Четвертькубические соты

Четвертькубические соты

Тип	Равномерные соты
Семья	Усеченные симплексные соты Четвертьгиперкубические соты
Индексирование ^[1]	Дж _25,33 , А ₁₃ Ж ₁₀ , Г ₆
Символ Шлефли	т _0,1 {3 ^[4]} или q{4,3,4}
Диаграмма Кокстера-Динкина	= =
Типы ячеек	{3,3} (3.6.6)
Типы лица	{3} , {6}
Вершинная фигура	(равнобедренная треугольная антипризма )
Космическая группа	Фд 3м (227)
Группа Коксетера	${\tilde {A}}_{3}$ ×2 ₂, [[3 ^[4]]]
Двойной	сплющенный кубиль Клетка: (1/4 ромдодекаэдра)
Характеристики	вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный

Четвертькубические соты , четвертькубические ячейки или битусеченные чередующиеся кубические соты представляют собой заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве . Он состоит из тетраэдров и усеченных тетраэдров в соотношении 1:1. Его называют «четвертькубическим», потому что его единица симметрии — минимальный блок, из которого посредством отражений формируется узор, — в четыре раза больше, чем у кубических сот .

Он вершинно-транзитивен , имеет 6 усеченных тетраэдров и 2 тетраэдра вокруг каждой вершины.

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Это один из 28 выпуклых однородных сот .

Грани ячеек этой соты образуют четыре семейства параллельных плоскостей, каждая из которых имеет мозаику 3.6.3.6 .

Ее вершинная фигура представляет собой равнобедренную антипризму : два равносторонних треугольника, соединенных шестью равнобедренными треугольниками .

Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченным тетраэдрилом , а его двойной сплющенный кубиль .

Вершины и ребра представляют собой решетку Кагоме . трехмерную ^[2] что представляет собой решетку пирохлора .

Строительство

Четвертькубические соты могут быть построены из слоев усеченных тетраэдров и тетраэдрических ячеек, рассматриваемых как две тригексагональные мозаики . Два тетраэдра соединены вершиной и центральной инверсией . В каждой тригексагональной мозаике половина треугольников принадлежит тетраэдрам, а половина — усеченным тетраэдрам. Эти слои плит должны быть уложены треугольниками тетраэдров в усеченные тетраэдрические треугольники, чтобы построить однородные четвертькубические соты . Слои плит шестиугольных и треугольных призм могут чередоваться для удлиненных сот, но они также не являются однородными.

	трехгексагональная мозаика:

Симметрия

Ячейки могут быть показаны в двух разных симметриях. Форма, генерируемая отражением, представленная диаграммой Кокстера-Динкина, имеет два цвета усеченных кубооктаэдров . Симметрию можно удвоить, связав пары кольцевых и некольцевых узлов диаграммы Кокстера-Дынкина, которую можно показать одноцветными тетраэдрическими и усеченными тетраэдрическими ячейками.

Две однородные расцветки
Симметрия	${\tilde {A}}_{3}$ , [3 ^[4]]	${\tilde {A}}_{3}$ ×2, [[3 ^[4]]]
Космическая группа	Ф 4 3м (216)	Фд 3м (227)
Раскраска
Вершинная фигура
Вертекс фигура симметрия	С _3В [3] (*33) заказать 6	Д _3д [2 ⁺,6] (2*3) заказать 12

Связанные многогранники

Подмножество шестиугольных граней этой соты содержит правильный косой апейроэдр {6,6\|3}.	В этих сотах существуют четыре набора параллельных плоскостей тригексагональных плиток .

Эти соты являются одними из пяти различных однородных сот. ^[3] построенный ${\tilde {A}}_{3}$ Группа Кокстера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина :

