Медиальная магма

Чтобы узнать о тройном произведении, см. Медианную алгебру .

В абстрактной алгебре медиальная магма или медиальный группоид — это магма или группоид (то есть множество с бинарной операцией ), удовлетворяющая тождеству

( x • y ) • ( u • v ) = ( x • u ) • ( y • v ) ,

или проще говоря,

xy • uv = xu • yv

для всех x , y , u и v , используя соглашение, согласно которому сопоставление обозначает одну и ту же операцию, но имеет более высокий приоритет. Это тождество по-разному называлось медиальным , абелевым , альтернационным , транспозиционным , перестановочным , бикоммутативным , бисимметричным , суркоммутативным , энтропийным и т. д.

Любая коммутативная полугруппа является медиальной магмой, а медиальная магма имеет единичный элемент тогда и только тогда, когда она является коммутативным моноидом . Направление «только если» — это аргумент Экмана-Хилтона . Другой класс полугрупп, образующих медиальные магмы, — нормальные полосы . Медиальные магмы не обязательно должны быть ассоциативными: для любой нетривиальной абелевой группы с операцией + и целыми числами m ≠ n новая бинарная операция, определяемая x • y = mx + ny, дает медиальную магму, которая в общем случае не является ни ассоциативной, ни коммутативной.

Используя категориальное определение произведения , для магмы M можно определить декартово квадрат магмы M × M с помощью операции

( x ,  y ) • ( u ,  v ) = ( x • u ,  y • v ) .

Бинарная операция • над M , рассматриваемая как отображение M × M в M , отображает ( x , y ) в x • y , ( u , v ) в u • v и ( x • u , y • v ) в ( Икс • ты ) • ( y • v ) .Следовательно, магма M магмы является медиальной тогда и только тогда, когда ее бинарная операция является гомоморфизмом из M × M в M . Это можно легко выразить в терминах коммутативной диаграммы и, таким образом, привести к понятию медиального магматического объекта в категории с декартовым произведением . (См. обсуждение в объекте автоматической магмы.)

Если f и g — эндоморфизмы медиальной магмы, то отображение f • g, определенное поточечным умножением

( ж • г )( Икс ) знак равно ж ( Икс ) • г ( Икс )

сам по себе является эндоморфизмом. Отсюда следует, что множество End( M ) всех эндоморфизмов медиальной магмы M само является медиальной магмой.

Брука–Мердока

Теорема Брука -Мердока-Тойоды дает следующую характеристику медиальных квазигрупп . Для абелевой группы A и двух коммутирующих автоморфизмов φ и ψ группы A определите операцию • над A формулой

Икс • y знак равно φ ( Икс ) + ψ ( y ) + c ,

где c некоторый фиксированный элемент A . Нетрудно доказать, что при этой операции A образует медиальную квазигруппу. Теорема Брука–Тойоды утверждает, что каждая медиальная квазигруппа имеет этот вид, т. е. изоморфна квазигруппе, определенной таким образом из абелевой группы. В частности, каждая медиальная квазигруппа изотопна абелевой группе.

Результат был получен независимо в 1941 году Мердоком и Тойодой. Затем он был вновь открыт Бруком в 1944 году.

Обобщения

Термин «медиальный» или (чаще) «энтропический» также используется для обобщения нескольких операций. Алгебраическая структура — это энтропийная алгебра. если каждые две операции удовлетворяют обобщению медиального тождества. Пусть f и g — операции арности m и n соответственно. Тогда f и g должны удовлетворять

$f(g(x_{11},\ldots ,x_{1n}),\ldots ,g(x_{m1},\ldots ,x_{mn}))=g(f(x_{11},\ldots ,x_{m1}),\ldots ,f(x_{1n},\ldots ,x_{mn})).$

Неассоциативные примеры

Особенно естественный пример неассоциативной медиальной магмы дают коллинеарные точки на эллиптических кривых . Операция x • y = −( x + y ) для точек на кривой, соответствующая рисованию линии между x и y и определению x • y как третьей точки пересечения линии с эллиптической кривой, является (коммутативной) медиальная магма, изотопная операции сложения эллиптических кривых.

В отличие от сложения эллиптических кривых, x • y не зависит от выбора нейтрального элемента на кривой и, кроме того, удовлетворяет тождествам x • ( x • y ) = y . Это свойство обычно используется в чисто геометрических доказательствах ассоциативности сложения эллиптических кривых.

Ссылки

• Мердок, округ Колумбия (май 1941 г.), «Структура абелевых квазигрупп», Trans. амер. Математика. Соц. , 49 (3): 392–409, номер документа : 10.1090/s0002-9947-1941-0003427-2 , JSTOR   1989940.
• Тойода, К. (1941), «Об аксиомах линейных функций» , Proc. Имп. акад. Токио , 17 (7): 221–227, doi : 10.3792/pia/1195578751
• Брук, Р.Х. (январь 1944 г.), «Некоторые результаты по теории квазигрупп», Trans. амер. Математика. Соц. , 55 (1): 19–52, doi : 10.1090/s0002-9947-1944-0009963-x , JSTOR   1990138
• Ямада, Миюки (1971), «Заметка об исключительных полугруппах», Semigroup Forum , 3 (1): 160–167, doi : 10.1007/BF02572956
• Ежек, Дж.; Кепка, Т. (1983). «Медиальные группоиды» . Дискуссии чехословацкого акад. Научная серия Матем. Природа. Наука . 93 (2): 93с. Архивировано из оригинала 18 июля 2011 г.
• Дэйви, бакалавр; Дэвис, Г. (1985). «Тензорные произведения и энтропийные многообразия». Алгебра Универсалис . 21 : 68–88. дои : 10.1007/BF01187558 .
• Кузьмин, Е.Н.; Шестаков, ИП (1995). «Неассоциативные структуры». Алгебра VI . Энциклопедия математических наук. Том. 6. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 197–280. ISBN  978-3-540-54699-3 .