Правильный косой апейроэдр

В геометрии правильный косой апейроэдр — это бесконечный правильный косой многогранник . Они имеют либо перекошенные правильные грани , либо перекошенные правильные фигуры вершин .

История

В 1926 году Джон Флиндерс Петри взял концепцию правильных косых многоугольников , многоугольников, вершины которых не находятся в одной плоскости, и распространил ее на многогранники. Хотя апейроэдры обычно требуются для замощения двумерной плоскости, Петри рассматривал случаи, когда грани все еще были выпуклыми, но не требовали, чтобы они лежали ровно в плоскости, они могли иметь фигуру вершины перекошенного многоугольника .

Петри открыл два правильных косых апейроэдра: мукуб и мюоктаэдр. ^[1] Гарольд Скотт Макдональд Коксетер вывел третий, мутетраэдр, и доказал, что эти три элемента являются полными. Согласно определению Коксетера и Петри, требующему выпуклых граней и допускающему перекос фигуры вершины, эти три были не только единственными косыми апейроэдрами в трехмерном евклидовом пространстве, но и единственными косыми многогранниками в трехмерном пространстве, поскольку там Коксетер показал, что не существует конечные случаи.

В 1967 году ^[2] Гарнер исследовал правильные косые апейроэдры в гиперболическом трехмерном пространстве по определению Петри и Коксетерса, обнаружив 31 ^{[примечание 1]} правильные косые апейроэдры с компактной или паракомпактной симметрией.

В 1977 году ^[3]^[1] Грюнбаум обобщил косые многогранники, чтобы учесть косые грани. Грюнбаум обнаружил еще 23 ^{[примечание 2]} косые апейроэдры в трехмерном евклидовом пространстве и 3 в двумерном пространстве, которые перекошены в силу своих граней. 12 многогранников Грюнбаума были сформированы с помощью операции смешивания двумерных апейроэдров, а остальные 11 были чистыми, т.е. не могли быть образованы нетривиальным смешиванием. Грюнбаум предположил, что этот новый список является полным для рассматриваемых параметров.

В 1985 году ^[4]^[1] Дресс нашел дополнительный чистый правильный косой апейроэдр в трехмерном пространстве и доказал, что с этим дополнительным косым апейроэдром список был полным.

Правильные косые апейроэдры в евклидовом трехмерном пространстве

Многогранники Петри-Коксетера

Три евклидовых решения в трехмерном пространстве — это {4,6|4}, {6,4|4} и {6,6|3}. Джон Конвей назвал их мукубом, мюоктаэдром и мутетраэдром соответственно, обозначая кратный куб, октаэдр и тетраэдр. ^[5]

Mucube : {4,6|4}: 6 квадратов вокруг каждой вершины (относится к кубическим сотам , построенным из кубических ячеек, удаляющим две противоположные грани из каждой и соединяющим наборы из шести вместе вокруг безликого куба ).
Муоктаэдр : {6,4|4}: 4 шестиугольника вокруг каждой вершины (относится к усеченным кубическим сотам , построенным из усеченного октаэдра с удаленными квадратными гранями и соединяющими пары отверстий вместе).
Мутетраэдр : {6,6|3}: 6 шестиугольников вокруг каждой вершины (связано с четвертькубическими сотами , построенными из ячеек усеченного тетраэдра , удалением треугольных граней и соединением наборов из четырех вокруг безликого тетраэдра .)

Коксетер дает эти правильные косые апейроэдры {2q,2r|p} с расширенной киральной симметрией [[( p , q , p , r )] ⁺] которая, по его словам, изоморфна его абстрактной группе (2 q ,2 r |2, p ). Соответствующие соты имеют расширенную симметрию [[( p , q , p , r )]]. ^[6]

Компактные правильные косые апейроэдры
Группа Коксетера симметрия	Апейроэдр {p,q\|l}	Изображение	Связанный соты
[[4,3,4]] [[4,3,4] ⁺]	{4,6\|4} Мукубе	анимация	т _0,3 {4,3,4}
[[4,3,4]] [[4,3,4] ⁺]	{6,4\|4} Муоктаэдр	анимация	2т{4,3,4}
[[3 ^[4]]] [[3 ^[4]] ⁺]	{6,6\|3} Мутетраэдр	анимация	д{4,3,4}

