сфера Блоха

Не путать со сферой Пуанкаре (оптика) .

сфера Блоха

В квантовой механике и вычислениях сфера Блоха — геометрическое представление состояний чистого пространства двухуровневой квантово-механической системы ( кубита ), названной в честь физика Феликса Блоха .

Математически каждая квантовомеханическая система связана с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством. $H$. Чистое состояние квантовой системы представляется ненулевым вектором $\psi$ в $H$. Поскольку векторы $\psi$ и $\lambda \psi$ (с $\lambda \in \mathbb {C}$) представляют одно и то же состояние, уровень квантовой системы соответствует размерности гильбертова пространства, а чистые состояния могут быть представлены как классы эквивалентности или лучи в проективном гильбертовом пространстве. $\mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}$. Для двумерного гильбертова пространства пространство всех таких состояний представляет собой комплексную проективную прямую. $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}.$ Это сфера Блоха, которую можно отобразить в сферу Римана .

Сфера Блоха представляет собой единичную 2-сферу с противоположными точками , соответствующими паре взаимно ортогональных векторов состояния. Северный и южный полюсы сферы Блоха обычно выбираются так, чтобы они соответствовали стандартным базисным векторам. $|0\rangle$ и $|1\rangle$, соответственно, что, в свою очередь, может соответствовать, например, со спином вверх и вниз состояниям электрона . Однако этот выбор произволен. Точки на поверхности сферы соответствуют чистым состояниям системы, тогда как внутренние точки соответствуют смешанным состояниям . Сферу Блоха можно обобщить до n -уровневой квантовой системы, но тогда визуализация будет менее полезной.

Естественная метрика на сфере Блоха — это метрика Фубини–Студи . Отображение единичной 3-сферы в двумерном пространстве состояний $\mathbb {C} ^{2}$ к сфере Блоха является Хопфа , в котором каждый луч спиноров расслоением отображается в одну точку сферы Блоха.

Определение

Учитывая ортонормированный базис, любое чистое состояние $|\psi \rangle$ двухуровневой квантовой системы можно записать как суперпозицию базисных векторов $|0\rangle$ и $|1\rangle$, где коэффициент (или вклад) каждого из двух базисных векторов представляет собой комплексное число . Это означает, что состояние описывается четырьмя действительными числами. Однако только относительная фаза между коэффициентами двух базисных векторов имеет какой-либо физический смысл (фаза квантовой системы не поддается непосредственному измерению ), так что в этом описании есть избыточность. Мы можем взять коэффициент $|0\rangle$ быть действительным и неотрицательным. Это позволяет описывать состояние только тремя действительными числами, что приводит к трем измерениям сферы Блоха.

Мы также знаем из квантовой механики, что общая вероятность системы должна быть равна единице:

$\langle \psi |\psi \rangle =1$или эквивалентно ${\big \|}|\psi \rangle {\big \|}^{2}=1$.

Учитывая это ограничение, мы можем написать $|\psi \rangle$ используя следующее представление:

$|\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle$, где $0\leq \theta \leq \pi$ и $0\leq \phi <2\pi$.

Представление всегда уникально, потому что, хотя значение $\phi$ не является уникальным, когда $|\psi \rangle$ является одним из состояний (см. обозначение Бракета ) $|0\rangle$ или $|1\rangle$, точка, представленная $\theta$ и $\phi$ является уникальным.

Параметры $\theta \,$ и $\phi \,$, переинтерпретированные в сферических координатах как соответственно широта по отношению к оси z и долгота по отношению к оси x , укажите точку

${\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)$

на единичной сфере в $\mathbb {R} ^{3}$.

Для смешанных состояний рассматривается оператор плотности . Любой двумерный оператор плотности ρ можно разложить с помощью тождества I и эрмитовых бесследовых . матриц Паули ${\vec {\sigma }}$,

${\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$,

где ${\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}$ называется вектором Блоха .

