Изотопия петель

В математической области абстрактной алгебры изотопия — это отношение эквивалентности, используемое для классификации алгебраического понятия цикла .

Изотопия петель и квазигрупп была введена Альбертом ( 1943 ) на основе его чуть более раннего определения изотопии алгебр , которое, в свою очередь, было вдохновлено работой Стинрода.

Изотопия квазигрупп

Каждая квазигруппа изотопна петле.

Позволять $(Q,\cdot )$ и $(P,\circ )$ быть квазигруппами . из Гомотопия квазигруппы Q в P — это тройка ( α , β , γ ) отображений из Q в P такая, что

$\alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\,$

для x , y в Q. всех Гомоморфизм квазигруппы — это просто гомотопия, для которой три отображения равны.

Изотопия отображений — это гомотопия, для которой каждое из трёх ( α , β , γ ) является биекцией . Две квазигруппы изотопны , если между ними существует изотопия. В терминах латинских квадратов изотопия ( α , β , γ ) задается перестановкой строк α , перестановкой столбцов β и перестановкой базового набора элементов γ .

Автотопия . – это изотопия квазигруппы $(Q,\cdot )$ самому себе. Множество всех автотопий квазигруппы образует группу с группой автоморфизмов в качестве подгруппы.

Основная изотопия — это изотопия, для которой — тождественное отображение на Q. γ В этом случае базовые множества квазигрупп должны быть одинаковыми, но умножения могут различаться.

Изотопия петель

Позволять $(L,\cdot )$ и $(K,\circ )$ быть петлями и пусть $(\alpha ,\beta ,\gamma ):L\to K$ быть изотопией. Тогда это произведение главной изотопии $(\alpha _{0},\beta _{0},id)$ от $(L,\cdot )$ и $(L,*)$ и изоморфизм $\gamma$ между $(L,*)$ и $(K,\circ )$. Действительно, положим $\alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha$, $\beta _{0}=\gamma ^{-1}\beta$ и определим операцию $*$ к $x*y=\alpha ^{-1}\gamma (x)\cdot \beta ^{-1}\gamma (y)$.

Позволять $(L,\cdot )$ и $(L,\circ )$ — петли, и пусть e — элемент нейтральный $(L,\cdot )$. Позволять $(\alpha ,\beta ,id)$ основная изотопия из $(L,\cdot )$ к $(L,\circ )$. Затем $\alpha =R_{b}^{-1}$ и $\beta =L_{a}^{-1}$ где $a=\alpha (e)$ и $b=\beta (e)$.

Петля L называется G-лупой , если она изоморфна всем своим изотопам петель.

Псевдоавтоморфизмы петель

Пусть L — цикл, а — элемент L. c Биекция α языка L называется правым псевдоавтоморфизмом L если с сопутствующим элементом c, для всех x , y выполнено тождество

$\alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)$

держит. Аналогично определяются левые псевдоавтоморфизмы.

Универсальные свойства

Мы говорим, что свойство петли P является универсальным , если оно изотопически инвариантно, то есть P выполняется для петли L тогда и только тогда, когда P выполняется для всех изотопов петель L . Очевидно, достаточно проверить, выполняется ли P для всех главных изотопов L .

Например, поскольку изотопы коммутативной петли не обязательно должны быть коммутативными, коммутативность является не универсальной. Однако ассоциативность и абелева группа являются универсальными свойствами. Фактически каждая группа представляет собой G-петлю.

Геометрическая интерпретация изотопии

Учитывая петлю L , можно определить геометрическую структуру инцидентности, называемую 3-сетью . И наоборот, после фиксации начала координат и порядка классов прямых 3-сеть порождает петлю. Выбор другого начала координат или замена классов линий может привести к образованию неизоморфных координатных петель. Однако координатные петли всегда изотопны. Другими словами, две петли изотопны тогда и только тогда, когда они эквивалентны с геометрической точки зрения .

Словарь алгебраических и геометрических понятий выглядит следующим образом.

• Группа автотопизма петли соответствует групповым коллинеациям 3-сети, сохраняющим направление.
• Псевдоавтоморфизмы соответствуют коллинеациям, фиксирующим две оси системы координат.
• Набор элементов-компаньонов представляет собой орбиту стабилизатора оси в группе коллинеации.
• Петля является G-петлей тогда и только тогда, когда группа коллинеации действует транзитивно на множестве точек 3-сети.
• Свойство P универсально тогда и только тогда, когда оно не зависит от выбора начала координат.

См. также

• Изотопия алгебры

Ссылки

• Альберт А.А. (1943), "Квазигруппы. I.", Пер. амер. Математика. Соц. , 54 : 507–519, doi : 10.1090/s0002-9947-1943-0009962-7 , MR   0009962
• Курош, А.Г. (1963), Лекции по общей алгебре , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., MR   0158000