Многогранники Грюнбаума-Платья

Косые соты

Существует 3 правильных косых апейроэдра полного ранга, также называемых правильными косыми сотами , то есть косыми апейроэдрами в двух измерениях. Как и в случае с конечными косыми многогранниками полного ранга, все три из них могут быть получены путем применения двойственного Петри к плоским многогранникам, в данном случае к трем правильным мозаикам. ^[7]^[8]^[9]

В качестве альтернативы их можно построить с помощью операции apeir над правильными многоугольниками. ^[10] Хотя в Петриале используется классическая конструкция, она плохо распространяется на более высокие ранги. Напротив, операция apeir используется для построения косых сот более высокого ранга. ^[11]

Операция apeir берет порождающие зеркала многоугольника, $ρ 0$ и $ρ 1$ , и использует их в качестве зеркал для вершинной фигуры многогранника, новое вершинное зеркало $w$ тогда является точкой, расположенной там, где находится начальная вершина многоугольника (или любом месте зеркала $ρ1,$ кроме его пересечения с $ρ0 в$ ). Новая начальная вершина размещается на пересечении зеркал $ρ 0$ и $ρ 1$ . Таким образом, апейрный многогранник порождается $⟨w, ρ 0, ρ 0 ⟩$ . ^[12]

Косые соты	Символ Шлефли		Лица	Петри двойной	Апир
Петриальная квадратная плитка	${4,4} п$	${\infty,4} 4$	∞ зигзаги	Квадратная плитка	Квадрат
Треугольная мозаика Петриала	${3,6} п$	${\infty,6} 3$	∞ зигзаги	Треугольная плитка	Шестиугольник
Шестиугольная мозаика Петриала	${6,3} п$	${\infty,3} 6$	∞ зигзаги	Шестиугольная плитка	Треугольник

Смешанные апейроэдры

Для любых двух правильных многогранников $P$ и $Q$ новый многогранник можно создать с помощью следующего процесса:

Начните с декартова произведения вершин $P$ на вершины $Q$ .
Добавьте ребра между любыми двумя вершинами $p 0 \times q 0$ и $p 1 \times q 1$ тогда и только тогда, когда существует ребро между $p$ ₀ и $p$ ₁ в $P$ и ребро между $q$ ₀ и $q$ ₁ в $Q$ . (Если $Q$ не имеет ребер, добавьте виртуальное ребро, соединяющее его вершину с самим собой.)
Аналогичным образом добавьте грани в каждый набор вершин, инцидентных одной и той же грани как в $P,$ так и $в Q$ . (Если $Q$ не имеет граней, добавьте виртуальную грань, соединяющую его ребро с самим собой.)
Повторите то же самое для всех рангов собственных элементов.
Из полученного многогранника выберите одну компоненту связности.

Для правильных многогранников последний шаг гарантированно даст уникальный результат. новый многогранник называется смесью P $#$ и $Q$ и обозначается $P Этот Q$ .

Эквивалентно смесь можно получить, расположив $P$ и $Q$ в ортогональных пространствах и попарно составив их образующие зеркала.

Смешанные многогранники в трехмерном пространстве можно получить путем объединения двумерных многогранников с одномерными многогранниками. Единственными двумерными многогранниками являются 6 сот (3 евклидовых мозаики и 3 косых сот ):

Треугольная мозаика : ${3, 6}$
Квадратная мозаика : ${4, 4}$
Шестиугольная мозаика : ${6, 3}$
Треугольная мозаика Петриала: ${3, 6} п$
Замощение квадрата Петриала: ${4, 4} п$
Шестиугольная мозаика Петриала: ${6, 3} п$

Единственными одномерными многогранниками являются:

: Отрезок линии { $}$
Апейрогон } : ${\infty$

Каждая пара между ними создает действительный отдельный правильный косой апейроэдр в трехмерном евклидовом пространстве, всего 12 ^{[примечание 2]} смешанные косые апейроэдры.

Поскольку скелет квадратной мозаики двудольный , две из этих смесей: ${4, 4}#{}$ и ${4, 4} п #{}$ , комбинатриально эквивалентны своим несмешанным аналогам.

