Изотопия алгебры

В математике изотопией = возможно неассоциативной алгебры A к другой является тройка биективных линейных отображений ( a , b , c ) таких, что если xy = z , то a ( x ) b ( y ) c ( z ) . Это похоже на определение изотопии петель , за исключением того, что оно также должно сохранять линейную структуру алгебры. Для a = b = c это то же самое, что изоморфизм. Автотопическая группа алгебры — это группа всех изотопий самой себе (иногда называемая автотопиями), которая содержит группу автоморфизмов в качестве подгруппы.

Изотопия алгебр была введена Альбертом ( 1942 ), вдохновленным работами Стинрода.Некоторые авторы используют немного другое определение: изотопия — это тройка биективных линейных отображений a , b , c таких, что если xyz = 1 , то a ( x ) b ( y ) c ( z ) = 1 . Для альтернативных тел алгебр, таких как октонионы, два определения изотопии эквивалентны, но в целом это не так.

Примеры

Если a = b = c является изоморфизмом, то тройка ( a , b , c ) является изотопией. Обратно, если алгебры имеют единичные элементы 1, которые сохраняются отображениями a и b изотопии, то a = b = c является изоморфизмом.
Если A — ассоциативная алгебра с единицей, a и c — умножение слева на некоторый фиксированный обратимый элемент, а b — единица, то ( a , b , c ) является изотопией. Точно так же мы могли бы принять b и c за правильное умножение на некоторый обратимый элемент, а за тождество . Они образуют две коммутирующие подгруппы автотопической группы, а полная автотопическая группа порождается этими двумя подгруппами и группой автоморфизмов.
Если алгебра (не предполагающаяся ассоциативной) с единичным элементом изотопна ассоциативной алгебре с единичным элементом, то эти две алгебры изоморфны. В частности, две ассоциативные алгебры с единицами изотопны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Однако ассоциативные алгебры с единицами могут быть изотопны алгебрам без единиц.
Автотопической группой октонионов является спиновая группа Spin ₈ , намного большая, чем ее группа автоморфизмов G ₂ .
Если B является мутацией ассоциативной алгебры A обратимым элементом, то существует изотопия A в B .
Если a , b и c — любые обратимые линейные карты алгебры и определено новое произведение c ⁻¹( a ( x ) b ( y )) , то алгебра, определенная этим новым произведением, изотопна исходной алгебре. Например, комплексные числа с произведением x y изотопны комплексным числам с обычным произведением, хотя они не коммутативны и не имеют единичного элемента.

Ссылки

Альберт, А.А. (1942), «Неассоциативные алгебры. I. Фундаментальные понятия и изотопия», Ann. математики. , 2, 43 : 685–707, doi : 10.2307/1968960 , MR 0007747
«Isotopy_(in_algebra)» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Курош, А.Г. (1963), Лекции по общей алгебре , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., MR 0158000
МакКриммон, Кевин (2004), Вкус йордановых алгебр , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9 , MR 2014924 , Збл 1044.17001 , Исправления
Уилсон, Р.А. (2008), Octonions (PDF) , заметки семинара по чистой математике