Гировекторное пространство

Гировекторное пространство — математическая концепция, предложенная Абрахамом А. Унгером для изучения гиперболической геометрии по аналогии с тем, как векторные пространства используются в евклидовой геометрии . Унгар ввел концепцию гировекторов, сложение которых основано на гирогруппах, вместо векторов, сложение которых основано на группах . Унгар разработал свою концепцию как инструмент для формулировки специальной теории относительности в качестве альтернативы использованию преобразований Лоренца для представления композиции скоростей (также называемых повышениями - «повышения» являются аспектами относительных скоростей , и их не следует путать с « переносами »). ). Это достигается за счет введения «операторов-гироскопов»; два трехмерных вектора скорости используются для построения оператора, который действует на другую трехмерную скорость.

Имя

Гирогруппы представляют собой слабоассоциативные группоподобные структуры. Унгар предложил термин гирогруппа для того, что он назвал гирокоммутативной гирогруппой, при этом термин гирогруппа был зарезервирован для негирокоммутативного случая, по аналогии с группами и абелевыми группами . Гирогруппы — это разновидность петли Бола . Гирокоммутативные гирогруппы эквивалентны K-петлям. хотя определяется по-другому. Условия петли Брука и диадический симсет также используются.

Математика гировекторных пространств

Гирогруппы

Аксиомы

Гирогруппа ​ ( G , $\oplus$) состоит из базового набора G и бинарной операции $\oplus$ удовлетворяющие следующим аксиомам:

1. В G существует хотя бы один элемент 0, называемый левым тождеством с 0. $\oplus$ a = a всех a в G. для
2. Для каждого a в G существует элемент $\ominus$a в G называется левым обратным a с ( $\ominus$а ) $\oplus$ а = 0.
3. Для любых a , b , c в G существует единственный элемент gyr[ a , b ] c в G такой, что бинарная операция подчиняется левому гироассоциативному закону: a $\oplus$ ( б $\oplus$ в ) = ( а $\oplus$ б ) $\oplus$ гыр[ а , б ] c
4. Отображение gyr[ a , b ]: G → G, заданное формулой c ↦ gyr[ a , b ] c является автоморфизмом магмы , ( G , $\oplus$) – то есть gyr[ a , b ] является членом Aut( G , $\oplus$), а автоморфизм gyr[ a , b ] группы G называется гироавтоморфизмом группы G, порожденным a , b в G . Операция gyr: G × G → Aut( G , $\oplus$) называется гиратором G .
5. Гироавтоморфизм gyr[ a , b ] обладает свойством левой петли gyr[ a , b ] = gyr[ a $\oplus$ б , б ]

Первая пара аксиом аналогична аксиомам группы . Последняя пара представляет аксиомы гиратора, а средняя аксиома связывает две пары.

Поскольку гирогруппа имеет обратные и единицу, она квалифицируется как квазигруппа и петля .

Гирогруппы являются обобщением групп . Каждая группа является примером гирогруппы с gyr[ a , b определенной как тождественная карта для всех a и b в G. ] ,

Пример конечной гирогруппы приведен в .

Личности

Некоторые тождества, справедливые в любой гирогруппе ( G , $\oplus$) являются:

1. $\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))$ (вращение)
2. $\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w}$ (левая ассоциативность)
3. $(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )$ (правая ассоциативность)

Кроме того, можно доказать закон инверсии гирации, который является мотивацией для определения гирокоммутативности ниже:

1. $\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )$ (закон инверсии вращения)

Некоторые дополнительные теоремы, которым удовлетворяет группа гирации любой гирогруппы, включают:

1. $\mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I$ (идентификация)
2. $\mathrm {gyr} ^{-1}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]$ (закон обращения гироавтоморфизма)
3. $\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\ominus \mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]$ (движение даже собственности)
4. $\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ]$ (свойство правого цикла)
5. $\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,\mathbf {v} ]$ (свойство левого цикла)

Дополнительные личности указаны на стр. 50 . Одним из особенно полезных следствий приведенных выше тождеств является то, что гирогруппы удовлетворяют левому свойству Бола.

