Предварительная алгебра Ли

В математике предлиева алгебра — это алгебраическая структура в векторном пространстве , которая описывает некоторые свойства объектов, таких как корневые деревья и векторные поля в аффинном пространстве .

Понятие прелиевой алгебры было введено Мюрреем Герстенхабером в его работе по деформациям алгебр.

Прелиевые алгебры рассматривались и под некоторыми другими названиями, среди которых можно назвать левосимметричные алгебры, правосимметричные алгебры или алгебры Винберга.

Определение

Предварительная алгебра Ли $(V,\triangleleft )$ это векторное пространство $V$ с линейной картой $\triangleleft :V\otimes V\to V$, удовлетворяющее соотношению $(x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)=(x\triangleleft z)\triangleleft y-x\triangleleft (z\triangleleft y).$

Это тождество можно рассматривать как инвариантность ассоциатора $(x,y,z)=(x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)$ при обмене двух переменных $y$ и $z$.

Следовательно, каждая ассоциативная алгебра также является прелиевой алгеброй, поскольку ассоциатор тождественно равен нулю. Определяющее соотношение предлиевой алгебры, хотя и более слабое, чем ассоциативность, все же подразумевает, что коммутатор $x\triangleleft y-y\triangleleft x$ является скобкой Ли. В частности, тождество Якоби для коммутатора следует из циклирования $x,y,z$ термины в определяющем соотношении для предлиевых алгебр выше.

Примеры

Векторные поля в аффинном пространстве

Позволять $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ быть открытым районом $\mathbb {R} ^{n}$, параметризованный переменными $x_{1},\cdots ,x_{n}$. Заданные векторные поля $u=u_{i}\partial _{x_{i}}$, $v=v_{j}\partial _{x_{j}}$ мы определяем $u\triangleleft v=v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\partial _{x_{i}}$.

Разница между $(u\triangleleft v)\triangleleft w$ и $u\triangleleft (v\triangleleft w)$, является $(u\triangleleft v)\triangleleft w-u\triangleleft (v\triangleleft w)=v_{j}w_{k}{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}\partial _{x_{i}}$который симметричен по $v$ и $w$. Таким образом $\triangleleft$ определяет структуру предлиевой алгебры.

Учитывая многообразие $M$ и гомеоморфизмы $\phi ,\phi '$ от $U,U'\subset \mathbb {R} ^{n}$ к перекрывающимся открытым окрестностям $M$, каждый из них определяет структуру пре-алгебры Ли $\triangleleft ,\triangleleft '$ на векторных полях, определенных в перекрытии. Пока $\triangleleft$ не обязательно соглашаться с $\triangleleft '$, их коммутаторы согласны: $u\triangleleft v-v\triangleleft u=u\triangleleft 'v-v\triangleleft 'u=[v,u]$, скобка Ли $v$ и $u$.

Деревья с корнями

Позволять $\mathbb {T}$ быть свободным векторным пространством, охватываемым всеми корневыми деревьями.

Можно ввести билинейное произведение $\curvearrowleft$ на $\mathbb {T}$ следующее. Позволять $\tau _{1}$ и $\tau _{2}$ быть деревом с двумя корнями.

$\tau _{1}\curvearrowleft \tau _{2}=\sum _{s\in \mathrm {Vertices} (\tau _{1})}\tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}$

где $\tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}$ — корневое дерево, полученное добавлением к несвязному объединению $\tau _{1}$ и $\tau _{2}$ ребро, идущее из вершины $s$ из $\tau _{1}$ в корневую вершину $\tau _{2}$.

Затем $(\mathbb {T} ,\curvearrowleft )$ является свободной прелиевой алгеброй с одним образующим. В более общем смысле, свободная прелиева алгебра на любом наборе генераторов строится одинаково из деревьев, каждая вершина которых помечена одним из генераторов.

Ссылки

• Чапотон, Ф.; Ливерне, М. (2001), «Предлиевые алгебры и операда корневых деревьев», International Mathematics Research Sciences , 2001 (8): 395–408, doi : 10.1155/S1073792801000198 , MR   1827084 .
• Щесны, М. (2010), Алгебры Пре-Ли и категории инцидентности цветных корневых деревьев , вып. 1007, с. 4784, arXiv : 1007.4784 , Bibcode : 2010arXiv1007.4784S .