Именно этот вектор указывает точку внутри сферы, соответствующую данному смешанному состоянию. В частности, как основная особенность вектора Паули , собственные значения ρ равны ${\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)$. Операторы плотности должны быть положительно-полуопределенными, поэтому отсюда следует, что $\left|{\vec {a}}\right|\leq 1$.

Тогда для чистых состояний имеем

$\operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,$

в соответствии с вышеизложенным.

Как следствие, поверхность сферы Блоха представляет все чистые состояния двумерной квантовой системы, тогда как внутренняя часть соответствует всем смешанным состояниям.

u , v , w представление

Вектор Блоха ${\vec {a}}=(u,v,w)$ можно представить в следующем базисе со ссылкой на оператор плотности $\rho$:

$u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})$

$v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})$

$w=\rho _{00}-\rho _{11}$

где

$\rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.$

Эта основа часто используется в теории лазеров , где $w$ известно как инверсия населенности . В этой основе числа $u,v,w$ ожидания трех матриц Паули $X,Y,Z$, что позволяет идентифицировать три координаты по осям xy и z.

Чистые состояния

Рассмотрим n -уровневую квантовомеханическую систему. Эта система описывается n -мерным пространством Hn _{гильбертовым} . Чистое пространство состояний по определению представляет собой множество лучей H _n .

Теорема . Пусть U( n ) будет группой Ли унитарных матриц размера n . Тогда чистое пространство состояний H _n можно отождествить с компактным смежным пространством

$\operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).$

Чтобы доказать этот факт, заметим, что существует естественное групповое действие U( n ) на множестве Hn _{состояний} . Это действие непрерывно и переходно в чистых состояниях. Для любого государства $|\psi \rangle$, изотропии группа $|\psi \rangle$, (определяется как набор элементов $g$ U( n ) такой, что $g|\psi \rangle =|\psi \rangle$) изоморфна группе произведений

$\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).$

В терминах линейной алгебры это можно обосновать следующим образом. Любой $g$ U( n ), который оставляет $|\psi \rangle$ инвариант должен иметь $|\psi \rangle$ как собственный вектор . Поскольку соответствующее собственное значение должно быть комплексным числом с модулем 1, это дает коэффициент U (1) группы изотропии. Другая часть группы изотропии параметризуется унитарными матрицами на ортогональном дополнении $|\psi \rangle$, изоморфный U( n − 1). Отсюда утверждение теоремы следует из основных фактов о транзитивных действиях компактных групп.

Выше следует отметить важный факт: унитарная группа действует транзитивно на чистых состояниях.

Теперь (действительная) размерность U( n ) равна n ² . Это легко увидеть, поскольку экспоненциальное отображение

$A\mapsto e^{iA}$

является локальным гомеоморфизмом пространства самосопряженных комплексных матриц в U( n ). Пространство самосопряженных комплексных матриц имеет действительную размерность n ² .

Следствие . Реальная размерность чистого пространства состояний H _n равна 2 n − 2.

Фактически,

$n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad$

Давайте применим это, чтобы рассмотреть реальный размер квантового регистра m- кубитов. Соответствующее гильбертово пространство имеет размерность 2 ^м .

Следствие . Реальная размерность чистого пространства состояний m - кубитного квантового регистра равна 2. ^{м +1} − 2.

Построение чистых двухспинорных состояний с помощью стереографической проекции

Сфера Блоха с центром в начале $\mathbb {R} ^{3}$. Пара точек на него, $\left|\uparrow \right\rangle$ и $\left|\downarrow \right\rangle$ были выбраны за основу. Математически они ортогональны, хотя графически угол между ними равен π. В $\mathbb {R} ^{3}$ эти точки имеют координаты (0,0,1) и (0,0,−1). Произвольный спинор $\left|\nearrow \right\rangle$ на сфере Блоха представляется как уникальная линейная комбинация двух базисных спиноров с коэффициентами, представляющими собой пару комплексных чисел; назовем их α и β . Пусть их соотношение будет $u={\beta \over \alpha }$, что также является комплексным числом $u_{x}+iu_{y}$. Считаем плоскость z = 0, экваториальную плоскость сферы как бы комплексной плоскостью и что точка и нанесена на ней как $(u_{x},u_{y},0)$. Спроецируйте точку u стереографически на сферу Блоха вдали от Южного полюса — как бы — (0,0,−1). Проекция осуществляется на точку, отмеченную на сфере как $\left|\nearrow \right\rangle$.