1. $(\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ))\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} ))$

Гирокоммутативность

Гирогруппа (Г, $\oplus$) гирокоммутативна , если ее бинарная операция подчиняется гирокоммутативному закону: a $\oplus$ b = gyr[ a , b ]( b $\oplus$ а ). Для сложения релятивистских скоростей эта формула, показывающая роль вращения, связывающая a + b и b + a, была опубликована в 1914 году Людвиком Зильберштейном .

Коаддиция

В каждой гирогруппе можно определить вторую операцию, коаддицией : называемую $\boxplus$ б = а $\oplus$ диск [ и , $\ominus$б ] б всех а , б € G. для Коприсоединение коммутативно, если сложение гирогрупп гирокоммутативно.

Модель диска/шара Бельтрами-Клейна и дополнение Эйнштейна

Релятивистские скорости можно рассматривать как точки в модели Бельтрами-Клейна гиперболической геометрии, поэтому сложение векторов в модели Бельтрами-Клейна можно задать формулой сложения скоростей . Чтобы формула могла быть обобщена для сложения векторов в гиперболическом пространстве размерностей больше 3, формула должна быть записана в форме, позволяющей избежать использования векторного произведения в пользу скалярного произведения .

В общем случае эйнштейновское сложение двух скоростей $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ задается в координатно-независимой форме как:

$\mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}$

где $\gamma _{\mathbf {u} }$ - гамма-фактор, определяемый уравнением $\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Используя координаты, это становится:

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}$

где $\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Сложение скоростей Эйнштейна коммутативно и ассоциативно только тогда, когда $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ параллельны ​ . Фактически

$\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )$

и

$\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w}$

где «gyr» — математическая абстракция прецессии Томаса в оператор, называемый вращением Томаса и определяемый формулой

$\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))$

для всех ш . Прецессия Томаса имеет интерпретацию в гиперболической геометрии как дефект отрицательного гиперболического треугольника .

Композиция преобразований Лоренца

Если матричная форма вращения 3 × 3, примененная к 3-координатам, задается gyr[ u , v ], то матричный поворот 4 × 4, примененный к 4-координатам, определяется следующим образом:

$\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}$.

Состав двух усилителей Лоренца B( u ) и B( v ) скоростей u и v определяется следующим образом:

$B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )$

Тот факт, что либо B( u $\oplus$v ) или B( v $\oplus$u ) можно использовать в зависимости от того, пишете ли вы вращение до или после объяснения парадокса скоростной композиции .

Композиция двух преобразований Лоренца L( u ,U) и L( v ,V ), которые включают вращения U и V, определяется следующим образом:

$L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)$

В приведенном выше примере повышение можно представить в виде матрицы 4 × 4. Матрица повышения B( v повышение B, которое использует компоненты v т.е. v1 _{) означает} , v2 _v3 , v _, в записях матрицы, или, скорее, компоненты / c в представлении, которое используется в раздел Преобразование Лоренца#Формы матриц . Элементы матрицы зависят от компонентов 3-скорости v , и это то, что означает обозначение B( v ). Можно утверждать, что записи зависят от компонентов 4-скорости, поскольку 3 записи 4-скорости совпадают с записями 3-скорости, но полезность параметризации повышения по 3-скорости невелика. что результирующий импульс, который вы получаете из композиции двух ускорений, использует компоненты трехскоростной композиции u $\oplus$v в матрице B( u $\oplus$в ) Но полученное повышение также необходимо умножить на матрицу вращения, поскольку композиция повышения (т. е. умножение двух матриц 4 × 4) приводит не к чистому повышению, а к повышению и вращению, т. е. к матрице 4 × 4, которая соответствует вращение Gyr[ u , v ] для получения B( u )B( v ) = B( u $\oplus$v )Gyr[ u , v ] = Gyr[ u , v ]B( v $\oplus$в ).

