Петри двойной
В топологической теории графов вложенному двойственный Петри ( графу на 2- многообразии со всеми гранями дисков) — это другой вложенный граф, гранями которого являются многоугольники Петри первого вложения. [1]
Двойственный Петри также называется Петриалом и двойственным Петри встроенного графа. может быть обозначен . [2] Его можно получить из знаковой системы вращения или представления вложения в виде ленточного графа путем скручивания каждого ребра вложения.
Характеристики
[ редактировать ]Как и в случае с обычным двойственным графом , повторение двойственной операции Петри дважды возвращает к исходному вложению поверхности.В отличие от обычного двойственного графа (который представляет собой вложение вообще другого графа в одну и ту же поверхность), двойственный граф Петри представляет собой вложение того же графа в вообще другую поверхность. [1]
Поверхностная двойственность и двойственность Петри — две из шести операций Вильсона , которые вместе образуют группу этих операций. [3]
Правильные многогранники
[ редактировать ]Применение двойственного Петри к правильному многограннику дает правильное отображение . [2] Число косых h -угольных граней равно g /2 h , где g — порядок группы , а h — номер Кокстера группы.
Например, двойственный кубу Петри ( двудольный граф с восемью вершинами и двенадцатью ребрами, вложенный в сферу с шестью квадратными гранями)имеет четыре [4] шестиугольные грани, экваторы куба. Топологически он образует вложение того же графа в тор. [1]
Таким образом получаются следующие регулярные отображения.
- Петриальный тетраэдр , {3,3} п , имеет 4 вершины, 6 ребер и 3 скошенные квадратные грани. С эйлеровой характеристикой , χ равной 1, он топологически идентичен полукубу { 4,3}/2.
- Петриальный куб , {4,3} п , имеет 8 вершин, 12 ребер и 4 косых шестиугольника, окрашенных в красный, зеленый, синий и оранжевый цвета. Поскольку эйлерова характеристика равна 0, ее также можно увидеть на четырех шестиугольных гранях шестиугольной мозаики как тип {6,3} (2,0) .
- Петриальный октаэдр , {3,4} п , имеет 6 вершин, 12 ребер и 4 косых грани шестиугольника. Он имеет эйлерову характеристику −2 и имеет отображение в гиперболическую шестиугольную мозаику порядка 4 как тип {6,4} 3 .
- Петриальный додекаэдр , {5,3} п , имеет 20 вершин, 30 ребер и 6 косых десятиугольных граней, а также эйлерову характеристику −4, связанную с гиперболическим мозаикой типа {10,3} 5 .
- Петриальный икосаэдр , {3,5} п , имеет 12 вершин, 30 ребер и 6 косых десятиугольных граней, а также эйлерову характеристику −12, связанную с гиперболическим мозаикой типа {10,5} 3 .
Имя | каменный тетраэдр | каменный куб | каменный октаэдр | каменный додекаэдр | каменный икосаэдр |
---|---|---|---|---|---|
Символ | {3,3} п , {4,3} 3 | {4,3} п , {6,3} 4 | {3,4} п , {6,4} 3 | {5,3} п , {10,3} | {3,5} п , {10,5} |
(v,e,f), χ | (4,6,3), х = 1 | (8,12,4), х = 0 | (6,12,4), χ = −2 | (20,30,6), χ = −4 | (12,30,6), χ = −12 |
Лица | 3 перекошенных квадрата | 4 косых шестиугольника | 6 косых десятиугольников | ||
Изображение | |||||
Анимация | |||||
Связанный цифры | {4,3} 3 = {4,3}/2 = {4,3} (2,0) | {6,3} 3 = {6,3} (2,0) | {6,4} 3 = {6,4} (4,0) | {10,3} 5 | {10,5} 3 |
Есть также 4 петриала многогранников Кеплера – Пуансо :
- Петриальный большой додекаэдр , {5,5/2} п , имеет 12 вершин, 30 ребер и 10 косых граней шестиугольника с эйлеровой характеристикой , χ равной -8.
- Петриальный малый звездчатый додекаэдр , {5/2,5} п , имеет 12 вершин, 30 ребер и 10 косых граней шестиугольника с χ, равным -8.
- Петриальный большой икосаэдр , {3,5/2} п , имеет 12 вершин, 30 ребер и 6 косых декаграммных граней с χ, равным -12.
- Петриальный большой звездчатый додекаэдр , {5/2,3} п , имеет 20 вершин, 30 ребер и 6 косых декаграммных граней с χ, равным -4.
Имя | каменный большой додекаэдр | каменный маленький звездчатый додекаэдр | каменный большой икосаэдр | каменный отличный звездчатый додекаэдр |
---|---|---|---|---|
Символ | {5,5/2} п , {6,5/2} | {5/2,5} п , {6,5} | {3,5/2} п , {10/3,5/2} | {5/2,3} п , {10/3,3} |
(v,e,f), χ | (12,30,10), х = -8 | (12,30,10), х = -8 | (12,30,6), х = -12 | (20,30,6), х = -4 |
Лица | 10 косых шестиугольников | 6 перекошенных декаграмм (одна декаграмма синего цвета обведена контуром) | ||
Изображение | ||||
Анимация |
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Писански, Томаж ; Рандич, Милан (2000), «Мосты между геометрией и теорией графов», в Горини, Кэтрин А. (редактор), Геометрия в действии , Примечания MAA, том. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Матем. доц. Америка, стр. 174–194, MR 1782654 . См., в частности, стр. 181 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 92, Издательство Кембриджского университета, с. 192, ИСБН 9780521814966
- ^ Джонс, Джорджия; Торнтон, Дж. С. (1983), «Операции над отображениями и внешние автоморфизмы», Журнал комбинаторной теории , серия B, 35 (2): 93–103, doi : 10.1016/0095-8956(83)90065-5 , MR 0733017
- ^ Октаэдрическая симметрия - порядок 48, число Кокстера - 6, 48/(2×6)=4.