Математически сфера Блоха для двухспинорного состояния может быть отображена в сферу Римана. $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}$, т. е. проективное гильбертово пространство $\mathbf {P} (H_{2})$ с двумерным комплексным гильбертовым пространством $H_{2}$ пространство представления SO (3) . Учитывая чистое состояние

$\alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle$

где $\alpha$ и $\beta$ комплексные числа, нормированные так, что

$|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1$

и такое, что $\langle \downarrow |\uparrow \rangle =0$ и $\langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1$,то есть такой, что $\left|\uparrow \right\rangle$ и $\left|\downarrow \right\rangle$ образуют базис и имеют диаметрально противоположные представления на сфере Блоха, то пусть

$u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}$

быть их соотношением.

Если рассматривать сферу Блоха как вложенную в $\mathbb {R} ^{3}$ с центром в начале координат и радиусом один, то плоскость z = 0 (которая пересекает сферу Блоха по большому кругу; как бы экватор сферы) можно рассматривать как диаграмму Аргана . Постройте точку u на этой плоскости так, чтобы в $\mathbb {R} ^{3}$ у него есть координаты $(u_{x},u_{y},0)$.

Проведите прямую линию через точку u и точку на сфере, которая представляет собой $\left|\downarrow \right\rangle$. (Пусть (0,0,1) представляет $\left|\uparrow \right\rangle$ и (0,0,−1) представляют собой $\left|\downarrow \right\rangle$.) Эта линия пересекает сферу еще в одной точке, кроме $\left|\downarrow \right\rangle$. (Единственное исключение — когда $u=\infty$, то есть, когда $\alpha =0$ и $\beta \neq 0$.) Назовите эту точку P . Точка u на плоскости z = 0 является стереографической проекцией точки P на сферу Блоха. Вектор с хвостом в начале координат и вершиной в точке P — это направление в трехмерном пространстве, соответствующее спинору. $\left|\nearrow \right\rangle$. Координаты P :

$P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},$

$P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},$

$P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}.$

Операторы плотности

Формулировки квантовой механики в терминах чистых состояний адекватны изолированным системам; в целом квантово-механические системы необходимо описывать в терминах операторов плотности . Сфера Блоха параметризует не только чистые состояния, но и смешанные состояния двухуровневых систем. Оператор плотности, описывающий смешанное состояние двухуровневой квантовой системы (кубита), соответствует точке внутри сферы Блоха со следующими координатами:

$\left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),$

где $p_{i}$ – вероятность отдельных состояний внутри ансамбля и $x_{i},y_{i},z_{i}$ – координаты отдельных состояний (на поверхности сферы Блоха). Совокупность всех точек на сфере Блоха и внутри нее известна как шар Блоха.

Для состояний более высоких измерений трудно распространить это на смешанные состояния. Топологическое описание осложняется тем, что унитарная группа не действует транзитивно на операторы плотности. Более того, орбиты чрезвычайно разнообразны, как следует из следующего наблюдения:

Теорема . Предположим, что A — оператор плотности квантово-механической системы уровня n , различными собственными значениями которого являются µ _, ..., µ _k с кратностями n ₁ , ..., nk ₁ . Тогда группа унитарных операторов V таких, что VAV * = A , изоморфна (как группа Ли)

$\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).$

В частности, орбита A изоморфна

$\operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).$

Можно обобщить конструкцию шара Блоха на размеры больше 2, но геометрия такого «тела Блоха» сложнее, чем у шара.

Ротации

Полезным преимуществом представления сферы Блоха является то, что эволюцию состояния кубита можно описать вращениями сферы Блоха. Наиболее краткое объяснение того, почему это так, состоит в том, что алгебра Ли для группы унитарных и эрмитовых матриц $SU(2)$ изоморфна алгебре Ли группы трехмерных вращений $SO(3)$.

