Ленточный график
В топологической теории графов ленточный граф — это способ представления вложений графов , эквивалентный по мощности знаковым системам вращения или картам, закодированным в графе . [1] Он удобен для визуализации вложений, поскольку может представлять неориентированные поверхности без самопересечений.(в отличие от вложения всей поверхности в трехмерное евклидово пространство ), а также потому, что он опускает части поверхности, находящиеся далеко от графа, позволяя видеть дыры, через которые можно увидеть остальную часть вложения.Ленточные графики также называют толстыми графами . [2]
Определение
[ редактировать ]В представлении ленточного графа каждая вершина графа представлена топологическим диском, а каждое ребро представлено топологическим прямоугольником с двумя противоположными концами, приклеенными к краям вершинных дисков (возможно, к одному и тому же диску). [3]
Вложения
[ редактировать ]Представление ленточного графа можно получить путем встраивания графа в поверхность (и метрики на поверхности), выбрав достаточно малое число и представляя каждую вершину и ребро их - окрестности на поверхности. [1] [4] Для небольших значений , края прямоугольников становятся длинными и тонкими, как ленты , давая название представлению.
В другом направлении из ленточного графа можно найти грани соответствующего ему вложения как компоненты границы топологической поверхности, образованной ленточным графом. Восстановить саму поверхность можно, приклеив топологический диск к ленточному графу вдоль каждой граничной компоненты. Разделение поверхности на вершинные диски, реберные диски и лицевые диски, заданные ленточным графом, и этот процесс склеивания представляют собой другое, но связанное представление вложения, называемое ленточным разложением . [5] Поверхность, в которую вложен граф, можно определить по ее ориентируемости ( верно, если любой цикл в графе имеет четное число витков) и по ее эйлеровой характеристике .
Ленточными графами могут быть представлены вложения, в которых граф вложен в 2- многообразие (без края) и каждая грань вложения представляет собой топологический диск. [1]
Эквивалентность
[ редактировать ]Два представления ленточных графов называются эквивалентными (и определяют вложения гомеоморфных графов), если они связаны друг с другом гомеоморфизмом топологического пространства, образованного объединением вершинных дисков и реберных прямоугольников, который сохраняет идентификацию этих функций. [3] Представления ленточных графов могут быть эквивалентными, даже если невозможно деформировать одно в другое в трехмерном пространстве: это понятие эквивалентности учитывает только внутреннюю топологию представления, а не то, как оно вложено.
Однако ленточные графы также применяются в теории узлов . [4] и в этом приложении также могут использоваться более слабые понятия эквивалентности, учитывающие трехмерное вложение.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с Демер, Маттиас (2010), Структурный анализ сложных сетей , Springer, стр. 267, ISBN 9780817647896
- ^ Дейкграаф, Робберт (1992), «Теория пересечений, интегрируемые иерархии и топологическая теория поля», Фрелих, Дж.; 'т Хоофт, Г.; Яффе, А.; Мак, Г.; Миттер, ПК; Стора, Р. (ред.), Новые принципы симметрии в квантовой теории поля: Труды Института перспективных исследований НАТО, состоявшиеся в Каржезе, 16–27 июля 1991 г. , Серия B Институтов передовых научных исследований НАТО: Физика, том. 295, Нью-Йорк: Пленум, стр. 95–158, arXiv : hep-th/9201003 , MR 1204453.
- ^ Jump up to: а б Эллис-Монаган, Джоанна А .; Моффатт, Иэн (2013), «1.1.4 Ленточные графы», Графы на поверхностях: двойственность, полиномы и узлы , SpringerBriefs in Mathematics, Springer, стр. 5–7, ISBN 9781461469711
- ^ Jump up to: а б Гелка, Рэзван (2014), Тета-функции и узлы , World Scientific, стр. 289, ISBN 9789814520584
- ^ Эллис-Монаган и Моффатт (2013) , 1.1.5 Ленточное разложение, стр. 7–8.