Квазитреугольная алгебра Хопфа

В математике алгебра Хопфа . H является квазитреугольной если существует элемент обратимый , R ​ $H\otimes H$ такой, что

• $R\ \Delta (x)R^{-1}=(T\circ \Delta )(x)$ для всех $x\in H$, где $\Delta$ является копроизведением на H и линейное отображение $T:H\otimes H\to H\otimes H$ дается $T(x\otimes y)=y\otimes x$,

• $(\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}\ R_{23}$,

• $(1\otimes \Delta )(R)=R_{13}\ R_{12}$,

где $R_{12}=\phi _{12}(R)$, $R_{13}=\phi _{13}(R)$, и $R_{23}=\phi _{23}(R)$, где $\phi _{12}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H$, $\phi _{13}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H$, и $\phi _{23}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H$, являются морфизмами алгебры , определяемыми

$\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,$

$\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,$

$\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.$

R называется R-матрицей .

Вследствие свойств квазитреугольности R-матрица R является решением уравнения Янга–Бакстера (и поэтому модуль V из H можно использовать для определения квазиинвариантов кос , узлов и связей ). Также вследствие свойств квазитреугольности $(\epsilon \otimes 1)R=(1\otimes \epsilon )R=1\in H$; более того $R^{-1}=(S\otimes 1)(R)$, $R=(1\otimes S)(R^{-1})$, и $(S\otimes S)(R)=R$. Можно далее показать, чтоантипод S должен быть линейным изоморфизмом, и, следовательно, S ² является автоморфизмом. Фактически, С ² задается сопряжением обратимым элементом: $S^{2}(x)=uxu^{-1}$ где $u:=m(S\otimes 1)R^{21}$ (см. Ленточные алгебры Хопфа ).

Можно построить квазитреугольную алгебру Хопфа из алгебры Хопфа и ее двойственной, используя конструкцию квантового дубля Дринфельда .

Если алгебра Хопфа H квазитреугольная, то категория модулей над H заплетается расплетением

$c_{U,V}(u\otimes v)=T\left(R\cdot (u\otimes v)\right)=T\left(R_{1}u\otimes R_{2}v\right)$.

Скручивание

Свойство квазитреугольной алгебры Хопфа сохраняется при скручивании через обратимый элемент $F=\sum _{i}f^{i}\otimes f_{i}\in {\mathcal {A\otimes A}}$ такой, что $(\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1$ и удовлетворяющее условию коцикла

$(F\otimes 1)\cdot (\Delta \otimes id)(F)=(1\otimes F)\cdot (id\otimes \Delta )(F)$

Более того, $u=\sum _{i}f^{i}S(f_{i})$ обратим, а скрученный антипод определяется выражением $S'(a)=uS(a)u^{-1}$, с скрученным коумножением, R-матрица и коединица изменяются в соответствии с теми, которые определены для квазитреугольной квази-алгебры Хопфа . Такой поворот известен как допустимый поворот (или поворот Дринфельда).

См. также

• Квазитреугольная квазихопфовая алгебра
• Ленточная алгебра Хопфа

Ссылки

• Монтгомери, Сьюзен (1993). Алгебры Хопфа и их действия на кольцах . Серия региональных конференций по математике. Том. 82. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0738-2 . Збл   0793.16029 .
• Монтгомери, Сьюзен ; Шнайдер, Ханс-Юрген (2002). Новые направления в алгебрах Хопфа . Публикации НИИ математических наук. Том. 43. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-81512-3 . Збл   0990.00022 .