Обобщенная алгебра Клиффорда

В математике обобщенная алгебра Клиффорда (GCA) — это с единицей ассоциативная алгебра , которая обобщает алгебру Клиффорда и восходит к работам Германа Вейля . ^[1] который использовал и формализовал эти операторы часов и сдвига, введенные Дж. Дж. Сильвестром (1882 г.), ^[2] и организован Картаном (1898 г.) ^[3] и Швингер . ^[4]

Матрицы часов и сдвигов находят повседневное применение во многих областях математической физики, обеспечивая краеугольный камень квантово-механической динамики в конечномерных векторных пространствах . ^[5]^[6]^[7] понятие спинора . С этими алгебрами можно далее связать ^[6]

Термин «обобщенные алгебры Клиффорда» также может относиться к ассоциативным алгебрам, которые построены с использованием форм более высокой степени вместо квадратичных форм. ^[8]^[9]^[10]^[11]

Определение и свойства

Абстрактное определение

- мерная $n$ обобщенная алгебра Клиффорда определяется как ассоциативная алгебра над полем $F$ , порожденная ^[12]

{\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega _{jk}e_{k}e_{j}\\\omega _{jk}e_{l}&=e_{l}\omega _{jk}\\\omega _{jk}\omega _{lm}&=\omega _{lm}\omega _{jk}\end{aligned}}

и

e_{j}^{N_{j}}=1=\omega _{jk}^{N_{j}}=\omega _{jk}^{N_{k}}\,

$\forall j, k, л, м знак равно 1,..., п$ .

Более того, в любом неприводимом матричном представлении, актуальном для физических приложений, требуется, чтобы

\omega _{jk}=\omega _{kj}^{-1}=e^{2\pi i\nu _{kj}/N_{kj}}

$\forall j, k = 1,..., n$ , и $N_{kj}={}$ НОД $(N_{j},N_{k})$ . В качестве поля $F$ принимают комплексные числа C. обычно

Более конкретное определение

В наиболее частых случаях ГКА ^[6] n $=$ алгебра Клиффорда порядка $p$ обладает свойством $ω kj -мерная обобщенная ω$ , $N_{k}=p$ для всех j , k и $\nu _{kj}=1$ . Отсюда следует, что

{\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega \,e_{k}e_{j}\,\\\omega e_{l}&=e_{l}\omega \,\end{aligned}}

и

e_{j}^{p}=1=\omega ^{p}\,

для всех j , k ,l = 1,..., n и

\omega =\omega ^{-1}=e^{2\pi i/p}

является $корнем p-$ й степени из 1.

В литературе существует несколько определений обобщенной алгебры Клиффорда. ^[13]

Алгебра Клиффорда

В (ортогональной) алгебре Клиффорда элементы подчиняются правилу антикоммутации с $ω = -1 и p = 2$ .

Матричное представление

Матрицы Clock и Shift могут быть представлены ^[14] матрицами $n \times n$ в канонических обозначениях Швингера как

{\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\0&0&\ddots &1&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{(n-1)}\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{n-1}\\1&\omega ^{2}&(\omega ^{2})^{2}&\cdots &\omega ^{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega ^{n-1}&\omega ^{2(n-1)}&\cdots &\omega ^{(n-1)^{2}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

.

Примечательно, что $В. н = 1$ , $VU = ωUV$ ( соотношения сплетения Вейля ) и $W -1 VW = U$ ( дискретное преобразование Фурье ). При $e 1 = V, e 2 = VU и e 3 = U$ имеется три базисных элемента, которые вместе с $ω$ удовлетворяют вышеуказанным условиям обобщенной алгебры Клиффорда (GCA).

Эти матрицы, $V$ и $U$ , обычно называемые « матрицами сдвига и тактовой частоты », были введены Дж. Дж. Сильвестром в 1880-х годах. (Обратите внимание, что матрицы $V$ циклических представляют собой матрицы перестановок , которые выполняют круговой сдвиг ; их не следует путать с матрицами верхнего и нижнего сдвига , у которых они есть только выше или ниже диагонали соответственно).

Конкретные примеры

Случай $n = p = 2$

В этом случае имеем $ω$ = −1 и

{\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}

таким образом

{\begin{aligned}e_{1}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{2}&={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{3}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}

,

которые составляют матрицы Паули .

Случай $n = p = 4$

В этом случае мы имеем $ω$ = $i$ и

{\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&i&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-i\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\end{pmatrix}}\end{aligned}}

и $e 1, e 2, e 3$ могут быть определены соответственно.

