Jump to content

Петри двойной

Многоугольник Петри додекаэдра представляет собой косой десятиугольник . Если смотреть на 5-кратную ось симметрии твердого тела, оно выглядит как правильный десятиугольник. Каждая пара последовательных сторон принадлежит одному пятиугольнику (но не тройка).

В топологической теории графов вложенному двойственный Петри ( графу на 2- многообразии со всеми гранями дисков) — это другой вложенный граф, гранями которого являются многоугольники Петри первого вложения. [1]

Двойственный Петри также называется Петриалом и двойственным Петри встроенного графа. может быть обозначен . [2] Его можно получить из знаковой системы вращения или представления вложения в виде ленточного графа путем скручивания каждого ребра вложения.

Характеристики

[ редактировать ]

Как и в случае с обычным двойственным графом , повторение двойственной операции Петри дважды возвращает к исходному вложению поверхности.В отличие от обычного двойственного графа (который представляет собой вложение вообще другого графа в одну и ту же поверхность), двойственный граф Петри представляет собой вложение того же графа в вообще другую поверхность. [1]

Поверхностная двойственность и двойственность Петри — две из шести операций Вильсона , которые вместе образуют группу этих операций. [3]

Правильные многогранники

[ редактировать ]

Применение двойственного Петри к правильному многограннику дает правильное отображение . [2] Число косых h -угольных граней равно g /2 h , где g порядок группы , а h номер Кокстера группы.

Например, двойственный кубу Петри ( двудольный граф с восемью вершинами и двенадцатью ребрами, вложенный в сферу с шестью квадратными гранями)имеет четыре [4] шестиугольные грани, экваторы куба. Топологически он образует вложение того же графа в тор. [1]

Таким образом получаются следующие регулярные отображения.

  • Петриальный тетраэдр , {3,3} п , имеет 4 вершины, 6 ребер и 3 скошенные квадратные грани. С эйлеровой характеристикой , χ равной 1, он топологически идентичен полукубу ​​{ 4,3}/2.
  • Петриальный куб , {4,3} п , имеет 8 вершин, 12 ребер и 4 косых шестиугольника, окрашенных в красный, зеленый, синий и оранжевый цвета. Поскольку эйлерова характеристика равна 0, ее также можно увидеть на четырех шестиугольных гранях шестиугольной мозаики как тип {6,3} (2,0) .
  • Петриальный октаэдр , {3,4} п , имеет 6 вершин, 12 ребер и 4 косых грани шестиугольника. Он имеет эйлерову характеристику −2 и имеет отображение в гиперболическую шестиугольную мозаику порядка 4 как тип {6,4} 3 .
  • Петриальный додекаэдр , {5,3} п , имеет 20 вершин, 30 ребер и 6 косых десятиугольных граней, а также эйлерову характеристику −4, связанную с гиперболическим мозаикой типа {10,3} 5 .
  • Петриальный икосаэдр , {3,5} п , имеет 12 вершин, 30 ребер и 6 косых десятиугольных граней, а также эйлерову характеристику −12, связанную с гиперболическим мозаикой типа {10,5} 3 .
Регулярные петриалы
Имя каменный
тетраэдр
каменный
куб
каменный
октаэдр
каменный
додекаэдр
каменный
икосаэдр
Символ {3,3} п , {4,3} 3 {4,3} п , {6,3} 4 {3,4} п , {6,4} 3 {5,3} п , {10,3} {3,5} п , {10,5}
(v,e,f), χ (4,6,3), х = 1 (8,12,4), х = 0 (6,12,4), χ = −2 (20,30,6), χ = −4 (12,30,6), χ = −12
Лица 3 перекошенных квадрата
4 косых шестиугольника 6 косых десятиугольников
Изображение
Анимация
Связанный
цифры

{4,3} 3 = {4,3}/2 = {4,3} (2,0)

{6,3} 3 = {6,3} (2,0)

{6,4} 3 = {6,4} (4,0)
{10,3} 5 {10,5} 3

Есть также 4 петриала многогранников Кеплера – Пуансо :

  • Петриальный большой додекаэдр , {5,5/2} п , имеет 12 вершин, 30 ребер и 10 косых граней шестиугольника с эйлеровой характеристикой , χ равной -8.
  • Петриальный малый звездчатый додекаэдр , {5/2,5} п , имеет 12 вершин, 30 ребер и 10 косых граней шестиугольника с χ, равным -8.
  • Петриальный большой икосаэдр , {3,5/2} п , имеет 12 вершин, 30 ребер и 6 косых декаграммных граней с χ, равным -12.
  • Петриальный большой звездчатый додекаэдр , {5/2,3} п , имеет 20 вершин, 30 ребер и 6 косых декаграммных граней с χ, равным -4.
Обычные звездные петриалы
Имя каменный
большой
додекаэдр
каменный
маленький звездчатый
додекаэдр
каменный
большой
икосаэдр
каменный
отличный звездчатый
додекаэдр
Символ {5,5/2} п , {6,5/2} {5/2,5} п , {6,5} {3,5/2} п , {10/3,5/2} {5/2,3} п , {10/3,3}
(v,e,f), χ (12,30,10), х = -8 (12,30,10), х = -8 (12,30,6), х = -12 (20,30,6), х = -4
Лица 10 косых шестиугольников 6 перекошенных декаграмм (одна декаграмма синего цвета обведена контуром)
Изображение
Анимация
  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Писански, Томаж ; Рандич, Милан (2000), «Мосты между геометрией и теорией графов», в Горини, Кэтрин А. (редактор), Геометрия в действии , Примечания MAA, том. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Матем. доц. Америка, стр. 174–194, MR   1782654 . См., в частности, стр. 181 .
  2. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 92, Издательство Кембриджского университета, с. 192, ИСБН  9780521814966
  3. ^ Джонс, Джорджия; Торнтон, Дж. С. (1983), «Операции над отображениями и внешние автоморфизмы», Журнал комбинаторной теории , серия B, 35 (2): 93–103, doi : 10.1016/0095-8956(83)90065-5 , MR   0733017
  4. ^ Октаэдрическая симметрия - порядок 48, число Кокстера - 6, 48/(2×6)=4.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f73833dafadfd7c0f74d3398142cb85e__1719059700
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f7/5e/f73833dafadfd7c0f74d3398142cb85e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Petrie dual - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)