Квазибиалгебра

В математике квазибиалгебры в 1990 году . являются обобщением биалгебр : они были впервые определены украинским математиком Владимиром Дринфельдом Квазибиалгебра отличается от биалгебры тем, что коассоциативность заменена обратимым элементом. $\Phi$ который контролирует некоассоциативность . Одним из их ключевых свойств является то, что соответствующая категория модулей образует тензорную категорию .

Определение [ править ]

Квазибиалгебра ${\mathcal {B_{A}}}=({\mathcal {A}},\Delta ,\varepsilon ,\Phi ,l,r)$ это алгебра ${\mathcal {A}}$ над полем $\mathbb {F}$ снабженный морфизмами алгебр

\Delta :{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A\otimes A}}

\varepsilon :{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {F}

вместе с обратимыми элементами $\Phi \in {\mathcal {A\otimes A\otimes A}}$ , и $r,l\in A$ такие, что имеют место следующие тождества:

(id\otimes \Delta )\circ \Delta (a)=\Phi \lbrack (\Delta \otimes id)\circ \Delta (a)\rbrack \Phi ^{-1},\quad \forall a\in {\mathcal {A}}

\lbrack (id\otimes id\otimes \Delta )(\Phi )\rbrack \ \lbrack (\Delta \otimes id\otimes id)(\Phi )\rbrack =(1\otimes \Phi )\ \lbrack (id\otimes \Delta \otimes id)(\Phi )\rbrack \ (\Phi \otimes 1)

(\varepsilon \otimes id)(\Delta a)=l^{-1}al,\qquad (id\otimes \varepsilon )\circ \Delta =r^{-1}ar,\quad \forall a\in {\mathcal {A}}

(id\otimes \varepsilon \otimes id)(\Phi )=r\otimes l^{-1}.

Где $\Delta$ и $\epsilon$ называются коумножением и счетной единицей, $r$ и $l$ называются правыми и левыми единичными ограничениями (соответственно), и $\Phi$ иногда называют ассоциатором Дринфельда . ^[1]^{: 369–376} Это определение построено так, что категория ${\mathcal {A}}-Mod$ является тензорной категорией относительно обычного тензорного произведения векторного пространства, и фактически это можно принять за определение вместо списка приведенных выше тождеств. ^[1]^: 368 Поскольку многие квазибиалгебры, встречающиеся «в природе», имеют тривиальные ограничения на единицу, т.е. $l=r=1$ определение иногда может быть дано с учетом этого предположения. ^[1]^: 370 Обратите внимание, что биалгебра — это просто квазибиалгебра с тривиальными ограничениями единицы и ассоциативности: $l=r=1$ и $\Phi =1\otimes 1\otimes 1$ .

квазибиалгебры Плетеные

Скрученная квазибиалгебра (также называемая квазитреугольной квазибиалгеброй ) — это квазибиалгебра, соответствующая тензорная категория которой ${\mathcal {A}}-Mod$ заплетается . Эквивалентно, по аналогии со сплетенными биалгебрами , мы можем построить понятие универсальной R-матрицы , которая контролирует некокоммутативность квазибиалгебры . Определение такое же, как и в случае косой биалгебры, за исключением дополнительных усложнений в формулах, вызванных добавлением ассоциатора.

Предложение: квазибиалгебра. $({\mathcal {A}},\Delta ,\epsilon ,\Phi ,l,r)$ является сплетенным, если он имеет универсальную R-матрицу , т. е. обратимый элемент $R\in {\mathcal {A\otimes A}}$ такие, что выполняются следующие 3 тождества:

(\Delta ^{op})(a)=R\Delta (a)R^{-1}

(id\otimes \Delta )(R)=(\Phi _{231})^{-1}R_{13}\Phi _{213}R_{12}(\Phi _{213})^{-1}

(\Delta \otimes id)(R)=(\Phi _{321})R_{13}(\Phi _{213})^{-1}R_{23}\Phi _{123}

Где для каждого $a_{1}\otimes ...\otimes a_{k}\in {\mathcal {A}}^{\otimes k}$ , $a_{i_{1}i_{2}...i_{n}}$ является мономом с $a_{j}$ в $i_{j}$ -е место, где любые пропущенные числа соответствуют идентификатору в этом месте. Наконец, мы распространим это за счет линейности на все ${\mathcal {A}}^{\otimes k}$ . ^[1]^: 371

Опять же, подобно случаю плетеной биалгебры , эта универсальная R-матрица удовлетворяет (неассоциативная версия) уравнению Янга – Бакстера :

R_{12}\Phi _{321}R_{13}(\Phi _{132})^{-1}R_{23}\Phi _{123}=\Phi _{321}R_{23}(\Phi _{231})^{-1}R_{13}\Phi _{213}R_{12}

^[1]^: 372

Скручивание [ править ]

Учитывая квазибиалгебру, дальнейшие квазибиалгебры могут быть порождены скручиванием (далее мы будем считать $r=l=1$ ) .