См. также

Ссылки

^ Вейль, Х. (1927). «Квантовая механика и теория групп». Журнал физики . 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W . дои : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 .
— (1950) [1931]. Теория групп и квантовая механика . Дувр. ISBN 9780486602691 .
^ Сильвестр, Дж. Дж. (1882), Слово о нонионах , Проспекты Университета Джона Хопкинса, том. Я, стр. 241–2 ; там же II (1883) 46;там же III (1884) 7–9. Краткое изложение в «Сборнике статей по математике Джеймса Джозефа Сильвестра» (издательство Кембриджского университета, 1909 г.), т. III . онлайн и дальше .
^ Картан, Э. (1898). «Билинейные группы и комплексные системы счисления» (PDF) . Анналы факультета наук Тулузы . 12 (1): В65–В99.
^ Швингер, Дж. (апрель 1960 г.). «Унитарные операторские базы» . Proc Natl Acad Sci США . 46 (4): 570–9. Бибкод : 1960PNAS...46..570S . дои : 10.1073/pnas.46.4.570 . ПМК 222876 . ПМИД 16590645 .
— (1960). «Унитарные преобразования и принцип действия» . Proc Natl Acad Sci США . 46 (6): 883–897. Бибкод : 1960PNAS...46..883S . дои : 10.1073/pnas.46.6.883 . ПМК 222951 . ПМИД 16590686 .
^ Сантанам, ТС; Текумалла, Арканзас (1976). «Квантовая механика в конечных измерениях». Основы физики . 6 (5): 583. Бибкод : 1976FoPh....6..583S . дои : 10.1007/BF00715110 . S2CID 119936801 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с См. например: Граник, А.; Росс, М. (1996). «О новой основе обобщенной алгебры Клиффорда и ее приложения к квантовой механике» . В Абламовиче, Р.; Парра, Дж.; Лунесто, П. (ред.). Алгебры Клиффорда с приложениями для числовых и символьных вычислений . Биркхойзер. стр. 101–110. ISBN 0-8176-3907-1 .
^ Квасьневский, АК (1999). «Об обобщенной алгебре Клиффорда C ^(н)₄ и квантовая группа GL _q (2; C). Успехи в прикладной алгебре Клиффорда . 9 (2): 249–260. arXiv : math/0403061 . doi : 10.1007/BF03042380 . S2CID 117093671 .
^ Тессер, Стивен Бэрри (2011). «Обобщенные алгебры Клиффорда и их представления». В Микали, А.; Буде, Р.; Хельмстеттер, Дж. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике . Спрингер. стр. 133–141 . ISBN 978-90-481-4130-2 .
^ Чайлдс, Линдси Н. (30 мая 2007 г.). «Линеаризация n-ических форм и обобщенные алгебры Клиффорда». Линейная и полилинейная алгебра . 5 (4): 267–278. дои : 10.1080/03081087808817206 .
^ Паппасена, Кристофер Дж. (июль 2000 г.). «Матричные пучки и обобщенная алгебра Клиффорда» . Линейная алгебра и ее приложения . 313 (1–3): 1–20. дои : 10.1016/S0024-3795(00)00025-2 .
^ Чепмен, Адам; Куо, Юнг-Мяо (апрель 2015 г.). «Об обобщенной алгебре Клиффорда монического полинома». Линейная алгебра и ее приложения . 471 : 184–202. arXiv : 1406.1981 . дои : 10.1016/j.laa.2014.12.030 . S2CID 119280952 .
^ Полезный обзор см. Вурдас, А. (2004). «Квантовые системы с конечным гильбертовым пространством». Отчеты о прогрессе в физике . 67 (3): 267–320. Бибкод : 2004РПФ...67..267В . дои : 10.1088/0034-4885/67/3/R03 .
^ См., например, обзор, представленный в: Смит, Тара Л. «Разложение обобщенных алгебр Клиффорда» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 12 июня 2010 г.
^ Рамакришнан, Аллади (1971). «Обобщенная алгебра Клиффорда и ее приложения - новый подход к внутренним квантовым числам». Материалы конференции по алгебре Клиффорда, ее обобщениям и приложениям, 30 января – 1 февраля 1971 г. (PDF) . Мадрас: Matscience . стр. 87–96.

Дальнейшее чтение

Фэрли, Д.Б.; Флетчер, П.; Захос, СК (1990). «Бесконечномерные алгебры и тригонометрический базис классических алгебр Ли». Журнал математической физики . 31 (5): 1088. Бибкод : 1990JMP....31.1088F . дои : 10.1063/1.528788 .
Джаганнатан, Р. (2010). «Об обобщенных алгебрах Клиффорда и их физических приложениях». arXiv : 1005.4300 [ math-ph ]. (В «Наследии Аллади Рамакришнана в математических науках» (стр. 465–489). Спрингер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.)
Моринага, К.; Ноно, Т. (1952). «О линеаризации формы высшей степени и ее представлении» . Дж. Наук. Хиросимский университет. Сер. А. 16 : 13–41. дои : 10.32917/hmj/1557367250 .
Моррис, АО (1967). «Об обобщенной алгебре Клиффорда». Кварта. J. Math (Оксфорд . 18 (1): 7–12. Бибкод : 1967QJMat..18....7M.doi : / qmath 10.1093 /18.1.7 .
Моррис, АО (1968). «Об обобщенной алгебре Клиффорда II». Кварта. J. Math (Оксфорд 19 ( 1): 289–299. Бибкод : 1968QJMat..19..289M.doi 10.1093/ qmath : . /19.1.289 .