Операторы вращения относительно блоховского базиса

Вращение сферы Блоха вокруг декартовых осей в базисе Блоха определяется выражением

${\begin{aligned}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z}(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Вращения вокруг общей оси

Если ${\hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})$ - действительный единичный вектор в трех измерениях, вращение сферы Блоха вокруг этой оси определяется выражением:

$R_{\hat {n}}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}\right)$

Интересно отметить, что это выражение идентично расширенной формуле Эйлера для кватернионов .

$\mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}$

Вывод генератора вращения Блоха

Баллентин представляет собой интуитивный вывод бесконечно малого унитарного преобразования. Это важно для понимания того, почему вращения сфер Блоха являются экспонентами линейных комбинаций матриц Паули. Поэтому здесь дается краткое описание этого вопроса. Более полное описание в контексте квантовой механики можно найти здесь .

Рассмотрим семейство унитарных операторов $U$ представляющий вращение вокруг некоторой оси. Поскольку вращение имеет одну степень свободы, оператор действует на поле скаляров $S$ такой, что:

$U(0)=I$

$U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})$

где $0,s_{1},s_{2},\in S$

Мы определяем бесконечно малую унитарную систему как расширение Тейлора, усеченное до второго порядка.

$U(s)=I+{\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}s+O\left(s^{2}\right)$

По унитарному условию:

$U^{\dagger }U=I$

Следовательно

$U^{\dagger }U=I+s\left({\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}\right)+O\left(s^{2}\right)=I$

Чтобы это равенство выполнялось (при условии, что $O\left(s^{2}\right)$ пренебрежимо мало) нам потребуется

${\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=0$.

В результате получается решение вида:

${\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=iK$

где $K$ является любым эрмитовым преобразованием и называется генератором унитарного семейства.Следовательно

$U(s)=e^{iKs}$

Поскольку матрицы Паули $(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ являются унитарными эрмитовыми матрицами и имеют собственные векторы, соответствующие базису Блоха, $({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})$, мы естественно можем видеть, как вращение сферы Блоха вокруг произвольной оси ${\hat {n}}$ описывается

$R_{\hat {n}}(\theta )=\exp(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2)$

с генератором вращения, заданным формулой $K={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2.$

Внешние ссылки

• Онлайн-визуализация сферы Блоха от Константина Херба

См. также

• Атомный электронный переход
• Гировекторное пространство
• поставлять
• Конкретные реализации сферы Блоха перечислены в статье о кубитах .

Ссылки

• Эпплби, DM (2007). «Симметричные информационно полные измерения произвольного ранга». Оптика и спектроскопия . 103 (3): 416–428. arXiv : Quant-ph/0611260 . Бибкод : 2007OptSp.103..416A . дои : 10.1134/S0030400X07090111 . S2CID   17469680 .
• Бойерле, Жерар Г.А.; де Керф, Эдди А. (1990). Алгебры Ли, Часть 1: Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их приложения в физике . Исследования по математической физике. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0-444-88776-8 .
• Блох, Ф. (1946). «Ядерная индукция» . Физический обзор . 70 (7–8): 460–474. Бибкод : 1946PhRv...70..460B . дои : 10.1103/PhysRev.70.460 . ISSN   0031-899X .
• Фейнман, Ричард П.; Вернон, Фрэнк Л.; Хеллварт, Роберт В. (1957). «Геометрическое представление уравнения Шредингера для решения мазерных задач». Журнал прикладной физики . 28 (1): 49–52. Бибкод : 1957JAP....28...49F . дои : 10.1063/1.1722572 . ISSN   0021-8979 . S2CID   36493808 .
• Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-63503-5 .
• Милонни, Питер В.; Эберли, Джозеф Х. (1988). Лазеры . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-62731-9 .
• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Нью-Йорк: National Geographic Books. ISBN  978-0-679-77631-4 .