Чистые апейроэдры

Многогранник считается чистым, если его нельзя выразить как нетривиальную смесь двух многогранников. Смесь считается тривиальной, если она содержит результат в качестве одного из компонентов. Альтернативно, чистый многогранник — это тот, группа симметрии которого не содержит нетривиальных подпредставлений . ^[13]

Существует 12 правильных чистых апейроэдров в трёх измерениях. Три из них — многогранники Петри-Коксетера :

${4,6 | 4}$
${6,4 | 4}$
${6,6 | 3}$

Еще три получены как Петриалы многогранников Петри-Коксетера:

${4,6 | 4} п = {\infty, 4} 6,4$
${6,4 | 4} п = {\infty, 6} 4,4$
${6,6 | 3} п = {\infty, 6} 6,3$

Три дополнительных чистых апейроэдра могут быть образованы с помощью конечных косых многоугольников в качестве граней:

6 косых шестиугольников в шестиугольном расположении образуют вершину ${6,6} 4$ .
6 косых квадратов в шестиугольном расположении образуют вершину ${4,6} 6$ .
4 косых шестиугольника , расположенных в квадрате , образуют вершину ${6,4} 6$ .

Эти 3 закрыты по операциям Вильсона . Это означает, что каждый может быть построен из любого другого с помощью некоторой комбинации операций Петриала и двойственных операций. ${6,6} 4$ самодуален , а ${6,4} 6$ само-Петриал.

Правильные косые апейроэдры в гиперболическом трехмерном пространстве

В 1967 году К.У.Л. Гарнер идентифицировал 31 гиперболический косой апейроэдр с правильных косых многоугольников фигурами вершин , найденных путем расширения многогранников Петри-Коксетера до гиперболического пространства. ^[14]

Это 14 компактных и 17 ^{[примечание 1]} паракомпактные правильные косые многогранники в гиперболическом пространстве, построенные на основе симметрии подмножества линейных и циклических графов групп Кокстера вида [[( p , q , p , r )]]. Они определяют правильные косые многогранники {2 q ,2 r | p } и двойственный {2 r ,2 q | п }. Для частного случая групп линейных графов r = 2 это представляет группу Кокстера [ p , q , p ]. Он генерирует регулярные перекосы {2 q , 4 | p } и {4,2 q | п }. Все они существуют как подмножество граней выпуклых однородных сот в гиперболическом пространстве .

Косой апейроэдр имеет ту же вершину антипризмы , что и соты, но реализуются только зигзагообразные грани вершинной фигуры, в то время как другие грани образуют отверстия.

14 Компактные правильные косые апейроэдры
Коксетер группа	Апейроэдр {p,q\|l}	Соты	Апейроэдр {p,q\|l}	Соты
[3,5,3]	{10,4\|3}	2т{3,5,3}	{4,10\|3}	т _0,3 {3,5,3}
[5,3,5]	{6,4\|5}	2т{5,3,5}	{4,6\|5}	т _0,3 {5,3,5}
[(4,3,3,3)]	{8,6\|3}	ct{(4,3,3,3)}	{6,8\|3}	ct{(3,3,4,3)}
[(5,3,3,3)]	{10,6\|3}	ct{(5,3,3,3)}	{6,10\|3}	ct{(3,3,5,3)}
[(4,3,4,3)]	{8,8\|3}	ct{(4,3,4,3)}	{6,6\|4}	ct{(3,4,3,4)}
[(5,3,4,3)]	{8,10\|3}	ct{(4,3,5,3)}	{10,8\|3}	ct{(5,3,4,3)}
[(5,3,5,3)]	{10,10\|3}	ct{(5,3,5,3)}	{6,6\|5}	ct{(3,5,3,5)}

17 Паракомпактные правильные косые апейроэдры
Коксетер группа	Апейроэдр {p,q\|l}	Соты	Апейроэдр {p,q\|l}	Соты
[4,4,4]	{8,4\|4}	2т{4,4,4}	{4,8\|4}	т _0,3 {4,4,4}
[3,6,3]	{12,4\|3}	2т{3,6,3}	{4,12\|3}	т _0,3 {3,6,3}
[6,3,6]	{6,4\|6}	2т{6,3,6}	{4,6\|6}	т _0,3 {6,3,6}
[(4,4,4,3)]	{8,6\|4}	ct{(4,4,3,4)}	{6,8\|4}	ct{(3,4,4,4)}
[(4,4,4,4)]	{8,8\|4}	д{4,4,4}
[(6,3,3,3)]	{12,6\|3}	ct{(6,3,3,3)}	{6,12\|3}	ct{(3,3,6,3)}
[(6,3,4,3)]	{12,8\|3}	ct{(6,3,4,3)}	{8,12\|3}	ct{(4,3,6,3)}
[(6,3,5,3)]	{12,10\|3}	ct{(6,3,5,3)}	{10,12\|3}	ct{(5,3,6,3)}
[(6,3,6,3)]	{12,12\|3}	ct{(6,3,6,3)}	{6,6\|6}	ct{(3,6,3,6)}