Соты А3
Space group	Fibrifold	Square symmetry	Extended symmetry	Extended diagram	Extended group	Honeycomb diagrams
F43m (216)	1^o:2	a1	[3^[4]]		${\tilde {A}}_{3}$	(None)
Fm3m (225)	2⁻:2	d2	<[3^[4]]> ↔ [4,3^1,1]	↔	${\tilde {A}}_{3}$ ×2₁ ↔ ${\tilde {B}}_{3}$	₁, ₂
Fd3m (227)	2⁺:2	g2	[[3^[4]]] or [2⁺[3^[4]]]	↔	${\tilde {A}}_{3}$ ×2₂	₃
Pm3m (221)	4⁻:2	d4	<2[3^[4]]> ↔ [4,3,4]	↔	${\tilde {A}}_{3}$ ×4₁ ↔ ${\tilde {C}}_{3}$	₄
I3 (204)	8^−o	r8	[4[3^[4]]]⁺ ↔ [[4,3⁺,4]]	↔	½ ${\tilde {A}}_{3}$ ×8 ↔ ½ ${\tilde {C}}_{3}$ ×2	_(*)
Im3m (229)	8^o:2	r8	[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	${\tilde {A}}_{3}$ ×8 ↔ ${\tilde {C}}_{3}$ ×2	₅

Соты C3
Space group	Fibrifold	Extended symmetry	Extended diagram	Order	Honeycombs
Pm3m (221)	4⁻:2	[4,3,4]		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
Fm3m (225)	2⁻:2	[1⁺,4,3,4] ↔ [4,3^1,1]	↔	Half	₇, ₁₁, ₁₂, ₁₃
I43m (217)	4^o:2	[[(4,3,4,2⁺)]]		Half × 2	₍₇₎,
Fd3m (227)	2⁺:2	[[1⁺,4,3,4,1⁺]] ↔ [[3^[4]]]	↔	Quarter × 2	₁₀,
Im3m (229)	8^o:2	[[4,3,4]]		×2	₍₁₎, ₈, ₉

Четвертькубические соты связаны с матрицей трехмерных сот: q{2p,4,2q}

Евклидовы /гиперболические ( паракомпактные / некомпактные ) четвертьсоты q{p,3,q}
p \ q	4	6	8	... ∞
4	q{4,3,4} ↔ ↔	q{4,3,6} ↔ ↔	q{4,3,8} ↔	q{4,3,∞} ↔
6	q{6,3,4} ↔ ↔	q{6,3,6} ↔	q{6,3,8} ↔	q{6,3,∞} ↔
8	q{8,3,4} ↔	q{8,3,6} ↔	q{8,3,8} ↔	q{8,3,∞} ↔
... ∞	q{∞,3,4} ↔	q{∞,3,6} ↔	q{∞,3,8} ↔	q{∞,3,∞} ↔

См. также

Ссылки

^ Для перекрестных ссылок им даны списочные индексы Андреини (1-22), Уильямса (1-2,9-19), Джонсона (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51). -52, 61-65) и Грюнбаум (1-28).
^ о слове кагоме Статья «Физика сегодня » .
^ [1] , OEIS последовательность A000029 6-1 случаев, пропуск одного с нулевыми отметками

Джон Х. Конвей , Хайди Бургель , Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, Архитектурные и катоптрические мозаики, стр. 292-298, включает все непризматические формы)
Георгий Ольшевский, Равномерные паноплоидные тетракомбы , Рукопись (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомб)
Бранко Грюнбаум , Равномерные разбиения трехмерного пространства. Геомбинаторика 4 (1994), 49–56.
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х .
Кричлоу, Кейт (1970). Порядок в космосе: справочник по дизайну . Викинг Пресс. ISBN 0-500-34033-1 .
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10] (1.9 Равномерные пространственные заполнения)
А. Андреини , О правильных и полуправильных сетях многогранников и о соответствующих корреляционных сетях , Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
ДМИ Соммервилль , Введение в геометрию n измерений. Нью-Йорк, EP Dutton, 1930. 196 стр. (издание Dover Publications, 1958). Глава X: Правильные многогранники.
Клитцинг, Ричард. «3D Евклидовы соты x3x3o3o3*a - batatoh - O27» .
Равномерные соты в 3-пространстве: 15-Бататох

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] Для перекрестных ссылок им даны списочные индексы Андреини (1-22), Уильямса (1-2,9-19), Джонсона (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51). -52, 61-65) и Грюнбаум (1-28).

[2] о слове кагоме Статья «Физика сегодня » .

[3] [1] , OEIS последовательность A000029 6-1 случаев, пропуск одного с нулевыми отметками

[1]

[2]

[3]