1088/1751-8113/41/23/235303 . ISSN 1751-8121 . S2CID 118603188 .

[4] Сильвестр, Джей-Джей (1882), Проспекты Университета Джонса Хопкинса I : 241-242; там же II (1883) 46;там же III (1884) 7–9. Краткое изложение в «Сборнике статей по математике Джеймса Джозефа Сильвестра» (издательство Кембриджского университета, 1909 г.), т. III . онлайн и дальше .

[5] Эпплби, DM (май 2005 г.). «Симметричные информационно полно-положительные операторнозначные меры и расширенная группа Клиффорда» . Журнал математической физики . 46 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0412001 . Бибкод : 2005JMP....46e2107A . дои : 10.1063/1.1896384 . ISSN 0022-2488 .

[6] Ховард, Марк; Вала, Иржи (15 августа 2012 г.). «Кудит-версии вентиля кубита π/8» . Физический обзор А. 86 (2): 022316. arXiv : 1206.1598 . Бибкод : 2012PhRvA..86b2316H . дои : 10.1103/PhysRevA.86.022316 . ISSN 1050-2947 . S2CID 56324846 .

[7] Вейль, Х. , «Квантовая механика и теория групп», Journal of Physics , 46 (1927), стр. 1–46, дои : 10.1007/BF02055756 .

[8] Вейль, Х., Теория групп и квантовая механика (Дувр, Нью-Йорк, 1931)

[9] Сантанам, ТС; Текумалла, Арканзас (1976). «Квантовая механика в конечных измерениях». Основы физики . 6 (5): 583. Бибкод : 1976FoPh....6..583S . дои : 10.1007/BF00715110 . S2CID 119936801 .

[10] Полезный обзор см. Вурдас А. (2004), «Квантовые системы с конечным гильбертовым пространством», Rep. Prog. Физ. 67 267. два : 10.1088/0034-4885/67/3/R03 .

[11] Сильвестр, Джей-Джей (1867). «Мысли об обратных ортогональных матрицах, одновременной последовательности знаков и мозаичных тротуарах двух или более цветов с применением к правилу Ньютона, декоративной плитке и теории чисел». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 34 (232): 461–475. дои : 10.1080/14786446708639914 .

[12] Патера, Дж.; Зассенхаус, Х. (1988). «Матрицы Паули в n измерениях и тончайшие градуировки простых алгебр Ли типа An−1». Журнал математической физики . 29 (3): 665. Бибкод : 1988JMP....29..665P . дои : 10.1063/1.528006 .

[13] Поскольку все индексы определяются циклически по модулю $d$ , $\mathrm {tr} \Sigma _{1}^{j}\Sigma _{3}^{k}\Sigma _{1}^{m}\Sigma _{3}^{n}=\omega ^{km}d~\delta _{j+m,0}\delta _{k+n,0}$ .

[14] Фэрли, Д.Б.; Флетчер, П.; Захос, СК (1990). «Бесконечномерные алгебры и тригонометрический базис классических алгебр Ли». Журнал математической физики . 31 (5): 1088. Бибкод : 1990JMP....31.1088F . дои : 10.1063/1.528788 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]