Гировекторные пространства Эйнштейна

Пусть s — любая положительная константа, пусть (V,+,.) — любое вещественное пространство скалярного произведения и пусть V _s = { v ∈ V :| v |<s}. Гировекторное пространство Эйнштейна ( V _s , $\oplus$,  $\otimes$) — гирогруппа Эйнштейна ( V _s , $\oplus$) со скалярным умножением, заданным r $\otimes$v  =  s  tanh( r  tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| в | где r — любое действительное число, v ∈ V _s , v ≠ 0 и r  $\otimes$ 0 = 0 с обозначением v  $\otimes$ р = р  $\otimes$ v .

Скалярное умножение Эйнштейна не распределяется по сложению Эйнштейна, за исключением случаев, когда гировекторы коллинеарны (монораспределенность), но оно обладает другими свойствами векторных пространств: для любого положительного целого числа n и для всех действительных чисел r , r ₁ , r ₂ и v ∈ V _s :

н  $\otimes$ v  =  v  $\oplus$ ...  $\oplus$ v	n терминов
( р 1 + р 2 ) $\otimes$ v = р 1  $\otimes$ v  $\oplus$  год 2  $\otimes$ v	Скалярный распределительный закон
( р 1 р 2 ) $\otimes$ v = р 1  $\otimes$ ( год 2  $\otimes$ v )	Скалярный ассоциативный закон
р  $\otimes$( р 1  $\otimes$ а  $\oplus$  год 2  $\otimes$ а ) = р  $\otimes$( р 1  $\otimes$ а ) $\oplus$ р  $\otimes$( год 2  $\otimes$ а )	Монораспределительный закон

Модель диска/шара Пуанкаре и дополнение Мёбиуса

Преобразование Мёбиуса открытого единичного диска в комплексной плоскости задается полярным разложением

$z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}$ который можно записать как $e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}$ которое определяет сложение Мёбиуса ${a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}$.

Чтобы обобщить это на более высокие измерения, комплексные числа рассматриваются как векторы на плоскости. $\mathbf {\mathrm {R} } ^{2}$, а сложение Мёбиуса переписывается в векторной форме как:

$\mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}$

Это дает векторное сложение точек в модели шара Пуанкаре гиперболической геометрии, где s=1 для комплексного единичного круга теперь становится любым s>0.

Гировекторные пространства Мёбиуса

Пусть s — любая положительная константа, пусть (V,+,.) — любое вещественное пространство скалярного произведения и пусть V _s = { v ∈ V :| v |<s}. Гировекторное пространство Мёбиуса ( V _s , $\oplus$,  $\otimes$) — гирогруппа Мёбиуса ( V _s , $\oplus$) со скалярным умножением, заданным r  $\otimes$v  =  s  tanh( r  tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| в | где r — любое действительное число, v ∈ V _s , v ≠ 0 и r  $\otimes$ 0 = 0 с обозначением v  $\otimes$ р = р  $\otimes$ v .

Скалярное умножение Мёбиуса совпадает со скалярным умножением Эйнштейна (см. раздел выше), и это происходит из-за того, что сложение Мёбиуса и сложение Эйнштейна совпадают для параллельных векторов.

Правильная пространственная модель скоростей и правильное сложение скоростей

Правильная модель пространства скоростей гиперболической геометрии задается собственными скоростями со сложением векторов, заданными формулой правильного сложения скоростей:

$\mathbf {u} \oplus _{U}\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u}$

где $\beta _{\mathbf {w} }$ бета-фактор, определяемый выражением $\beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Эта формула обеспечивает модель, использующую все пространство, по сравнению с другими моделями гиперболической геометрии, в которых используются диски или полуплоскости.

Пространство собственных гировекторов скорости представляет собой вещественное внутреннее пространство V с добавлением собственных гирогрупп скорости. $\oplus _{U}$ и со скалярным умножением, определяемым r  $\otimes$v = s sinh( r sinh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| в | где r — любое действительное число, v ∈ V , v ≠ 0 и r  $\otimes$ 0 = 0 с обозначением v  $\otimes$ р = р  $\otimes$ v .

