Квази-Хопфовая алгебра

— Квази-алгебра Хопфа это обобщение алгебры Хопфа , которая была определена российским математиком Владимиром Дринфельдом в 1989 году.

Квази -алгебра Хопфа — это квазибиалгебра. ${\mathcal {B_{A}}}=({\mathcal {A}},\Delta ,\varepsilon ,\Phi )$ для чего существуют $\alpha ,\beta \in {\mathcal {A}}$ и биективный антигомоморфизм S ( антипод ) ${\mathcal {A}}$ такой, что

\sum _{i}S(b_{i})\alpha c_{i}=\varepsilon (a)\alpha

\sum _{i}b_{i}\beta S(c_{i})=\varepsilon (a)\beta

для всех $a\in {\mathcal {A}}$ и где

\Delta (a)=\sum _{i}b_{i}\otimes c_{i}

и

\sum _{i}X_{i}\beta S(Y_{i})\alpha Z_{i}=\mathbb {I} ,

\sum _{j}S(P_{j})\alpha Q_{j}\beta S(R_{j})=\mathbb {I} .

где разложения для величин $\Phi$ и $\Phi ^{-1}$ даны

\Phi =\sum _{i}X_{i}\otimes Y_{i}\otimes Z_{i}

и

\Phi ^{-1}=\sum _{j}P_{j}\otimes Q_{j}\otimes R_{j}.

Что касается квазибиалгебры , то свойство квазихопфовости сохраняется при скручивании .

Использование [ править ]

Квази-Хопфовые алгебры составляют основу изучения скручиваний Дринфельда и представлений в терминах F-матриц, связанных с конечномерными неприводимыми представлениями квантовой аффинной алгебры . F-матрицы можно использовать для факторизации соответствующей R-матрицы . Это приводит к приложениям в статистической механике , поскольку квантовые аффинные алгебры и их представления приводят к решениям уравнения Янга-Бакстера , условия разрешимости для различных статистических моделей, позволяющего вывести характеристики модели из соответствующей квантовой аффинной алгебры. Исследование F-матриц применялось к таким моделям, как модель Гейзенберга XXZ в рамках алгебраического анзаца Бете . Он обеспечивает основу для решения двумерных интегрируемых моделей с использованием квантового метода обратной задачи рассеяния .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Владимир Дринфельд , "Квази-Хопфовые алгебры", Ленинградский математический журнал 1 (1989), 1419-1457.
Дж. М. Майе и Дж. Санчес де Сантос, Дринфельд Твисты и алгебраический анзац Бете , Amer. Математика. Соц. Перевод (2) Том. 201 , 2000 г.