Если ${\mathcal {B_{A}}}$ является квазибиалгеброй и $F\in {\mathcal {A\otimes A}}$ обратимый элемент такой, что $(\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1$ , набор

\Delta '(a)=F\Delta (a)F^{-1},\quad \forall a\in {\mathcal {A}}

\Phi '=(1\otimes F)\ ((id\otimes \Delta )F)\ \Phi \ ((\Delta \otimes id)F^{-1})\ (F^{-1}\otimes 1).

Тогда набор $({\mathcal {A}},\Delta ',\varepsilon ,\Phi ')$ также является квазибиалгеброй, полученной скручиванием ${\mathcal {B_{A}}}$ посредством F , которое называется твист- или калибровочным преобразованием . ^[1]^: 373 Если $({\mathcal {A}},\Delta ,\varepsilon ,\Phi )$ представляла собой сплетенную квазибиалгебру с универсальной R-матрицей $R$ , тогда так и есть $({\mathcal {A}},\Delta ',\varepsilon ,\Phi ')$ с универсальной R-матрицей $F_{21}RF^{-1}$ (используя обозначения из предыдущего раздела). ^[1]^: 376 Однако поворот биалгебры лишь в общем случае является квазибиалгеброй. Скручивания обладают многими ожидаемыми свойствами. Например, скручивая $F_{1}$ а потом $F_{2}$ эквивалентно скручиванию на $F_{2}F_{1}$ , и скручивая $F$ затем $F^{-1}$ восстанавливает исходную квазибиалгебру.

Скручивания обладают тем важным свойством, что они индуцируют категориальную эквивалентность в тензорной категории модулей:

Теорема: Пусть ${\mathcal {B_{A}}}$ , ${\mathcal {B_{A'}}}$ — квазибиалгебры, пусть ${\mathcal {B'_{A'}}}$ быть скручиванием ${\mathcal {B_{A'}}}$ к $F$ , и пусть существует изоморфизм: $\alpha :{\mathcal {B_{A}}}\to {\mathcal {B'_{A'}}}$ . Тогда индуцированный тензорный функтор $(\alpha ^{*},id,\phi _{2}^{F})$ является тензорной категорией эквивалентности между ${\mathcal {A'}}-mod$ и ${\mathcal {A}}-mod$ . Где $\phi _{2}^{F}(v\otimes w)=F^{-1}(v\otimes w)$ . Более того, если $\alpha$ является изоморфизмом сплетенных квазибиалгебр, то указанный выше индуцированный функтор является сплетенной тензорной категорией эквивалентности. ^[1]^{: 375–376}

Использование [ править ]

Квазибиалгебры составляют основу изучения квазихопфовых алгебр и дальнейшего изучения скручиваний Дринфельда и представлений в терминах F-матриц, связанных с конечномерными неприводимыми представлениями квантовой аффинной алгебры . F-матрицы можно использовать для факторизации соответствующей R-матрицы . Это приводит к приложениям в статистической механике , поскольку квантовые аффинные алгебры и их представления приводят к решениям уравнения Янга-Бакстера , условия разрешимости для различных статистических моделей, позволяющего вывести характеристики модели из соответствующей квантовой аффинной алгебры. Исследование F-матриц применялось к таким моделям, как XXZ, в рамках алгебраического анзаца Бете .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час К. Кассель. «Квантовые группы». Тексты для аспирантов по математике Springer-Verlag. ISBN 0387943706

Дальнейшее чтение [ править ]

Владимир Дринфельд , Квази-Хопфовые алгебры , Ленинградский математический журнал 1 (1989), 1419-1457
Дж. М. Майе и Дж. Санчес де Сантос, Дринфельд Твисты и алгебраический анзац Бете , Amer. Математика. Соц. Перевод (2) Том. 201 , 2000 г.

[Kassel-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час К. Кассель. «Квантовые группы». Тексты для аспирантов по математике Springer-Verlag. ISBN 0387943706

[1]