Изоморфизмы

гировекторного пространства Изоморфизм сохраняет сложение гирогрупп, скалярное умножение и скалярное произведение.

Три гировекторных пространства Мёбиуса, Эйнштейна и собственной скорости изоморфны.

Если M, E и U — гировекторные пространства Мёбиуса, Эйнштейна и собственной скорости соответственно с элементами v _m , v _e и v _u, то изоморфизмы задаются формулой:

И $\rightarrow$Ты по $\gamma _{\mathbf {v} _{e}}\mathbf {v} _{e}$

В $\rightarrow$E от $\beta _{\mathbf {v} _{u}}\mathbf {v} _{u}$

И $\rightarrow$М автор ${\frac {1}{2}}\otimes _{E}\mathbf {v} _{e}$

М $\rightarrow$E от $2\otimes _{M}\mathbf {v} _{m}$

М $\rightarrow$Ты по $2{{{\gamma }^{2}}_{\mathbf {v} _{m}}}\mathbf {v} _{m}$

В $\rightarrow$М автор ${\frac {\beta _{\mathbf {v} _{u}}}{1+\beta _{\mathbf {v} _{u}}}}\mathbf {v} _{u}$

Из этой таблицы видно соотношение между $\oplus _{E}$ и $\oplus _{M}$ определяется уравнениями:

$\mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)$

$\mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)$

Это связано со связью преобразований Мёбиуса и преобразований Лоренца .

Гиротригонометрия

Гиротригонометрия — это использование гироконцепций для изучения гиперболических треугольников .

Гиперболическая тригонометрия, как обычно изучается, использует гиперболические функции cos, sinh и т. д., и это контрастирует со сферической тригонометрией , которая использует евклидовы тригонометрические функции cos, sin, но с тождествами сферического треугольника вместо обычных тождеств плоского треугольника . Гиротригонометрия использует подход, основанный на использовании обычных тригонометрических функций, но в сочетании с тождествами гиротреугольника.

Центры треугольников

Изучение центров треугольников традиционно связано с евклидовой геометрией, но центры треугольников также можно изучать в гиперболической геометрии. С помощью гиротригонометрии можно вычислить выражения для тригонометрических барицентрических координат, которые имеют одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии. Чтобы выражения совпадали, они не должны инкапсулировать указание суммы углов, равной 180 градусам.

Сложение гиропараллелограмма

С помощью гиротригонометрии можно найти сложение гировектора, работающее по закону гиропараллелограмма. Это дополнение к работе гирогруппы. Сложение гиропараллелограммов коммутативно.

аналогичен Закон гиропараллелограмма закону параллелограмма в том, что гиропараллелограмм представляет собой гиперболический четырехугольник, две гиродиагонали которого пересекаются в своих гиросрединных точках, точно так же, как параллелограмм представляет собой евклидов четырехугольник, две диагонали которого пересекаются в своих средних точках.

Векторы Блоха

Векторы Блоха , принадлежащие открытому единичному шару евклидова трехмерного пространства, можно изучать с помощью сложения Эйнштейна. или сложение Мёбиуса.

Обзоры книг

Рецензия на одну из ранних книг о гировекторах. говорит следующее:

«За прошедшие годы было предпринято несколько попыток продвигать неевклидов стиль для использования при решении задач в теории относительности и электродинамике, неспособность которых привлечь каких-либо существенных последователей, усугубляемая отсутствием каких-либо положительных результатов, должна заставить задуматься всем, кто задумывался о подобном проекте. До недавнего времени никто не мог предложить усовершенствование инструментов, доступных с 1912 года. В своей новой книге Унгар представляет важнейший недостающий элемент в арсенале неевклидова стиля: элегантный стиль. неассоциативный алгебраический формализм, который полностью использует структуру закона скоростной композиции Эйнштейна».

Примечания и ссылки

• Доменико Джулини, Алгебраические и геометрические структуры специальной теории относительности , глава в книге «Специальная теория относительности: выживет ли она в следующие 100 лет?», под редакцией Клауса Леммерцаля, Юргена Элерса, Springer, 2006.

