Ассоциатор

В абстрактной алгебре термин ассоциатор используется по-разному как мера неассоциативности алгебраической структуры . Ассоциаторы обычно изучаются как тройные системы .

Теория колец

Для неассоциативного кольца или алгебры R ассоциатором . является полилинейное отображение $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:R\times R\times R\to R$ данный

$[x,y,z]=(xy)z-x(yz).$

Так же, как коммутатор

$[x,y]=xy-yx$

измеряет степень некоммутативности ассоциатор измеряет степень неассоциативности R. , Для ассоциативного кольца или алгебры ассоциатор тождественно равен нулю.

Ассоциатор в любом кольце подчиняется тождеству

$w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz].$

Ассоциатор является чередующимся именно тогда, когда R является альтернативным кольцом .

Ассоциатор симметричен по своим двум крайним правым аргументам, когда R является прелиевой алгеброй .

Ядро — это набор элементов, которые связаны со всеми остальными: то есть n в R такой, что

$[n,R,R]=[R,n,R]=[R,R,n]=\{0\}\ .$

Ядро является ассоциативным подкольцом R .

Теория квазигрупп

Квазигруппа — Q это множество с бинарной операцией $\cdot :Q\times Q\to Q$ такой, что для каждого a , b в Q ,уравнения $a\cdot x=b$ и $y\cdot a=b$ решения x , y в Q. имеют единственные В квазигруппе Q ассоциатором является отображение $(\cdot ,\cdot ,\cdot ):Q\times Q\times Q\to Q$ определяется уравнением

$(a\cdot b)\cdot c=(a\cdot (b\cdot c))\cdot (a,b,c)$

для a , b , c в Q. всех Как и его аналог из теории колец, ассоциатор квазигруппы является мерой неассоциативности Q .

Многомерная алгебра

В многомерной алгебре могут быть нетождественные морфизмы , где между алгебраическими выражениями , ассоциатор является изоморфизмом.

$a_{x,y,z}:(xy)z\mapsto x(yz).$

Теория категорий

В теории категорий ассоциатор выражает ассоциативные свойства функтора внутреннего произведения в моноидальных категориях .

См. также

• Коммутатор
• Неассоциативная алгебра
• Квазибиалгебра - обсуждает ассоциатор Дринфельда.

Ссылки

• Бремнер, М.; Хентцель, И. (март 2002 г.). «Тождества ассоциатора в альтернативных алгебрах». Журнал символических вычислений . 33 (3): 255–273. CiteSeerX   10.1.1.85.1905 . дои : 10.1006/jsco.2001.0510 .
• Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Дувр. ISBN  0-486-68813-5 .