8-микубические соты

8-микубические соты
(Нет изображения)
Тип	Униформа 8-сотовая
Семья	Альтернативные соты гиперкуба
Символ Шлефли	ч{4,3,3,3,3,3,3,4}
Диаграммы Кокстера	= =
Фасеты	{3,3,3,3,3,3,4} ч{4,3,3,3,3,3,3}
Вершинная фигура	Выпрямленный 8-ортоплекс
Группа Коксетера	${\tilde {B}}_{8}$ [4,3,3,3,3,3,3 ^1,1] ${\tilde {D}}_{8}$ [3 ^1,1,3,3,3,3,3 ^1,1]

, 8-демикубические соты или демиоктерактические соты, представляют собой равномерную, заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом 8-мерном пространстве. Он построен как чередование обычных 8-кубовых сот .

Он состоит из двух разных типов граней . 8 -кубы чередуются в 8-демикубы h{4,3,3,3,3,3,3} и чередующиеся вершины создают 8-ортоплексные {3,3,3,3,3,3,4} фасета. .

Решетка Д8

Вершинное расположение сот 8-микубических представляет D8 _{решетку} собой . ^[1] 112 вершин выпрямленной 8-ортоплексной вершинной фигуры 8 -полукубических сот отражают число целования 112 этой решетки. ^[2] Самый известный — 240, из Е ₈ решетки и 5 ₂₁ сот .

${\tilde {E}}_{8}$ содержит ${\tilde {D}}_{8}$ как подгруппа индекса 270. ^[3] Оба ${\tilde {E}}_{8}$ и ${\tilde {D}}_{8}$ можно рассматривать как аффинное расширение $D_{8}$ из разных узлов:

Д ⁺
_{Решетка 8} (также называемая D ²
₈ ) можно построить объединением двух решеток D8. ^[4] Эта упаковка представляет собой всего лишь решетку четных размеров. Число поцелуев — 240. (2 ^n-1 для n<8, 240 для n=8 и 2n(n-1) для n>8). ^[5] Она идентична решетке Е8 . В 8 измерениях 240 контактов содержат как 2 ⁷=128 из прогрессии контакта с низшим измерением (2 ^n-1) и 16*7=112 из более высоких измерений (2n(n-1)).

∪

=

.

Д ^*
_{Решетка 8} (также называемая D ⁴
₈ и С ²
₈ ) можно построить объединением всех четырех решеток D8 : ^[6] Это также семимерный куб с центром в теле , объединение двух сот из семи кубов в двойных положениях.

∪

=

∪

.

Поцелуйное число D ^*
_8- я решетка равна 16 ( 2n для n≥5). ^[7] а его мозаика Вороного представляет собой четырехнаправленную 8-кубическую соту , , содержащий все триректифицированные 8-ортоплексные ячейки Вороного , . ^[8]

Симметричные конструкции

Существуют три однородные конструктивные симметрии этой мозаики. Каждая симметрия может быть представлена расположением разных цветов на 256 гранях по 8 полукубов вокруг каждой вершины.

Группа Коксетера	Символ Шлефли	Диаграмма Кокстера-Динкина	Вершинная фигура Симметрия	Фасеты /краска
${\tilde {B}}_{8}$ = [3 ^1,1,3,3,3,3,3,4] = [1 ⁺,4,3,3,3,3,3,3,4]	ч{4,3,3,3,3,3,3,4}	=	[3,3,3,3,3,3,4]	256: 8-демикуб 16: 8-ортоплекс
${\tilde {D}}_{8}$ = [3 ^1,1,3,3,3,3 ^1,1] = [1 ⁺,4,3,3,3,3,3 ^1,1]	ч{4,3,3,3,3,3,3 ^1,1}	=	[3 ^6,1,1]	128+128: 8-ми куб 16: 8-ортоплекс
2×½ ${\tilde {C}}_{8}$ = [[(4,3,3,3,3,3,4,2 ⁺)]]	ht _0,8 {4,3,3,3,3,3,3,4}			128+64+64: 8-ми куб 16: 8-ортоплекс

См. также

Примечания

^ «Решетка D8» .
^ Сферические упаковки, решетки и группы , Джон Хортон Конвей , Нил Джеймс Александр Слоан, Эйичи Баннаи [1]
^ Джонсон (2015) стр.177
^ Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter, Статья 18, «Крайние формы» (1950)
^ Конвей (1998), с. 119
^ «Решетка D8» .
^ Конвей (1998), с. 120
^ Конвей (1998), с. 466

Ссылки

Коксетер, Правильные многогранники HSM (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8
- стр. 154–156: Частичное усечение или чередование, представленное префиксом h : h{4,4}={4,4}; ч{4,3,4}={3 ^1,1,4}, ч{4,3,3,4}={3,3,4,3}, ...
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена , Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации (2018)
Конвей Дж. Х., Слоан Н. Дж. Х. (1998). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). ISBN 0-387-98585-9 .

Внешние ссылки

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] «Решетка D8» .

[2] Сферические упаковки, решетки и группы , Джон Хортон Конвей , Нил Джеймс Александр Слоан, Эйичи Баннаи [1]

[3] Джонсон (2015) стр.177

[4] Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter, Статья 18, «Крайние формы» (1950)

[5] Конвей (1998), с. 119

[6] «Решетка D8» .

[7] Конвей (1998), с. 120

[8] Конвей (1998), с. 466

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]