Дальнейшее чтение

• А. А. Унгар (2009). Гировекторы: подход к гиперболической геометрии . Обобщающие лекции по математике и статистике. Издательство Морган и Клейпул. ISBN  978-159-829-822-2 .
• ТМ Рассиас (2000). Математический анализ и приложения . Сборник статей по математике. Адроник Пресс. стр. 307, 326, 336. ISBN.  157-485-045-8 .
• Макс А. Акивис и Владислав В. Гольдберг (2006), Локальные алгебры дифференциальной квазигруппы , Вестник АМН, том 43, номер 2
• Огужан Демирель, Эмине Сойтюрк (2008), Гиперболическая теорема Карно в модели гиперболической геометрии диска Пуанкаре , Novi Sad J. Math. Том. 38, № 2, 2008, 33–39
• М. Феррейра (2008), Сферические непрерывные вейвлет-преобразования, возникающие из сечений группы Лоренца, Прикладной и вычислительный гармонический анализ, Elsevier arXiv : 0706.1956
• Т. Фогель (2000), Комментарий. Математика. унив. Каролина, группы, трансверсали и петли.
• Яаков Фридман (1994), «Ограниченные симметричные области и JB *-тройная структура в физике», Иорданские алгебры: материалы конференции, состоявшейся в Обервольфахе, Германия, 9–15 августа 1992 г., Вильгельм Кауп, Кевин МакКриммон, Хольгер П. Петерссон, Издатель Вальтер де Грюйтер, ISBN   3-11-014251-1 , ISBN   978-3-11-014251-8
• Флориан Гирелли, Этера Р. Ливин (2004), Специальная теория относительности как некоммутативная геометрия: Уроки деформированной специальной теории относительности , Phys. Ред. Д 81, 085041 (2010)
• Седжонг Ким, Джимми Лоусон (2011), Гладкие петли Брука, симметричные пространства и неассоциативные векторные пространства , Demonstratio Mathematica, Vol. XLIV, № 4
• Питер Левай (2003), Геометрическая фаза смешанного состояния на основе вращений Томаса
• Азнив Каспарян, Абрахам А. Унгар, (2004) Гировекторные пространства Ли, J. Geom. Симм. Физика
• Р. Олах-Гал, Дж. Сандор (2009), О тригонометрических доказательствах теоремы Штейнера – Лемуса , Forum Geometricorum, 2009 – forumgeom.fau.edu
• Гонсало Э. Рейес (2003), О законе движения в специальной теории относительности arXiv : физика/0302065
• Кшиштоф Розга (2000), Тихоокеанский математический журнал, Vol. 193, № 1, О центральных расширениях гирокоммутативных гирогрупп.
• Л. В. Сабинин (1995), «О гирогруппах Венгрии». Архивировано 30 августа 2009 г. в Wayback Machine , RUSS MATH SURV, 1995, 50 (5), 1095–1096.
• Л.В. Сабинин, Л.Л. Сабинина, Лариса Сбитнева (1998), Математические уравнения , О понятии гирогруппы
• Л.В. Сабинин, Лариса Сбитнева, И.П. Шестаков (2006), "Неассоциативная алгебра и ее приложения", CRC Press, ISBN   0-8247-2669-3 , ISBN   978-0-8247-2669-0
• Ф. Смарандаш, К. Барбу (2010), Гиперболическая теорема Менелая в модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии
• Роман Ульрих Сексл, Хельмут Курт Урбантке, (2001), «Относительность, группы, частицы: специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и элементарных частиц», страницы 141–142, Springer, ISBN   3-211-83443-5 , ISBN   978-3-211-83443-5

Внешние ссылки

• Специальная теория относительности Эйнштейна: гиперболическая геометрическая точка зрения
• Унгар, Авраам А. (2001). «Гиперболическая тригонометрия и ее применение в модели шара Пуанкаре гиперболической геометрии» . стр. 6–19. CiteSeerX   10.1.1.17.6107 .