[1] Вейль, Х. (1927). «Квантовая механика и теория групп». Журнал физики . 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W . дои : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 .
— (1950) [1931]. Теория групп и квантовая механика . Дувр. ISBN 9780486602691 .

[2] Сильвестр, Дж. Дж. (1882), Слово о нонионах , Проспекты Университета Джона Хопкинса, том. Я, стр. 241–2 ; там же II (1883) 46;там же III (1884) 7–9. Краткое изложение в «Сборнике статей по математике Джеймса Джозефа Сильвестра» (издательство Кембриджского университета, 1909 г.), т. III . онлайн и дальше .

[3] Картан, Э. (1898). «Билинейные группы и комплексные системы счисления» (PDF) . Анналы факультета наук Тулузы . 12 (1): В65–В99.

[4] Швингер, Дж. (апрель 1960 г.). «Унитарные операторские базы» . Proc Natl Acad Sci США . 46 (4): 570–9. Бибкод : 1960PNAS...46..570S . дои : 10.1073/pnas.46.4.570 . ПМК 222876 . ПМИД 16590645 .
— (1960). «Унитарные преобразования и принцип действия» . Proc Natl Acad Sci США . 46 (6): 883–897. Бибкод : 1960PNAS...46..883S . дои : 10.1073/pnas.46.6.883 . ПМК 222951 . ПМИД 16590686 .

[5] Сантанам, ТС; Текумалла, Арканзас (1976). «Квантовая механика в конечных измерениях». Основы физики . 6 (5): 583. Бибкод : 1976FoPh....6..583S . дои : 10.1007/BF00715110 . S2CID 119936801 .

[granik-et-al-1996-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с См. например: Граник, А.; Росс, М. (1996). «О новой основе обобщенной алгебры Клиффорда и ее приложения к квантовой механике» . В Абламовиче, Р.; Парра, Дж.; Лунесто, П. (ред.). Алгебры Клиффорда с приложениями для числовых и символьных вычислений . Биркхойзер. стр. 101–110. ISBN 0-8176-3907-1 .

[7] Квасьневский, АК (1999). «Об обобщенной алгебре Клиффорда C ^(н)₄ и квантовая группа GL _q (2; C). Успехи в прикладной алгебре Клиффорда . 9 (2): 249–260. arXiv : math/0403061 . doi : 10.1007/BF03042380 . S2CID 117093671 .

[8] Тессер, Стивен Бэрри (2011). «Обобщенные алгебры Клиффорда и их представления». В Микали, А.; Буде, Р.; Хельмстеттер, Дж. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике . Спрингер. стр. 133–141 . ISBN 978-90-481-4130-2 .

[9] Чайлдс, Линдси Н. (30 мая 2007 г.). «Линеаризация n-ических форм и обобщенные алгебры Клиффорда». Линейная и полилинейная алгебра . 5 (4): 267–278. дои : 10.1080/03081087808817206 .

[10] Паппасена, Кристофер Дж. (июль 2000 г.). «Матричные пучки и обобщенная алгебра Клиффорда» . Линейная алгебра и ее приложения . 313 (1–3): 1–20. дои : 10.1016/S0024-3795(00)00025-2 .

[11] Чепмен, Адам; Куо, Юнг-Мяо (апрель 2015 г.). «Об обобщенной алгебре Клиффорда монического полинома». Линейная алгебра и ее приложения . 471 : 184–202. arXiv : 1406.1981 . дои : 10.1016/j.laa.2014.12.030 . S2CID 119280952 .

[12] Полезный обзор см. Вурдас, А. (2004). «Квантовые системы с конечным гильбертовым пространством». Отчеты о прогрессе в физике . 67 (3): 267–320. Бибкод : 2004РПФ...67..267В . дои : 10.1088/0034-4885/67/3/R03 .

[13] См., например, обзор, представленный в: Смит, Тара Л. «Разложение обобщенных алгебр Клиффорда» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 12 июня 2010 г.

[14] Рамакришнан, Аллади (1971). «Обобщенная алгебра Клиффорда и ее приложения - новый подход к внутренним квантовым числам». Материалы конференции по алгебре Клиффорда, ее обобщениям и приложениям, 30 января – 1 февраля 1971 г. (PDF) . Мадрас: Matscience . стр. 87–96.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]