См. также

Примечания

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гарнер ошибочно подсчитывает ${8,8|4}$ дважды, получая 18 паракомпактных корпусов и всего 32, но перечисляя только 17 паракомпактных корпусов и всего 31.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Многогранники, созданные как нетривиальная смесь, имеют степень свободы, соответствующую относительному масштабированию их компонентов. По этой причине некоторые авторы считают их бесконечными семействами, а не одним многогранником. существует аффинное отображение . полного ранга В этой статье два многогранника считаются равными, если между ними

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Макмаллен и Шульте (1997 : 449–450)
^ Гарнер (1967)
^ Грюнбаум (1977)
^ Платье (1985)
^ Симметрия вещей, 2008, глава 23. Объекты с первичной симметрией , Бесконечные платоновые многогранники , стр. 333–335.
^ Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II 2.34)
^ Грюнбаум (1977)
^ Платье (1985)
^ Макмаллен и Шульте (1997)
^ Макмаллен (2004)
^ Макмаллен (2004)
^ Макмаллен (2004)
^ Макмаллен и Шульте (2002)
^ Гарнер (1967)

Библиография

Гарнер (1967), «Правильные косые многогранники в гиперболическом трехмерном пространстве», Canadian Journal of Mathematics , 19 : 1179–1186, doi : 10.4153/CJM-1967-106-9
Грюнбаум, Бранко (1977), «Правильные многогранники - старые и новые» (PDF) , Aequationes Mathematicae , 16 (1–2): 1–20, doi : 10.1007/BF01836414 , S2CID 125049930
Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (1997). «Правильные многогранники в обычном пространстве» (PDF) . Дискретная и вычислительная геометрия . 17 (47): 449–478. дои : 10.1007/PL00009304 .
МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 92, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, номер номера : 10.1017/CBO9780511546686 , ISBN. 0-521-81496-0 , г-н : 1965665
Макмаллен, Питер (2004). «Правильные многогранники полного ранга» (PDF) . Дискретная вычислительная геометрия . 32 : 1–35. дои : 10.1007/s00454-004-0848-5 .
Платье, Андреас (1985). «Комбинаторная теория новых правильных многогранников Грюнбаума, Часть II: Полное перечисление». Математические уравнения . 29 : 222–243. дои : 10.1007/BF02189831 . S2CID 121260389 .
Пересмотр карт Петри-Коксетера PDF , Изабель Хабард, Эгон Шульте, Азия Ивик Вайс, 2005 г.
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 ,
Питер МакМаллен , Четырехмерные правильные многогранники , дискретная и вычислительная геометрия, сентябрь 2007 г., том 38, выпуск 2, стр. 355–387.
Коксетер , Правильные многогранники , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 2) HSM Coxeter, «Правильные губки, или косые многогранники», Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244.
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559–591]
Коксетер , Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 5: Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги, Труды Лондонского математического общества, Сер. 2, Том 43, 1937.)
- Коксетер, HSM Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях. Учеб. Лондонская математика. Соц. 43, 33–62, 1937.

[miscount-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гарнер ошибочно подсчитывает ${8,8|4}$ дважды, получая 18 паракомпактных корпусов и всего 32, но перечисляя только 17 паракомпактных корпусов и всего 31.

[blend_count-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Многогранники, созданные как нетривиальная смесь, имеют степень свободы, соответствующую относительному масштабированию их компонентов. По этой причине некоторые авторы считают их бесконечными семействами, а не одним многогранником. существует аффинное отображение . полного ранга В этой статье два многогранника считаются равными, если между ними

[M&Shistory-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Макмаллен и Шульте (1997 : 449–450)

[2] Гарнер (1967)

[4] Грюнбаум (1977)

[6] Платье (1985)

[7] Симметрия вещей, 2008, глава 23. Объекты с первичной симметрией , Бесконечные платоновые многогранники , стр. 333–335.

[8] Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II 2.34)

[9] Грюнбаум (1977)

[10] Платье (1985)

[11] Макмаллен и Шульте (1997)

[12] Макмаллен (2004)

[13] Макмаллен (2004)

[14] Макмаллен (2004)

[15] Макмаллен и Шульте (2002)

[16] Гарнер (1967)

[1]

[2]

[примечание 1]

[3]

[примечание 2]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]